分式的运算及题型讲解.docx
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分式的运算及题型讲解
分式的运算及题型讲解
§17.2分式的运算
一、分式的乘除法
1法则:
（1）乘法法则：
分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
（意思就是，分式相乘，分子与分子相乘，分母与分母相乘）。
acac
用式子表示：
b，dbd
（2）除法法则：
分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，再与被除式相乘。
a.cadad
—~=•=
用式子表示:
bdbcbc
2、应用法则时要注意：
（1）分式中的符号法则与有理数乘除法中的符号法则相同，即“同号得正，异号得负，多个负号出现看个数,奇负偶正”；
（2）当分子分母是多项式时，应先进行因式分解，以便约分；（3）分式乘除法的结果要化简到最简的形式。
二、分式的乘方
1法则：
根据乘方的意义和分式乘法法则，分式的乘方就是把将分子、分母分别乘方，然后再相除。
/■-nn
a\a1=
用式子表示:
lb丿bn（其中n为正整数，aM0）
2、注意事项：
（1）乘方时，一定要把分式加上括号；
（2）在一
个算式中同时含有乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有
多项式时应先因式分解，再约分；（3）最后结果要化到最简
三、分式的加减法
（一）同分母分式的加减法
1法则：
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减
用式子表示:
2、注意事项：
（1）“分子相加减”是所有的“分子的整体”相加减，各个分子都应有括号；当分子是单项式时括号可以省略，但分母是多项式时，括号不能省略；
（2）分式加减运算的结果必须化成最简分式或整式。
（二）异分母分式的加减法
1、法则：
异分母分式相加减，先通分，转化为同分母分式后，
acadbcad-bc
——土——=土—
再加减。
用式子表示：
bdbdbdbd。
2、注意事项：
（1）在异分母分式加减法中，要先通分，这是关
键，把异分母分式的加减法变成同分母分式的加减法。
（2）若分式加
减运算中含有整式，应视其分母为1然后进行通分。
（3）当分子的次数高于或等于分母的次数时，应将其分离为整式与真分式之和的形式参与运算，可使运算简便。
四、分式的混合运算
1、运算规则：
分式的加、减、乘、除、乘方混合运算，先乘方，再乘除，最后算加减。
遇到括号时，要先算括号里面的。
2、注意事项：
（1）分式的混合运算关键是弄清运算顺序；
（2）
有理数的运算顺序和运算规律对分式运算同样适用，要灵活运用交换律、结合律和分配律；（3）分式运算结果必须化到最简，能约分的要约分，保证运算结果是最简分式或整式。
2
例计算：
（1）T「O2士
a+2a—2
【分类解析】
一、分式运算的几种技巧
1、先约分后通分技巧例计算x^+蛋
分析：
不难发现，两个分式均能约分，故先约分
后再计算
分析：
两个分式的分子、分母不能约分，如把分
子突出分母，分离整数方法可使计算化简。
111
=1+x2-3x2-1-x2-5x6-x2-4x3
11
（x—1）（x—2）-（x—2）（x—3）-
1
•（x-1）（x-3）
x-3_（x_1）_（x_2）-x
=（x-1）（x-2）（x-3）=（x-1）（x-2）（x-3）=-（xT）（x-2）（x-3）
123
3、裂项相消技巧例计算x（x+1）+（x+1）（x+3）+（x+3）（x+6）
消计算
16
x6=x（x6）
x2+3x+6_x2+5x+2
练习：
".一…一一..
4、分组计算技巧例计算土+无-右-壮分析：
通过观察发现原式中第一、四项分母乘积为a2-4，第二项、第三项分母乘积为a2-1，采取分组计算简捷。
解：
原式=（花-壮）+（詐-吕）
4-412
=a2-4+a2-1=（a2-4）（a2-1）
1111
练习：
+——
7?
+x+2X+1F+3x+2F+
5、分式求值问题全解
1）字母代入法
例1.b=a+1,c=a+2,d=a+3,求
九丘十诜的值
【解析】仔细观察已知条件，虽然出现的字
母很多，但都可以用一个字母代替:
a=a,b=a+1,c=a+2,d=a+3
所以可以用一个字母代替其它字母来实现代数式的化简
」bcL
adabcbcdad
=」「^2」
aa3aa1a2a1a2a3aa3
=aa1a2a3
—2a33a33a62a3
=aa3a1a2
=2a33（a1）3（a2）
=111
33
5
3
【探讨】当已知条件中不同的字母都可以用一个字母表示时，第一个要想到的方法就是字母带入法，因为最后的结果一定是由有理数或者某个字母表示，所以用这种方法能不能得到正确结果就在于自己的分式化简能力了。
2）
设值代入法
【解析】这道题也可以用字母代入法，可以得
y=bx,z=£x'代入后分式的分子分母中有分式，aa
y、z连等，让它们都等于k贝Vx=aky=bk
bc
z=ck
代入得
xyyzzx=akbkbkckckak
abbccaabbcca
abbeca’2=k
abbcca
2=k2二
a
【探讨】当遇到连等式，可以采用以下三
种方式来运用这个条件
则
（1）y=^ax,z=cx
（2）设-=^—k贝yx=aky=bkz=ck
abc
（3）设-y=Z=k则十二k其中ab『0
abca十b十c
3）整式代入法
例3.已知：
丄-丄弋，求分式竺仝口的值.
aba—ab—b
【解析】如果用字母代入法，要用b代替a本来就比较复杂，会增加我们化简的负担。
将条件化简成乘积形式，得呼=3，再将分式
ab
稍化简变为2（a-b）3ab，可以发现分子分母中只有
（a_b）_ab
（a-b）和ab这两项，所以可以用ab代替b-a
b-a=3ab
2a3ab-2b_2（a-b）3ab_-6ab3ab_3
a-ab-b（a-b）-ab-3ab-ab4
【探讨】用整式代入法，能够很大程度地化简代数式，比字母代入法更优越，但要善于观察代数式的组成部分，比如这题，代数式就含有ab
和a-b这两项，刚好条件也适当变形能得到a-b
与ab的关系，题目很快就解出来了。
4）变形代入法
这类题是用代入法最需要技巧的，我们分以下五类题型来分析怎么变形再代入。
例4（方程变形）.已知a+b+c=O,a+2b+3c=0,且abc工0,求也戶的值.
【解析】对已知条件作形变往往要比对代数式做形变简单得多，因为代数式比条件复杂，而且给代数式做形变漫无目的，往往得不到想要的
结果
这道题已知条件是两个等式，三个字母，所以我们可以用一个字母表示其它字母，对已知条件变形得到方程组
:
a+b+c=0{b=-2c
Ji==>
a+2b+3c=0a=c
用c代替a、b代入到分式中，能很快求解出来
abbcca—-2c2-2c2c2_3
b2=4c2-4
例5（非负变形）.已知：
a2b2-8a6b25=0，求
【解析】观察已知条件，有平方项，所以可以化成平方的形式
2222
ab-8a6b25=（a-4）（b3）=0
其中（a-4）2乏0（b+3）2乏0所以（a-4）2=0（b+3）2=0
得a=4,b=-3
再带入原式很容易求出解。
例6（对应变形）.证明：
若a+b+c=0,则
11—+1—
■22222■22■22
bc-aca「bab「c
【解析】这题可以用整式代入法，比如用-b-c
代替a,但是代数式a的符号和位置在三个分式中不同，如果用a2=（b，c）2代入得到的分母截然不同，增大化简的难度。
如果将代数式三个分式的分母化成相同的形
式，反而化简方便，比如：
用a=-b-c代入b2c^a2中的a，得到-2bc
用b=-a-c代入+a-b中的b，得到-2ac
用c=-a-b代入a2+b2-c2中的c，得到-2ab
原式=二1「=艷^=0
-2bc-2ac-2ab-2abc
例7（倒数变形）.
已知旦=玄,旦"上“，且abc"求证x=2abc
x+yx+zy+zbc+ac—ab
【解析】已知条件是旦的形式，不能化简,x十y
=3」丄的形式，使得x、y相互独立，简化xyxy
已知条件
—-1=（--）（-丄）-2cyzxyxzx
112
十——
abx
2丄11
xabc
=beac-ab
abc
则x=b^，得证。
例8（归类变形）.
已知a-；=b-e1，且a、b、C互不相等，求bca
l证:
a2b2c2=1
【解析】已知条件有三个字母，两个方程，若用a表示b、c,能不能求出b、c的代数式都是问题。
因此我们变形不要太过着急，如果从消元化简的方式不能变形，就考虑从结构化简的方式来变形。
这道题条件的形式不复杂，分为整式和分式，将整式归类，分式归类：
a_b」丄口，可以发现分式形式大致消失了,cbbc
剩下的是加减形式（a-b）、（b-c）和乘积形式bc将能从已知条件得到的关系列出来
b「c,c「aa「b
a「b,b_c,c「a二
beacab
左边和左边相乘，右边和右边相乘得
（a-b）（b-c）（c-a）=
（b-c）（c-a）（a-b）
所以a2b2c2=1
【结论】给已知条件变形是用代入法的前提，变形的目的是化简已知条件，可以从两个角度上来化简：
S消元的角度：
方程变形、非负变形
——减少字母数量，方便化简
化简
结构的角度：
对应、倒数、归类变形---调整关系式结构，方便化简
代入的方法多种多样，在此不可能—列举出来，对大部分题目，观察代数式，对已知条件适当变形再代入是最适用的方法，当然也有例外，比如习题4,代数式并不是最简形式，可以先化简代数式再代用条件，事办功倍。
【练习】
（设值代入）
B.
C.
D.
2、若a2+b2=3ab,则（1+旦厂（i竺）的值等于
a「ba「b
（整式代入）
2
B.0
C.1
D.
3、已知：
a+b+c=0，abc=8求证：
昇1v
0.
（非负变形）
4、已知:
求证:
a+b+c=0.
iiaI
be
数式归类变形）
5、已
abe
++
aba1beb1acc1
abc=1,求证：
（对应变形）
1+』丄+卩
lae丿
lab.丿
3=0.（代
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