高三数学理科二轮复习同步练习 126点直线平面之间的位置关系.docx
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高三数学理科二轮复习同步练习126点直线平面之间的位置关系
高考专题训练六 点、直线、平面之间的位置关系
班级________ 姓名________ 时间：
45分钟 分值：
75分 总得分________
一、选择题：
本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上．
1．到两互相垂直的异面直线的距离相等的点（ ）
A．只有1个 B．恰有3个
C．恰有4个D．有无穷多个
解析：
本小题主要考查考生的空间想象能力以及利用特殊几何模型解决问题的能力．
在长方体ABCD－A1B1C1D1中建立如图所示的空间直角坐标系，易知直线AD与D1C1是异面且垂直的两条直线，过直线AD与D1C1平行的平面是平面ABCD，因此考虑在平面ABCD内到直线AD与D1C1的距离相等的动点M（x，y,0）的坐标所满足的条件，作MM1⊥AD于点M1，MN⊥CD于点N，NP⊥D1C1于点P，连接MP，易知MN⊥平面CDD1C1，MP⊥D1C1，若MM1＝MP，则有y2＝x2＋a2（其中a是异面直线AD与D1C1间的距离），即有y2－x2＝a2，从而可知在平面ABCD内动点M的轨迹是双曲线的一部分，故满足题意的点有无穷多个，选D.
答案：
D
2．已知m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β
B．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β
C．若m∥n，m∥α，则n∥α
D．若n⊥α，n⊥β，则α∥β
解析：
对于选项A，垂直于同一平面的两个平面也可以相交，如正方体相邻的两个平面，故A错；对于选项B，设平面α与平面β相交于直线l，则在这两个平面内都存在与交线平行的直线，此时这两直线也平行，故B也错；对于选项C，应有n∥α或n⊂α两种情形；对于选项D，由线面垂直性质知，垂直于同一直线的两平面平行，故D正确．
答案：
D
3．若l、m、n为直线，α、β、γ为平面，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．若m∥α，m∥β，则α∥β
B．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
C．若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β
D．若α⊥β，l⊂α，则l⊥β
解析：
由垂直于同一平面的两直线互相平行可知，选项B正确；而对于选项A，平行于同一直线的两平面也可能相交，故选项A不正确；对于选项C，垂直于同一平面的两平面也可能平行，故选项C不正确；对于选项D，位于互相垂直的两平面中的一个平面内的一直线，其与另一个平面可以平行、斜交或垂直，故选项D不正确．
答案：
B
4．已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：
①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n.
其中正确命题的个数为（ ）
A．1B．2
C．3D．4
解析：
对于命题①，由分别垂直于互相垂直的直线的两平面垂直知，①正确；对于命题②，分别平行于互相垂直的直线的两平面的位置关系可能相交，故②错误；对于命题③，两平面也可能相交，故③错误；对于命題④，由于m⊥α，α∥β⇒m⊥β，则直线m垂直于平面β内的任意一条直线，又n∥β，则n平行于β内的无数条直线，所以直线m⊥n，故④正确．
答案：
B
5．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、AB的中点，则EF与对角面BDD1B1所成角的度数是（ ）
A．30°B．45°
C．60°D．150°
解析：
如上图，∵EF∥A1B，∴EF、A1B与对面角BDD1B1所成的角相等，设正方体的棱长为1，则A1B＝
.连接A1C1，交D1B1于点M，连接BM，则有A1M⊥面BDD1B1，∠A1BM为A1B与面BDD1B1所成的角．Rt△A1BM中，A1B＝
，A1M＝
，
故∠A1BM＝30°.
∴EF与对角面BDD1B1所成角的度数是30°.故选A.
答案：
A
6．已知直线m、n及平面α，其中m∥n，那么在平面α内到两条直线m、n距离相等的点的集合可能是：
（1）一条直线；
（2）一个平面；（3）一个点；（4）空集．其中正确的是（ ）
A．
（1）
（2）（3）B．
（1）（4）
C．
（1）
（2）（4）D．
（2）（4）
解析：
如图1，当直线m或直线n在平面α内时有可能没有符合题意的点；如图2，直线m、n到已知平面α的距离相等且所在平面与已知平面α垂直，则已知平面α为符合题意的点；如图3，直线m、n所在平面与已知平面α平行，则符合题意的点为一条直线，从而选C.
答案：
C
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．
7．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．
解析：
∵EF∥面AB1C，∴EF∥AC.
又E是AD的中点，∴F是DC的中点．
∴EF＝
AC＝
.
答案：
8．下面给出四个命题：
①若平面α∥平面β，AB，CD是夹在α，β间的线段，若AB∥CD，则AB＝CD；
②a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c一定是异面直线
③过空间任一点，可以做两条直线和已知平面α垂直；
④平面α∥平面β，P∈α，PQ∥β，则PQ⊂α；
其中正确的命题是________（只填命题号）．
解析：
∵AB∥CD可确定一个平面γ，如图
又∵α∥β，∴BD∥AC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，①正确．
②不正确，a与c可能异面，也可能共面．
③过一点作已知平面α的垂线有且只有一条，故③不正确．
④正确．
答案：
①④
9．如图，已知三棱锥S－ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA⊥底面ABC，SA＝3，那么直线SB与平面SAC所成角的正弦值为________．
解析：
如图在△ABC中，BD⊥AC，
∵SA⊥面ABC，
∴SA⊥BD，
又∵SA∩AC＝A，
∴BD⊥平面SAC，
∴SD为SB在平面SAC内的射影，∠BSD为直线SB与平面SAC所成的角，
在Rt△SAB中，SB＝
，
在Rt△ABD中，BD＝
，
∴在Rt△SBD中，sin∠BSD＝
＝
，＝
，
∴直线SB与平面SAC所成角的正弦值为
.
答案：
10．已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题，如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有________个．
解析：
若α，β换为直线a，b，则命题化为“a∥b，且α⊥γ⇒b⊥γ”，此命题为真命题；若α，γ换为直线a，b，则命题化为“a∥β，且a⊥b⇒b⊥β”，此命题为假命题；若β，γ换为直线a，b，则命题化为“a∥α，且b⊥α⇒a⊥b”，此命题为真命题．
答案：
2
三、解答题：
本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
11．（12分）如图，在四面体P－ABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点．
（1）求证：
DE∥平面BCP；
（2）求证：
四边形DEFG为矩形；
（3）是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？
说明理由．
解：
（1）证明：
因为D，E分别为AP、AC的中点，
所以DE∥PC.
又因为DE⊄平面BCP，
所以DE∥平面BCP.
（2）证明：
因为D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点，
所以DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF，
所以四边形DEFG为平行四边形．
又因为PC⊥AB，
所以DE⊥DG.
所以四边形DEFG为矩形．
（3）存在点Q满足条件，理由如下：
连接DF，EG，设Q为EG的中点．
由
（2）知，DF∩EG＝Q，且QD＝QE＝QF＝QG＝
EG，
分别取PC，AB的中点M，N，连接ME，EN，NG，MG，MN.
与
（2）同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线交点为EG的中点Q，且QM＝QN＝
EG.
所以Q为满足条件的点．
12．（13分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M为PD的中点．
（1）证明：
PB∥平面ACM；
（2）证明：
AD⊥平面PAC；
（3）求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．
解：
（1）证明：
连接BD，MO，在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点．又M为PD的中点，所以PB∥MO.因为PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM，所以PB∥平面ACM.
（2）证明：
因为∠ADC＝45°，且AD＝AC＝1，所以∠DAC＝90°，即AD⊥AC，又PO⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PO⊥AD.而AC∩PO＝O，所以AD⊥平面PAC.
（3）取DO中点N，连接MN，AN.因为M为PD的中点，所以MN∥PO，且MN＝
PO＝1.由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD，所以∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角，在Rt△DAO中，AD＝1，AO＝
，所以DO＝
，从而AN＝
DO＝
.在Rt△ANM中，tan∠MAN＝
＝
＝
，即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为
.
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