铁路缓和曲线坐标计算方法.docx
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铁路缓和曲线坐标计算方法
一、曲线的一般组成
厦深铁路12标正线线形设计为直线+缓和曲线+圆曲线+缓和曲线+直线。
从小里程至大里程依次为ZH（直缓点）、HY（缓圆点）、YH（圆缓点）、HZ（缓直点）如下图所示：
二、方位角的概念
从标准方向的正北端起,顺时针方向到直线的水平角称为该直线的方位角。
方位角的取值范围为0°～360°，如下图A即为直线L的方位角。
三、某点坐标的计算
已知A点坐标为（491548，2505452），B点距离A点L=125m，直线AB的方位角为235°，计算B点坐标。
计算方法：
Y=491548+125×SIN235=491445.606
X=2505452+125×COS235=2505380.303
四、曲线上任一点的坐标及切线方位角计算
1直线段上任一点的坐标及方位角
直线上的坐标计算比较简单，只需要求出该点所在直线的方位角以及线路中的里程即可求得
例1，求DK495+520处左中线的坐标及方位角
由设计院所给的曲线要素表可知该点位于JD57JD58的直线上，查曲线要素表JD57,JD58的坐标分别为（488809.902，2504127.029），（485660.627，2504491.226）。
通过坐标反算直线JD57JD58的方位角：
A=atg（（485660.627-488809.902）/（2504491.226-2504127.029））
=276.59665°
注意：
A的取值可根据下述条件确定
ΔY>0,ΔX>0,第一象限0-90°
ΔY>0,ΔX<0,第二象限90°-180°
ΔY<0,ΔX<0,第三象限180°-270°
ΔY<0,ΔX>0,第四象限270°-360°
查曲线表，JD58切线长T=690.303m，JD58坐标（Y58,X58）=（485660.627，2504491.226）,ZH点里程为DK496+093.885。
JD58JD57的方位角：
A0=A-180=96.59665°
则ZH点的坐标为：
YZH=Y58+T×sin（A0）=485660.627+690.303×sin96.59665
=486346.3598
XZH=X58+T×cosA0=2504491.226+690.303×COS96.59665
=2504411.9246
ZH点坐标为（YZH,XZH）=（486346.3598,2504411.9246）
DK495+520到ZH点的距离L=DKZH-DK495+520
=496093.885-495520
=573.885
则DK495+520的坐标（Y,X）=（YZH+L×sinA0,XZH+L×cosA0）
=（486916.445，2504345.997）
切线方位角即为JD57JD58,A=276.59665°
2第一缓和曲线的计算（切线支矩法）
由于缓和曲线与圆曲线没有比较理想的大地坐标计算公式，需要局部计算再根据换算公式换算为大地坐标。
计算思路为：
先以缓和曲线所在交点的
ZH点为坐标原点建立小坐标系统，算出小坐标Yi，Xi以及β，然后由换算公式换算为统一的大地坐标系统，即设计院所给的坐标系统。
计算公式如下：
2.1小坐标计算公式:
Yi=L³/（6R*Ls）（2-1）
Xi=L-（2-2）
β=ρ*L²/（2R*Ls）（2-3）
Yi----------缓和曲线上i点的小坐标Y
Xi----------缓和曲线上i点的小坐标X
L-----------缓和曲线上i点到直缓点的曲线长度L=DKi-DKZH
R-----------圆曲线半径
Ls----------缓和曲线长
β----------
ρ----------ρ=180/π
2.2小坐标转大地坐标计算公式
Y=YZH+Xi*sinA0+CC*Yi*cosA0
X=XZH+Xi*cosA0-CC*Yi*sinA0
Ai=A0+CC*β
Y-----------待求里程点大地Y坐标
X-----------待求里程点大地X标
Ai----------待求里程点切线方位角
A0----------ZH点至交点直线的方位角
CC----------表示+1或者-1，取值规定：
当
曲线单元偏向为右时为+1，左偏时为-1
例2求DK496+129.336左线中心坐标及切线方位角，即李朗特大桥46#墩左中线。
由曲线表可知DK496+129.336位于JD58的第一缓和曲线上，由例1中的计算知道ZH点坐标为（YZH,XZH）=（486346.3598,2504411.9246），JD57-JD58的切线方位角A0=276.59665°。
缓和曲线长Ls=350,半径R=2500，
小坐标Yi=L³/（6R*Ls）
=（496129.336-496093.885）³/（6*2500*350）
=0.008486
Xi=L-
=35.451-
=35.151
β=ρ*L²/（2R*Ls）
=180×35.451²/（2×2500×350×π）
=0.04115°
小坐标换大坐标
Y=YZH+Xi*sinA0+CC*Yi*cosA0
=486346.3598+35.151×sin276.59665
-0.008486×cos276.59665
=486311.1426
X=XZH+Xi*cosA0-CC*Yi*sinA0
=2504411.9246+35.15×cos276.59665
+0.008486×sin276.59665
=2504415.989
切线方位角
A=A0+CC*β
=276.59665-0.04115
=276.5555°
注：
此处曲线偏向为左偏，所以CC=-1
DK496+129.336的左中坐标为（Y,X）=（486311.1426，2504415.989）
切线方位角A=276.5555°
3第二缓和曲线
以待求缓和曲线所在交点的HZ点为坐标原点建立小坐标系统。
3.1小坐标计算
小坐标计算公式同上，需注意，L=DKHZ-DKi,所代表含义为待求i点到HZ点的曲线长度。
3.2大地坐标计算
小坐标转大地坐标计算公式
Y=YHZ+Xi*sinA0+CC*Yi*cosA0
X=XHZ+Xi*cosA0-CC*Yi*sinA0
Ai=A0+CC*β+180（或者-180，只要结果大于0即可，+180或者-180只是为了使方位角仍指向大里程方向）
Y-----------待求里程点大地Y坐标
X-----------待求里程点大地X标
Ai----------待求里程点切线方位角
A0----------HZ点至交点直线的方位角
CC----------表示+1或者-1，取值规定：
当曲线单元偏向为左时为-1，右偏时为+1
例3计算DK497+225.939（即早窝仔特大桥6#墩）左中线坐标及切线方位角
由曲线表知DK497+225.939位于JD58的第二缓和曲线上，HZ点里程DKHZ=497+459.505,JD58坐标为（485660.627，2504491.226），JD59坐标为（483775.574,2503926.412）,切线长T=690.303
直线JD58-JD59的方位角：
AJD58-JD59=atg[（483775.574-485660.627）/（2503926.412-2504491.226）]
=253.32033
直线JD59-JD58的方位角：
A0=AJD58-JD59-180
=73.32033
HZ点坐标：
YHZ=Y58+T×sin（AJD58-JD59）=485660.627+690.303
×sin253.32033
=484999.369
XHZ=X58+T×cosAJD58-JD59=2504491.226+690.303×COS253.32033
=2504293.0949
HZ点坐标为（YHZ,XHZ）=（484999.369,2504293.0949）
以HZ点为坐标原点，小坐标计算：
Yi=L³/（6R*Ls）
=（497459.505-497225.939）³/（6*2500*350）
=2.427
Xi=L-
=233.566-
=233.5433
β=ρ*L²/（2R*Ls）
=180×233.566²/（2×2500×350×π）
=1.7861°
小坐标转换为大地坐标：
Y=YHZ+Xi*sinA0+CC*Yi*cosA0
=484999.369+233.5433×sin73.32033
+2.427×cos73.32033
=485223.7825
X=XHZ+Xi*cosA0-CC*Yi*sinA0
=2504293.0949-233.54×cos73.32033
+2.427×sin73.32033
=2504357.801
切线方位角
A=A0+CC*β
=73.32033+1.7861
=75.10643°
曲线为左偏，故CC=1
为了使方位角指向大里程方向，再加上180
即A=75.10643+180=255.10643°
DK497+225.939的左中线坐标为（Y,X）=（485223.7825，2504357.801）
切线方位角A=255.10643°
4圆曲线坐标计算
圆曲线计算跟第一缓和曲线计算思路一样，以ZH点为坐标原点建立直角坐标系。
4.1小坐标计算：
Yi=R*[1-cos（ρ*L/R+β0）]+p
Xi=R*sin（ρ*L/R+β0）+m
β=ρ*（L+0.5Ls）/R
其中p=Ls²/24Rm=Ls/2-（Ls³/240R²）β0=ρ*Ls/2R
L=DKi-DKZH-Ls
4.2小坐标转大地坐标：
计算公式与2.2中的计算公式一致。
例题4计算DK497+053.449（早窝仔特大桥厦门台前）左中线坐标及切线方位角
由曲线表可知DK497+053.449位于JD58的圆曲线上，由例1中的计算知道ZH点坐标为（YZH,XZH）
=（486346.3598,2504411.9246）JD57-JD58的切线方位角A0=276.59665°。
缓和曲线长Ls=350,半径R=2500
小坐标计算：
p=Ls²/24R=350²/24×2500=2.04166
m=Ls/2-（Ls³/240R²）
=350/2-（350³/240×2500²）
=174.971416
β0=ρ*Ls/2R
=180×350/（2×2500×π）
=4.0107
L=DK497+053.449-DKZH-Ls
=609.564
Yi=R*[1-cos（ρ*L/R+β0）]+p
=2500×[1-cos（180×609.564/2500×π+4.0107）]
+2.04166
=124.1427
Xi=R*sin（ρ*L/R+β0）+m
=2500×sin（180×609.564/2500×π+4.0107）
+174.971416
=946.7205
β=ρ*（L+0.5Ls）/R
=180×（609.564+0.5×350）/2500×π
=17.98088°
小坐标换大坐标
Y=YZH+Xi*sinA0+CC*Yi*cosA0
=486346.3598+946.7205×sin276.59665
-124.1427×cos276.59665
=485391.6457
X=XZH+Xi*cosA0-CC*Yi*sinA0
=2504411.9246+946.7205×cos276.59665
+124.1427×sin276.59665
=2504397.3622
切线方位角
A=A0+CC*β
=276.59665-17.98088
=258.61577°
曲线左偏，CC=-1
DK497+053.449的左中坐标为（Y,X）=（485391.6457,2504397.3622）
切线方位角A=258.61577°
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