空间曲线的切线与空间曲面的切平面.docx

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空间曲线的切线与空间曲面的切平面

第六节空间曲线的切线与空间曲面的切平面

一、空间曲线的切线与法平面

工X二x（t）

设空间的曲线C由参数方程的形式给出：

《y=y（t）,t€（o（,P）.

z=z（t）

设totC，J,A（x（to）,y（to）,z（to）、B（x（ti）,y（ti）,z（ti））为曲线上两点,A,B的连线AB称为曲线C的割线，当B>A时，若AB趋于一条直线，则此直线称为曲线C

在点A的切线.

如果x=x（t）,y=y（t）,z=z（t）对于t的导数都连续且不全为零（即空间的曲线C为

光滑曲线），则曲线在点A切线是存在的•因为割线的方程为

x—x（t°）y—y（t°）z—z（t°）

x（tj—x（to）y（tj—y（to）z（ti）—z（to）

也可以写为

x—x（t。

）_y—y（t。

）_z—z（t。

）

x（tj-x（t。

）y（tj-y（t。

）z（tj—z（t。

）

t-tot-tot-to

当B>A时，t>to，割线的方向向量的极限为fx（to）,y（to）,z（to）1，此即为切线的

方向向量，所以切线方程为

X—x（to）_y—y（to）_z_z（to）

x（t。

）「y（t。

）「z（to）.

过点A（x（to）,y（to）,z（to）且与切线垂直的平面称为空间的曲线C在点A（x（to）,y（to）,z（to）的法平面，法平面方程为

x'（to）（x-Xo）y（to）（y-yo）z'（t°）（z-z°）=0

如果空间的曲线C由方程为

y=y（x）,z=z（x）

且y'（xo）,z'（x°）存在，则曲线在点A（x°,y（Xo）,z（x°）的切线是

X-Xo_y-y（Xo）_z-z（Xo）

1y"（xo）z"（xo）

法平面方程为

（x-Xo）y（Xo）（y-y（Xo））z'（Xo）（z-z（Xo））=o

如果空间的曲线C表示为空间两曲面的交，由方程组

；F（x,y,z）=0,

c:

丿

[G（x,y,z）=o

确定时，假设在A（xo,yo,zo）有J=班F，G）式o，在A（xo,yo,zo）某邻域内满足隐函数点（y,z）a

组存在定理条件，则由方程组丿F（x,y,z）-0,在点A（xo,yo,zo）附近能确定隐函数

©（X,y,z）=0

y=y（x）,z二z（x）

七/、/、dy1c（F,G）dz1F（F,G）

有yo=y（xo）,Zo=z（xo）—=,一=。

于是空间的曲线c在

，dxJj（x,z）dxJ；:

（y,x）

点A（xo,yo,Zo）的切线是

X—Xo

y—yo

Z_Zo

1

dy

dz

dx

A

dx

A

x—xy—yoz—Zo

欣F,G）

£（F,G）

c（F,G）

次y,z）

A次z,x）

ac（x,y）

A

法平面方程为

程和法平面方程有相同形式。

所以，当向量

例6.32求曲线x=acos日，y=asin日，z=在点（一a,O,b兀）处的切线方程.解当v-二时，曲线过点-a,0,b二，曲线在此点的切线方向向量为

'.-asin^,acosdb丁二-'。

厂a,bf,

所以曲线的切线方程为

x—x（to）y—y（to）z-z（to）

0一-a一b

xayz-b二

0-ab

、空间曲面的切平面与法线

（x-xo）（y-y°）（z-zg）

（X_X0）（y-y°）（z-Z0）

我们们知道y°函数fz（x0f（x）,）y）在点1x0,y0）可微，则由Taylor公式知

f（x,y）-f（x°,y°）=fx（x°,y°）（x-«）fy（x°,y°）（y-y°）0（；（x-x。

）2（y-y。

）2）

也就是说，函数z=f（x,y）在点（x0,y0）附近可以用S在P0（x0,y0,z0）的切平面近似代替，误差为、.（x…x0），（y…y°）的咼阶无穷小。

若曲面S的方程表示为参数形式

X二x（u,v）

S:

z=z（u,v）

设X0=X（U0,V0）,y°=y（U0,V0）,Z0=Z（U0,V°）,P°（X0,y0,Z0）为曲面上一点。

假设在

x=x（uv）

件，则由方程组」、'在点F0（X0，y°,Z0）附近能确定隐函数（即x和y的逆映射）

y=y（u,v）

u=u（x,y）,v=v（x,y）

满足u0二u（x0,y0）,v0=v（x0,y0）于是，曲面S可以表示为。

z=f（x,y）二z（u（x,y）,v（x,y））

由方程组丿X-x（u，v）,两边分别同时对x,y求偏导得到

^=y（u,v）

所以，S在Po（Xo，yo，Zo）的切平面方程为

1•求曲线

程.

2.求曲线

3.求曲面

6.6

习题

x=acosacost,y=asinacost,z=asint在点t=to处的切线和法平面方

4。

证明曲面

x2：

：

；■y2z2=6

在点（1,-2,1）处的切线和法平面方程.

xyz=o

y

二arctan^在点（1,1，二/4）的切平面和法线方程。

x

xyz^a（ao）上任意一点的切平面与坐标面形成的四面体体积为定值。

5.证明曲面

z=xf（丫）上任意一点的切平面过一定点。

x

第七节极值和最值问题

一、无条件极值

与一元函数极值类似，我们可以引入多元函数的极值概念。

定义6.3n元函数f（Xi,X2,,Xn）在点P0（x0,x0，…，x0）的一个邻域U（F0）Rn内

有定义。

若对任何点P（x1,x2^,xn）U（P0），有

f（P。

）-f（P）或（f（P。

）乞f（P））

则称n元函数f（Xi,X2，…，Xn）在Po（x0,x0，…,x0）取得极大（或极小）值，Po（x10,x0/',X0）称为函数f（Xi,X2/,Xn）的极大（或极小）值点。

极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点。

类似一元函数，我们称使得n元函数f（x「x2，…，xn）的各个一阶偏导数同时为零的点

为驻点。

我们有如下定理。

定理6.28若Po（x0,X0/',X0）为n元函数f（Xi,X2/,Xn）的极值点，且f（Xi,X2,,Xn）在Po（XiO,x；,…,X0）的一阶偏导数存在，则Po（x0,x0,…,X0）为n元函数f（Xi,X2,…,Xn）的驻点。

证考虑一元函数（XiHf（x；，…，Xj,…,X0）（i=1,2…n），则Xi是（Xi）的极值点，

Fermat马定理告诉我们，可导函数在极值点的导数是零，于是

（Xi）工fxi（Xi0,,Xi,乂）=0

和一元函数类似，反过来，驻点不一定是极值点。

而偏导数不存在的点也有可能是极值

点。

判断多元函数的极值点要比一元函数复杂的多，下面我们仅对二元函数不加证明给出一

个判别定理。

定理6.29若Po（xo,yo）为二元函数f（x,y）的驻点，且f（x,y）在Po（xo,yo）的一个邻域U（Po）R2中有二阶连续偏导数。

令

A=fxx（x0’yo）,B=fxy（x0,y0）,^=fyy（x0,y0）,

AB2

Q==AC—B，

BC

则

（1）当Q0时，若A.0，f（x,y）在P0（x0,y0）取极小值；若A：

：

：

0,f（x,y）在P0（X0，y0）取极大值；

（2）当Q<0时，f（x,y）在P°（x0,y。

）不取极值；

（3）当Q=0时，f（x,y）在P°（x0,y。

）可能取极值，也可能不取极值。

例6.34求函数z二xy（6「x-y）的极值。

解解方程组

—=xy3（12_3x_2y）=0

*ex

CZ22

一=x2y2（18_3x_4y）=0

◎

得驻点为P°（2,3）及直线x=0,y=0上的点。

2

对P°（2,3）点有A=-162,B=T08,C=-144,AC-B0,于是函数z在P°（2,3）取积大值z（P0）=108。

X=0

容易判断，满足条件丿的点为函数z的极小值点，极小值为0;满足条件的

0

x=0x=0

丿和丿的点为函数z的极大值点，极大值为0。

J<0J>6

一、最值问题

在社会生产各个领域我们都会遇上最值问题，即如何用最小的成本获取最大利益的问题，这些问题一般都可以归结为求某一函数在某一范围内的最大值和最小值的问题。

我们称使得函数取得最大值和最小值的点为函数的最大值点和最小值点，统称为最值点；函数的最大值和最小值统称为最值。

1、一元函数

设y二f（x）是定义在闭区间［a,b］上的连续函数，则f（x）在［a,b］上一定有最大值和最小值。

区间的两个端点a和b可能成为其最值点，而如果最值点在开区间（a,b）取得的话,则一定是f（x）的极值点，即是f（X）的驻点或是使导数f'（x）不存在的点。

假设f（X）的所

111'222

有驻点是Xi,X2，…Xk，使导数f（X）不存在的点是Xi,X2，…Xm,那么

1122

max{f（x）|x引a,b]}=max{f（a）,f（b）,f（xj…f（Xk）,f（X1），…f（Xm）}

1122

min{f（x）Ix引a,b]}=min{f（a）,f（b）,f（X1），…f（xk）,f（x1），…f（Xm）}

例6.35求抛物线y=2x上与（1,4）最近的点。

解设（x,y）是抛物线y2=2x上的点，贝U（x,y）与（1,4）的距离是

d=J（x—1）2+（y—4）2=J（*y2—1）2+（y—4）2

考虑函数f（y）二d2，由f'（y）=O，得到唯一驻点y=2，于是抛物线y2=2x上与（1,4）最近的点是（2,2）

2、多元函数

类似一元函数，n元函数f（X1,X2，…，Xn）的最值问题就是求f（X1,X2/,Xn）在某个区域DRn上的最大值和最小值，我们只需求出f（X1,X2/,Xn）在D内部的所有极值和边

界上最值，从中比较就可以选出f（X1,X2，…,Xn）在D上的最值。

例6.36求平面x2y4与点（1,0,-2）的最短距离。

解设（x,y,z）是平面x2y^4上的点，贝U（x,y,z）与（1,0,-2）的距离是

；22241222

d=,（x-1）y（z2）2y-1）（6-x-y）

考虑函数f（x,y）=d2，由f'x=0,fy=0，得到唯一驻点（11/6,5/3），于是平面

x2y^4与点（1,0,-2）的最短距离是d（11/6,5/3）=

6

三、条件极值问题和Lagrange乘子法

前面我们研究的极值和最值问题都是直接给出一个目标函数n元函数f（X1,X2，…，Xn），然后求其极值或最值，是无条件极值问题，但是，更多的极值和最值问题是有约束条件的，即条件极值问题。

一般来说，条件极值问题是指：

求目标函数n元函数y二f（x「X2，…，Xn）

G（X1,X2，…Xn）=0

在一组约束条件尸2（X1,X2，n）下的极值。

I……

Gm（X1,X2,Xn）=0

我们可以尝试对上面方程组用消元法解出m个变量，从而转化为上一节的无条件极值

问题来解决，但是，消元法往往比较困难甚至是不可能的，所以，我们需要给出一种新的方

法来求条件极值。

下面我们介绍拉格朗日乘子法。

我们以二元函数为例来说明，即：

求目标函数z=f（x,y）在一个约束条件F（x,y）0限制下的极值问题。

假设点P°（x0，y°）为函数z=f（x,y）在条件F（x,y）=0下的极值点，且F（x,y）=0满足隐函数存在定理的条件，确定隐函数y=g（x），则x=X。

是一元函数z=f（x,g（x））的极值点。

于是

fx（x°,y°）fy（x0,y°）g'（x。

）=0

由隐函数存在定理得到

fx（Xo,y°）Fy（x。

，y°）fy（Xo,y°）Fx（x。

，y°）=0

令fy（xo,yo）=.，于是极值点Po（xo，y°）需要满足三个条件：

Fy（x°,y°）fx（Xo,y°）Fx（Xo,y°）=0

fy（xo，yo）*，Fy（xo，yo）=0

IF（Xo,y°）=o

因此，如果我们构造拉格朗日函数

L（x,y,九）=f（x,y）+^F（x,y）

其中，■称为拉格朗日乘子，则上面三个条件就是

|Lx（xo，yo）=fx（Xo，yo），Fx（Xo，yo）

“Ly（x°,y°）=fy（Xo,y°）+扎Fy（x°,y°）=o

、、L丸（x°,y°）=F（x°,y°）=o

用这种方法去求

也就是说我们讨论的条件极值问题转化为拉格朗日函数的无条件极值问题。

可能的极值点的方法，称为拉格朗日乘子法。

类似地，求目标函数n元函数y二f（Xi,X2，…,Xn）

G1（X1,X2,Xn）=0

在一组约束条件严2（冷旳Xn）=0门）下的极值时，我们可以构造相应的拉格朗

|……'

Gm（Xi,X2,Xn）=0

日函数为

m

L（Xi,X2/,Xn,‘1,'2,,m）=f（Xi,X2,,Xn）一工冷Gi（Xi,X2,,Xn）

im

于是，所求条件极值点满足方程组

mcGi

Xn

L=f-

XnXn•—i-

7CXn

L1.=Gi（Xi,X2,,Xn）=0

Lm=Gm（Xi,X2,,Xn）=0

例6.37横断面为半圆形的圆柱形的张口浴盆，其表面积等于S，问其尺寸怎样时，此

盆有最大的容积？

21

解设圆半径为r，高为h，则表面积S二二（r2•rh）（r0,h0），容积Vr2h。

2

构造拉格朗日函数

22S

L（r,h,■）二rh-（rrh）

Tt

解方程组

Lr（x°,y°）=2rh-■（2rh）=0

2_

由实际情况知道，V—定达到最大体积，因此，当

Lh（xo,yo）=r-Ar=0r2+rh=§兀

ho=2j-S=2r°时，体积最大。

V3兀

习题6.7

33

1.求函数z=xy-3xy的极值。

4422

2.求函数z=xy-x-2xy-y的极值。

3.求椭圆4x2•y2=4上与（1,0）最远的点

4.求平面x•y-z=1与点（2,1,-1）的最短距离。

5.求曲面z=xy1上与（0,0,0）最近的点

6.

已知容积为V的开顶长方浴盆，问其尺寸怎样时，此盆有最小的表面积?

第八节导数在经济学中的应用

一、导数的经济意义

1•边际函数

定义6.4设函数y=f（x）可导，则导函数f'（x）在经济学中称为边际函数。

在经济学中，我们经常用到边际函数，例如：

边际成本函数、边际收益函数、边际利润函数等等，它们都是表示一种经济变量相对于另一种经济变量的变化率问题，都反映了导数

在经济学中的应用。

成本函数C（x）表示生产x个单位某种产品时的总成本。

平均成本函数c（x）表示生产x

个单位某种产品时，平均每个单位的成本，即。

（灭）=9血。

边际成本函数是成本函数C（x）

x相对于x的变化率，即C（x）的导函数C'（x）。

由微分近似计算公式我们知道

：

C（x）=C（x：

x）—C（x）：

dC（x）=C'（x）x

令x=1,我们有C'（x）:

C（x1）-C（x）,也就是说，边际成本函数C'（x）可以近似表示已经生产x个单位产品后再生产一个产品所需要的成本。

在生产中，我们当然希望平均成本函数c（x）取得极小值，这时，我们可以得到c（x）=0

即

则xC'（x）-C（x）0，于是我们得到C'（x）c（x）。

因此，平均成本函数c（x）取得极小值时，边际成本函数和平均成本函数相等。

这在经济学中是一个重要原则，就是说在生产中，当边际成本函数低于平均成本函数时，我们应该提高产量，以降低平均成本；当边际成本函

数高于平均成本函数时，我们应该减少产量，以降低平均成本。

例6.38设某种产品生产x个单位时的成本为C（x）=250-2x0.1x2。

求

（1）当生产产品100单位时的边际成本和平均成本；

（2）当生产产品数量为多少时平均成本最低。

解

（1）边际成本函数和平均成本函数为

C'（x）=20.2x

（2）平均成本函数c（x）取得极小值时，边际成本函数和平均成本函数相等，即

C'（x）=c（x）

250

20.2x20.1x

x

x=50

因此，当生产产品数量为

50时平均成本最低。

类似边际成本函数我们可以讨论其它边际函数。

需求函数p（x）表示销售x单位某种产品时的单个产品的价格。

那么，p（x）是x的单调

减少函数。

收益函数是R（x）=xp（x），边际收益函数是R（x）。

利润函数是

P（x）=R（x）-C（x）

边际利润函数是P'（x）。

当利润函数取极大值时，p'（x）二R'（x）-c'（x）=0，于是，R'（x）=c'（x），也就是

说取得最大利润的必要条件是边际利润等于边际成本。

为了保证取得最大利润还需要下面条

件

p"（x）=R"（x）_c"（x）：

：

0

即R"（x）：

：

：

C"（x）。

所以，当R'（x）=C'（x）且R"（x）:

:

:

C"（x）时取得最大利润。

例6.39设某种产品生产x个单位时的成本为C（x）=27•1.28x-0.01x2•0.0003X3，

需求函数p（x）=10.28-0.01x。

当生产产品数量要达到多大时可以取得最大利润？

解收益函数是

2

R（x）二xp（x）二10.28x-0.01x

由R'（x）=C‘（x）得到

10.28-0.02x=1.28-0.02x+0.0009x2

我们得到x=100。

容易验证对任意x0有R"（x）：

：

：

C"（x）。

所以，当生产产品数量达到100单位水平可

以取得最大利润。

2.弹性

在经济学中我们常常用到弹性的概念，弹性也是一种变化率问题，与导数概念密切相关。

定义6.5设函数y=f（x）在点xo可导，则称匕为函数y

Ax

X。

X。

的弹性，记为

两点间的弹性；称里在ax_；。

时的极限为函数y=f（x）在点

心x

X。

当x很小时，我们有近似计算公式

也就是说当价格改变时，收益没有变化。

类似上面对需求弹性的研究，我们也可以讨论供给弹性。

供给函数Q护（p）是指商品生产商的供给量Q与价格p之间的关系函数。

Qh^（p）

是单调增加函数。

边际供给函数是Q=（p）对价格p的导数，供给弹性函数是

E

Ep

（1）求需求函数Q的弹性史；

Ep

（2）

用需求弹性说明价格在什么范围变化时，降低价格反而使收益增加。

益增加。

二、其它应用举例

导数在经济学中有很多应用，下面举一些例题说明。

首先，我们考虑连续复利率问题。

假设初始资金为A。

，如果年利率为r，那么，t年后

资金为A（t）二代（1r）'。

通常情况下是一年多次计息，假设一年n次计息，那么

A（t）二A°（1丄）nt

n

我们这里是连续复利率计算问题，令n》：

：

得到

A（t）=limA0（1+=）nt=A0[lim（1+〔）％]r^=A0ert

nYnn

于是，我们得到连续复利率计算公式A（t）二A0e"。

例6.41某企业酿造了一批好酒，如果现在就出售，总收入为R。

，如果贮藏起来，t年

2d

后出售，收入为R（t）=R0e5。

如果银行年利率为r，并且以连续复利率计算，问贮藏多少年后出售可以使收入的现值最大。

由X'（t）=0得，t—（年）。

故贮藏」年出售，总收入的现值最大。

25r225r2

下面，我们再举一个其它应用题。

例6.42某企业生产某型号仪器，年产量A台，分几批生产，每批生产准备费为B元，假设产品均匀投入市场，且上一批用完后立即生产下一批，平均库存量为批量的一半。

设每年一台仪器的库存费为C元。

问如何选择批量，使一年中库存费与准备费之和最小。

解设批量为X台，则库存费为-C，每年生产的批数为-，生产准备费为，于

2xx

是总费用为

f（x）二竺

2x

令f'（x）=0，得到x=2AB。

VC

2ab

因此，批量为x台时，一年中库存费与准备费之和最小。

多元函数的偏导数在经济学中也有非常广泛的应用。

n元函数y二f（Xi,X2，…，Xn）的

■-

偏导数’f（x「x2…，xn）（i=1,2，…，n）称为对Xi的边际函数。

我们可以类似一元函数引:

xi

入边际成本函数、边际收益函数、边际利润函数等等。

我们还可以类似一元函数引入函数的偏弹性概念。

这里不再一一详细叙述。

下面我们举几个多元函数应用题。

例6.43假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分

别是

Pi=18-2Qi,P2=12-Q2

其中p,和p2为售价，Q,和Q2为销售量。

总成本函数为

C=2®g）+5

（1）如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润；

（2）如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和统一的价格,使该企业总利润最大化；并比较两种策略下的总利润大小。

解

（1）总利润函数是

P=R—c=P1Q1+P2Q2-[2（Q1g）+5]

22

--2Q1-Q216Q11OQ2-5

由

cP

——=VQ1+16=0jQ1

；:

P2Q210=0

P1=10,p2=7时，取

得Q1=4,Q2=5，这时p1=10,p2=7。

因为这是一个实际问题，一定存在最大值，且驻点唯一，因此当

22

P=-2Q；-Q；+W+1OQ2-5Q1

得最大利润

1=4=52

Q^5

（3）若实行价格无差别策略，