第10讲巧解定义新运算Word文档格式.docx

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b－2

求：

（1）10*20

（2）20*10

【例2】用｛a｝表示a的小数部分，[a]表示不超过a的最大数，例如{0.3}=0.3，[0.3]=0，[4.5]=4。

记f（χ）=

请计算f（

），[f（

）];

{f

（1）},[f

（1）的值]。

解f（

）=

=1.4，f（

）={1.4}=0.4，[f（

）]=[1.4]=1。

f

（1）=

=1，{f

（1）}={1}=0，[f

（1）]=[1]=1

做一做2如果规定=a×

d－b×

c，那么=。

【例3】对于整数a，b规定（*）的运算如下：

a*b=a×

b－a－b＋1

已知（2*a）=0，求a。

分析与解先算2*a，按规定

2*a=2×

a－2－a＋1=a－1

根据2*a=a－1，再算（a－1）*2得

（a－1）*2=（a－1）×

2－（a－1）－2＋1=a－1－1=a－2

因为（2*a）*2=0，也就是a－2=0，所以a=2。

做一做3a*b表示a的3倍减去b的2倍，即a*b=3a－3b。

（1）计算（5*4）*3

（2）χ*（4*χ）=11，求χ

B级培优竞赛·

更上层楼

【例4】“◎”表示一种新的运算符号，已知：

2◎3=2+3+4；

7◎2=7+8；

3◎5=3+4+5+6+7；

…

按此规则，如果n◎8=68，那么，n是多少？

分析与解从已知条件可归纳出◎的运算规则：

◎表示几个连续自然数之和，◎前面的数表示第一个加数，◎后面的数表示加数的个数。

于是可知：

n=[68÷

4－（8－1）]÷

2=5。

做一做4规定：

6*2=6+66=72

2*3=2+22+222=246

1*4=1+11+111+1111=1234

按此规则，如果χ*5=86=86415，那么，χ是多少？

按此原则，如果χ*5=86415，那么，χ是多少？

【例5】设“*‘的运算规则如下：

对任意整数a，b，若a+b≥10，则a*b=2a+b－1；

若a＋b＜10，则a*b=2ab。

上述规则也可以简写为

2a+b-1，a+b≥10

a*b=

2ab，a+b＜10

求（1*2）+（2*3）+（3*4）+（4*5）＋（5*6）+（6*7）+（7*8）+（8*90）+（9*10）。

分析与解把1*2，2*3，3*4，…9*10分别算出来，再把结果相加。

对于1*2，2*3，3*4，4*5，加为满足：

“a+b＜10”，所以，按“a*b=2ab”计算，得

1*2=2×

1×

2=42*3=2×

2×

3=12

3*4=2×

3×

4=244*5=2×

4×

5=40

对于5*6，6*7，7*8，8*9，9*10，因为满足“a+b≥10”，

所以，按“a*b=2a+b－1”计算，得

5*6=2×

5＋6－1=156*7=2×

6＋7－1=18

7*8=2×

7＋8－1=218*9=2×

8＋9－1=24

9*10=2×

9＋10－1=27

综上所述得

（1*2）+（2*3）+（3*4）+（4*5）=（5*6）+（6*7）+（7*8）+（8*90）+（9*10）=4＋12＋24＋15＋18＋24＋27=185。

做一做5对于任意正整数a，b，定义运算#如下：

如果同为奇数或同为偶数，则

a#b=（a+b）÷

2

如果a，b的奇偶性不同，则

a#b=（a+b+1）÷

求（1993#1994）#（1994#1995）#…#（1999#2000）。

【例6】任给一个数a，我们用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]=4，[7.9]=7等。

则

2+[1.0001]3+[2.0001]4+[3.0003]1990+[1989.1989

+++…+

2341990

分析与解由取整运算的规定可知，[1.0001]=1，[2.0002]=2，…

[1989.1989]=1989。

因此，

原式=[1+

]+[1+

]+…[1+

]=1+1+1+…+1=1898

做一做6用整数4代替3.56，4与3.56的差0.44称为（误差）；

用整数3代替3.56，“误差”是3.56－3=0.56。

下面五个数：

2.48，2.53，2.61，2.67，2.71，它们的和为13。

现在用五个数分别代替这五个数，要使五个数之和仍为13，并且使“误差”尽可能小，问：

这五个数“误差”之和是多少？

C级（选学）决胜总决赛·

勇夺冠军

【例7】有一个人将0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数和用三个点一条线或两个点两条线的密码表示。

例如，“7”的密码是“—·

·

—”等。

有一次别人得知他用密码发出了不大于9的自然数的平方数，并抄录得密码如下：

①·

·

—·

—·

—②——·

③——·

—

④·

——⑤·

——·

⑥—·

—·

⑦——·

⑧·

——·

—⑨·

其中左边的①，②，…是行的序号，左边电码表示十位上的数字，右边电码表示个位上的数字。

请你破译这组密码，并用密码锁写出8961来。

分析与解1～9这9个数的平方树依次为

01，04，09，16，25，36，49，64，81

个位树中有两个1、两个4、两个9、两个6、两个5，十位数中有三个0，但无5，7，9，且各不相同。

从②，③，⑦行左可知“——·

”代表0，易知④右“·

——”为5，“·

”为2。

根据01，04，09中，1，4在左边还有出现，而9在左边不再出现，知②右“—·

”没有在左边出现，所以“—·

”为9，即②为09。

于是⑥为49，“—·

”为4。

⑦是04，③是01，“·

—”是1。

①是16，“·

—”是6。

⑧是81，“·

”是8。

⑤是64，⑨是36，“·

”是3。

因此8961的密码表示应为下图所示：

做一做7有A，B，C，D四种装置，将一个数输入一种装置后会输出另一个数。

装置A：

将输入的数加上5；

装置B：

将输入人的数除以2；

装置C；

将输入的数减去4；

装置D：

将输入的数乘以3.这些装置可以连接，如装置A后面连接装置B就写成A·

B,输入1后，经过AB，输出3。

（1）输入9，经过A·

B·

C·

D,输出几？

（2）经过B·

D·

A·

C，输出的是100，输入的是几？

（3）输入7，输出的还是7，用尽量少的装置该怎样连接？

巧练习——温故知新（十）

A级基础点睛

1.如果2△3=2+3+4=9,5△4=5+6+7+8=26,按此规则计算：

（1）7△4；

（2）1△χ=15；

（3）χ△3=12。

2.令A*B=3×

A＋4×

B,试计算：

（1）（4*5）*6；

（2）（1*5）+（2*4）

3、规定“*”为一种运算，它满足a*b=ab÷

（a+b）,那么，1992*（1992*1992）的值是多少？

4.已知1△3=1×

3，6△5=6×

7×

8×

9×

10，求2△5。

5．规定3□4=3+4+5+6，6□5=6+7+8+9+10。

若95□χ=585，求χ。

B级更上层楼

6.观察5*2=5+55=60，7*4=7+77+777+7777=8638，推知9*5的值是

。

7.设a*b表示

8.对任意正整数a,b,规定a*b=a÷

2+3。

若256*a=19,求a的值。

9.假设一种运算符号“*”，χ*у表示把χ和у加起来被4除，即χ*у=（χ+у）÷

4。

（1）求13*17的值；

（2）求2*（3*5）的值；

（3）求a*16=10中a的值。

10.规定χ△у=Aχу,χ△у=（χ+у）÷

2,且（1△3）△3=1△（3▽

3），求（1△3）▽3。

C级勇夺冠军

11.对于两个自然数a和b，它们的最小公倍数与最大公约数的差记为△。

已知6△χ=27，求χ的值。

12.两个不等的自然数a和b，较大的数除以较小的数，余数记为a▽b。

已知（19▽χ）19=5，而χ小于50，求χ。

13．对于任意正整数a，b，定义运算×

如下：

如果a，b同为奇数或同为偶数，那么a×

b=（a÷

b）÷

2；

如果a，b的奇偶性不同，那么a×

b=（a+b+1）÷

2。

（1）（1993×

1994）×

（1994×

1995）×

…×

（1999×

2000）;

（2）1993×

1995×

1997×

1999×

2001。

14.对任意整数a，b，规定a△b=2a+b，若有a△2a△3a△4a△5a△6a△7a△8a△9a=3039,求整数a。

巧总结

本节我的收获是：

不足之处有：