因式分解的16种方法.docx

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因式分解的16种方法

因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。

而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。

　　注意三原则

　　1分解要彻底　2最后结果只有小括号

　　3最后结果中多项式首项系数为正（例如：

）

分解因式技巧

　　1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。

　　2.分解因式技巧掌握：

　　①等式左边必须是多项式；②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；

　　③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；

　④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。

　　注：

分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。

基本方法

⑴提公因式法

　　各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。

　　如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

　　具体方法：

当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。

如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。

提出“-”号时，多项式的各项都要变号。

提公因式法基本步骤：

（1）找出公因式；

（2）提公因式并确定另一个因式：

　　①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母；

②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的

一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；

　　③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。

　　口诀：

找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。

　　例如：

-am+bm+cm=-m（a-b-c）；

　　a（x-y）+b（y-x）=a（x-y）-b（x-y）=（x-y）（a-b）。

　　注意：

把2+变成2（+）不叫提公因式

　　⑵公式法

　　如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。

　　平方差公式：

=（a+b）（a-b）；完全平方公式：

±2ab＋＝

　　注意：

能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍。

　　立方和公式：

=（a+b）（-ab+）；

　　立方差公式：

=（a--b）（+ab+）；

　　完全立方公式：

±3b＋3a±=（a±b）．

　　公式：

++-3abc=（a+b+c）（++-ab-bc-ca）

　　例如：

+4ab+4=（a+2b）。

⑶分组分解法

　　分组分解是解方程的一种简洁的方法，我们来学习这个知识。

　　能分组分解的方程有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：

二二分法，三一分法。

　　比如：

　ax+ay+bx+by=a（x+y）+b（x+y）=（a+b）（x+y）

　　我们把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了困难。

　　同样，这道题也可以这样做。

　　ax+ay+bx+by　=x（a+b）+y（a+b）　=（a+b）（x+y）

　　几道例题：

　　1.5ax+5bx+3ay+3by

　　解法：

=5x（a+b）+3y（a+b）　=（5x+3y）（a+b）

　　说明：

系数不一样一样可以做分组分解，和上面一样，把5ax和5bx看成整体，把3ay和3by看成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。

　　2.x-+x-1

　　解法：

=（x-）+（x-1）　=（x-1）+（x-1）　=（x-1）（+1）

　　利用二二分法，提公因式法提出x2，然后相合轻松解决。

　　3.-x-y-y

　　解法：

=（-y）-（x+y）　　=（x+y）（x-y）-（x+y）　=（x+y）（x-y-1）

　利用二二分法，再利用公式法a-b=（a+b）（a-b），然后相合解决。

⑷十字相乘法

　　这种方法有两种情况。

　　①+（p+q）x+pq型的式子的因式分解

　　这类二次三项式的特点是：

二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。

因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：

+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）．

　　②k+mx+n型的式子的因式分解

　　如果有k=ac，n=bd，且有ad+bc=m时，那么kx+mx+n=（ax+b）（cx+d）．

图示如下：

ad例如：

因为1-3

××

　　cd72-3×7=-21，1×2=2，且2-21=-19，

　　所以7-19x-6=（7x+2）（x-3）．

　　十字相乘法口诀：

首尾分解，交叉相乘，求和凑中

⑸裂项法

　　这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。

这钟方法的实质是分组分解法。

要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形。

　　例如：

bc（b+c）+ca（c-a）-ab（a+b）

=bc（c-a+a+b）+ca（c-a）-ab（a+b）　=bc（c-a）+ca（c-a）+bc（a+b）-ab（a+b）

　=c（c-a）（b+a）+b（a+b）（c-a）　=（c+b）（c-a）（a+b）．

⑹配方法

　　对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法。

属于拆项、补项法的一种特殊情况。

也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。

　　例如：

+3x-40　=+3x+2.25-42.25　　=　　=（x+8）（x-5）．

⑺应用因式定理

　　对于多项式f（x）=0，如果f（a）=0，那么f（x）必含有因式x-a．

　　例如：

f（x）=+5x+6，f（-2）=0，则可确定x+2是+5x+6的一个因式。

（事实上，+5x+6=（x+2）（x+3）．）

　　注意：

1、对于系数全部是整数的多项式，若X=q/p（p,q为互质整数时）该多项式值为零，则q为常数项约数，p最高次项系数约数；

　　2、对于多项式f（a）=0,b为最高次项系数，c为常数项，则有a为c/b约数

⑻换元法

　　有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。

　　注意:

换元后勿忘还元.

　　例如在分解（+x+1）（+x+2）-12时，可以令y=+x,则

　　原式=（y+1）（y+2）-12　=y+3y+2-12=y+3y-10　=（y+5）（y-2）

　=（+x+5）（+x-2）　=（+x+5）（x+2）（x-1）．

⑼求根法

　令多项式f（x）=0,求出其根为x1，x，x3，……xn，

则该多项式可分解为f（x）=（x-x1）（x-x2）（x-x3）……（x-xn）．

　　例如在分解2x^4+7x^3-2x^2-13x+6时，令2x^4+7x^3-2x-13x+6=0，

　　则通过综合除法可知，该方程的根为0.5，-3，-2，1．

　　所以2x^4+7x^3-2-13x+6=（2x-1）（x+3）（x+2）（x-1）．

⑽图象法

　　令y=f（x），做出函数y=f（x）的图象，找到函数图像与X轴的交点x1,x2,x3,……xn，则多项式可因式分解为f（x）=f（x）=（x-x1）（x-x2）（x-x3）……（x-xn）．

　　与方法⑼相比，能避开解方程的繁琐，但是不够准确。

　　例如在分解x^3+2-5x-6时，可以令y=x^3;+2-5x-6.

　作出其图像，与x轴交点为-3，-1，2

　　则x^3+2-5x-6=（x+1）（x+3）（x-2）．

⑾主元法

　　先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。

⑿特殊值法

　　将2或10代入x，求出数p，将数p分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。

　　例如在分解x^3+9+23x+15时，令x=2，则

　　x^3+9+23x+15=8+36+46+15=105，

　　将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7．

　　注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值，

　　则x^3+9+23x+15可能等于（x+1）（x+3）（x+5），验证后的确如此。

⒀待定系数法

　首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。

　　例如在分解x^4-x^3-5-6x-4时，由分析可知：

这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。

　　于是设x^4-x^3-5-6x-4=（+ax+b）（+cx+d）

　　=x^4+（a+c）x^3+（ac+b+d）+（ad+bc）x+bd

　　由此可得a+c=-1，

　ac+b+d=-5，

　　ad+bc=-6，

　　bd=-4．

　　解得a=1，b=1，c=-2，d=-4．

　　则x^4-x^3-5x-6x-4=（x+x+1）（x-2x-4）．

　⒁双十字相乘法

　　双十字相乘法属于因式分解的一类，类似于十字相乘法。

　　双十字相乘法就是二元二次六项式，启始的式子如下:

　ax+bxy+cy+dx+ey+f

　　x、y为未知数，其余都是常数

　　用一道例题来说明如何使用。

　　例：

分解因式：

x+5xy+6y+8x+18y+12．

　　分析：

这是一个二次六项式，可考虑使用双十字相乘法进行因式分解。

　　解：

　　原式=（x+2y+2）（x+3y+6）．

　　双十字相乘法其步骤为：

　　①先用十字相乘法分解2次项，如十字相乘图①中x+5xy+6y=（x+2y）（x+3y）；

　　②先依一个字母（如y）的一次系数分数常数项。

如十字相乘图②中6y+18y+12=（2y+2）（3y+6）；

　　③再按另一个字母（如x）的一次系数进行检验，如十字相乘图③，这一步不能省，否则容易出错。

多项式因式分解的一般步骤

　　①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；

　　②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；

　　③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；

　④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。

　　也可以用一句话来概括：

“先看有无公因式，再看能否套公式。

十字相乘试一试，分组分解要合适。

”

　　几道例题

　　1．分解因式（1+y）-2x（1+y）+x（1-y）．

解：

原式=（1+y）+2（1+y）x（1-y）+x（1-y）-2（1+y）x（1-y）-2x（1+y）（补项）

　　=[（1+y）+x（1-y）]-2（1+y）x（1-y）-2x（1+y）（完全平方）

　　=[（1+y）+x（1-y）]-（2x）

　　=[（1+y）+x（1-y）+2x][（1+y）+x（1-y）-2x]

　　=（x-xy+2x+y+1）（x-xy-2x+y+1）

　　=[（x+1）-y（x-1）][（x-1）-y（x-1）]

　　=（x+1）（x+1-xy+y）（x-1）（x-1-xy-y）．

　　2．求证：

对于任何实数x,y，下式的值都不会为33：

　　解：

原式=（x^5+3x^4y）-（5x^3y+15x^2y^3）+（4xy^4+12y^5）

　　=x^4（x+3y）-5xy（x+3y）+4y^4（x+3y）

　　=（x+3y）（x^4-5xy+4y^4）

　=（x+3y）（x-4y）（x-y）

　　=（x+3y）（x+y）（x-y）（x+2y）（x-2y）．

　　当y=0时，原式=x^5不等于33；当y不等于0时，x+3y，x+y，x-y，x+2y，x-2y互不相同，而33不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立。

　　3.．△ABC的三边a、b、c有如下关系式：

-c+a+2ab-2bc=0，求证：

这个三角形是等腰三角形。

　　分析：

此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。

　　证明：

∵-c+a+2ab-2bc=0，

　　∴（a+c）（a-c）+2b（a-c）=0．

　　∴（a-c）（a+2b+c）=0．

　　∵a、b、c是△ABC的三条边，

　　∴a＋2b＋c＞0．

　　∴a－c＝0，

　　即a＝c，△ABC为等腰三角形。

　4．把-12x^2n×y^n+18x^（n+2）y^（n+1）-6x^n×y^（n-1）分解因式。

　　解：

-12x^2n×y^n+18x^（n+2）y^（n+1）-6x^n×y^（n-1）

　　=-6x^n×y^（n-1）（2x^n×y-3x^2y^2+1）．

四个注意

　　初中的数学主要是分代数和几何两大部分，两者在中考中所占的比例，代数略大于几何

代数主要有以下几点：

1.有理数的运算，主要讲有理数的三级运算（加减乘除和乘方开方）在这里要注意数字和字母的符号意识，就是，不要受小学数字的影响，一看见字母就不会做题了。

2.整式的三级运算，注意符号意识的培养，还有就是因式分解，这和整式的乘法是互换的，注意像平方差公式和完全平方公式的正用、逆用和变形用。

3.方程，会一元一次、二元一次、三元一次、一元二次四种方程的解法和应用，记住，方程是一种方法，是一种解题的手段。

4.函数，会识别一次函数、二次函数、反比例函数的图像，记住他们的特征，要会根据条件来应用。

尤其要注意二次函数，这是中考的重点和难点。

应用题里会拿它来出一道难题的

几何主要有以下几点：

1.识别各种平面图形和立体图形，这你应该非常熟悉。

2.图形的平移、旋转和轴对称，这个考察你的空间想象的能力，多做一些题。

3.三角形的全等和相似，要会证明，注意要有完整的过程和严密的步骤，背过证明三角形全等的五种方法和证明相似的四种方法；还有像等腰三角形、直角三角形和黄金三角形的性质，要会应用，这在证明题中会有很大的帮助。

4.四边形，把握好平行四边形、长方形、正方形、菱形和梯形的概念，选择体里会拿着它们之间的微小差异而大做文章，注意它们的判定和性质，证明题里也会考到。

5.圆，我这里没有细学，因为这里不是我们中考的重点，但是圆的难度会很大，它的知识点很多、很碎，圆的难题就是由许许多多细小的点构成的。