第一型曲面积分.docx
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第一型曲面积分
例5・设有空间闭区域仏={（x』,z）|L十b+z*炉,z"},。
2={（*』，Z）|x2+y'+z*炉,xno』no,zno},则有（）
（A）Jff=4fJfxdv
a\口2
（C）JjJ皿=4jJJz加
2n2
解：
由对称性，
JJjxdv=0,JJJxdv
JJfydv=0,JJfydv工•
n.«2
Jjjxyzdv=0,JJJxyzdv
□门2
例1计算血-兀2|db・其中6-1W0""
解先去掉绝对值符号，如图
川y_p|db
D
=jj（x2-j）da+JJ（y-x2）daDi4-DjD、
訂:
时:
（宀刃与+匸时:
0-兀湎=*・
1.计算fdxfxb-dy于卜一心堤无法积出类型，则需交换积分次序，
y\/歹=x
VD：
O^xd可改写为：
分，1
°ri匚
则J；dxff叽"讼=“J•卜好
岭抑*•血2=-£〔皿$=-也2|：
一2询2）T『+[e、上）=卜£.
2•二次积分匚山：
匸〉（工』山改变积牙次序后为卜
（A）J^dyJ^/（x,jXix;（刚。
叭；/（x,j）dx;（C）J'djjf（x,y）dx・（D）J'dyj、'/（x,j）dx;
3./=J；djJ（「/（x』）dLr+fdyj：
"/（x』）dx,则交换积分次序后为
M；肛J：
v/（匕〉殛力J；dxJ「/（x,y）dj;
Cj：
dx『/（*,y府;D.j^dxJ*/（x,yXlj.
4.设P={（X.y）X+y*R\y»0},则在极坐标系中二重积分JJ/X+bxMy可表示为（
（A）rdeCf（r2）dr（B）JV町:
八宀弘
JUJO2
（c）j?
可:
（D）j>e£7（a
5•设D:
16.将J；®]'if（x,y）dx化为极坐标系下的二次积分
Ju
一、第一型曲面积分的概念
引例：
设曲面形构件具有连续面密度0（七夕工）,求质量M.
类似求平面薄板质量的思想，采用彳（厲,依,口）“大化小，常代变，近似和，求极限"
的方法，可得
n
M=lim工0©叽37
几->0r=1
其中，九表示n小块曲面的直径的最大值（曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者）.
设S是空间中可求面积的曲面，f（x9y9z）为定义在S上的函数•对曲面S作分割7；它把S分成n个小曲面块S,（I=1,2,•••,/>）,以AS,记小曲面块S：
的面积，分割T的细度IIT11=max{5z的直径},在S：
上任取一点（釦久,厶）（心1，2「・・』），若存在极限
H
盘吧工八釦％GA5严人
1=1
且与分割卩及（£则£）的取法无关,则称此极限为f（x9y9z）在S上的第一型曲面积分，记作
I=JJ/（x,j,z）dS・
（1）
s
于是，前述曲面块的质量由第一型曲面积分表示为：
m=JJp（x,j,z）dS・
块S的面积.
②第一类曲面积分的性质（假定下面的面积分都存在）
（1）设为常数，则
（兀,y,z）+阳（x,y,z）]dS=aJJ/（x』,z）dS+0]Jg（x』,z）dS・
EEE
（2）可加性：
若曲面E可分为两片光滑曲面乙和爲,则
JJ/（x』,Z）dS=JJ/Cr』,z）dS+JJ/（x』,z）dS・ZEl
⑶若在曲面X上，f（x.y.z）<^g（x.y,z）.则
JJ/（x』,z）dSg（x,y,z）dS.E£
（4）积分区域的对称性及变量的轮换对称性
结论1JJ/U,j,Z）dS
EI
j//（x,j,z）dS=
S=Eju刀2，刀|与关于（或yoz,或zox）对称，2ff/（x,j,z）dS,（或"或刃是偶函数,
0,（或T,或y）是奇函数.
结论2
如果积分曲面》关于平面J=x对称（轮换对称性）则
JJ7（x*,z）dS=D/（）,x,z）dS=¥[J“（x*,Z）d5+jJ/（”x,z）dS]
I£2LE
设为工在第
卦限中的部分，则有（）・
（4）JJ严£=4口严头
（B）心dS=4jQdS;
（C）||zdS=4|JzdS;
（巧=4jJ^jrjzdjS■
、第一型曲面积分的计算
第一型曲面积分需要化为二重积分来计算.
设有光滑曲面
S:
z=z（x,j）eP,
f（x,y,z）为S上的连续函数，则
=JJJl+z；+z：
dxdy・
（X）E：
z=z（x,y\（x.y）^Dx>,
jjf（x,y,z）ds=fff[x9y,Z（X?
y）]Jl+Z；'+Z；'dxdy・1
（2）Z:
j=y（x,z），gz）e
fj/（x,j,z）d£=flJ'lx,y（x,z）,z]Jl+y：
'+X（Lrdz・
（3）S:
x=x（y9z）9（y9z）eD%
JJ/（x,j,z）dS_=fJ/[x（y,z\y,z]卜囁尸+（寻恤曲・
E向哪个坐标面投影，由所给积分曲面方程的形式决定.
注意：
对面积的曲面积分的计如下：
⑴画出曲面£写出2并由刀的方程的卿选定公式;
（2）由£的方穗求出曲面的微元dS；
如：
dS=Jl+z；2
⑶计算E在投影面化上的二重积分,
JJf（x,y9z）dS=fff[x.y.z（x,y）]Jl+叩+叮dxdy.
简述为：
代：
将曲面的方程代入被积函数换：
换面积元dS
投影：
将曲面投影到坐标面得投影区域
平面z=h（O得的顶部（图22・1）・图22"
解曲面S的方程为Z=_兀2一,29定义域£）为
因此由公式
（2）求得
J?
z-x-y
rIn/•\/a2-h2Q
=fd&f—__rdr
JoJoa2_r2
如2一方2
0
=2an\n—.h
\1
I
z=0
dS=Jl+z：
2+z；'drdy=V2drdy,原式=jjg+«yj
=V2J；dsin&COS0+//sin0+”cos0）pdQ
°64
=4\/2j\（cos5^sin04-cos4OsinG+cos*50）d0=二近.
J~215
例2•求jj（xy+zx+jz）dS淇中:
S为锥£厂十
面乙=J宀被曲ffix2+j2=2x[
所割下的部分.
解2:
由于2关于mz面对称,、则JJ（xy+jz）dS=0,
£
则原式=JJMdS=jjx+h•Vidxdy
=2\/2J2d&J）6p2cos&・pdp
例3•计算xyzdS,其中刀是由平面x+y+z=l与坐标面所围成的四面体的表面.|c
解：
设工i，》2,工3,工4分别表示刀在平面
x=0?
y=0,z=0,x4-y4-z=l上的部分，则/\o
原式=（ifs,+JL呱+JLjxyzd5"""_
呱5dS
S4：
z=l-x-y,（x,y）eDxy:
|
=^JoxdxirW一_刃dy=<3i20
例4・求半径为/?
的均匀半球壳工的重心.
解：
设S的方程为z=、］r2_X》—y2DXy利用对称性可知重心的坐标x=y=0,而
2tvR2
说明：
（1）曲面积分与曲线积分一样，可用积分曲面的方程
代入被积表达式化简被积函数.
（2）利用曲面积分的几何意义简化计算曲面积分.
=
V
（3）利用积分曲面的对称性及被积函数的奇偶性简化计算曲面积分；或用轮换对称性.
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