人教版八年级数学上等腰三角形.docx

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人教版八年级数学上等腰三角形

初中数学试卷

金戈铁骑整理制作

等腰三角形

知识导引

1、等腰三角形的性质：

有两条边相等；在同一个三角形中，等边对等角；等腰三角形三线合一（顶角平分线、底边上的高线和底边上的中线互相重合）；是轴对称图形，有一条对称轴。

等边三角形是特殊的等腰三角形，它的三条边相等，三个角都是60°，三条边上都满足三线合一，有三条对称轴。

2、等腰三角形的判定：

在同一三角形中，等角对等边；等边三角形的判定定理有：

三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

3、解与等腰三角形相关的问题时，全等三角形依然是重要的工具，但更多的是要思考运用等腰三角形的特殊性质。

这些性质为角度的计算、线段相等的证明、直线限制关系的证明等问题的解决提供了新的理论依据。

4、寻找发现等腰三角形是解一些几何题的关键，判定一个三角形为等腰三角形的基本方法是：

从定义入手，证明一个三角形的两条边相等；从角入手，证明一个三角形的两个角相等。

实际解题中的一个常用技巧是构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务。

常用的构造方法有：

（1）角平分线＋平行线；

（2）角平分线＋垂线；（3）垂直平分线；（4）三角形中的2倍关系。

典例精析

例1：

如图，BD是等腰△ABC底边AC上的高线，DE∥BC角AB于点E，求证：

△BED是等腰三角形。

例1—1：

如图，∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB相邻的外角的平分线CF相交于点F，过点F作DF∥BC，交AB于点D，交AC于点E，

（1）图中有哪几个等腰三角形？

请说明理由。

（2）BD，CE，DE之间存在着什么关系？

请证明。

例2：

等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为30°，则等腰三角形的顶角为。

例3：

如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝20°，且AD＝AE，则∠CDE＝。

例4：

如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DE，∠BAD＝20°，∠EDC＝10°，则∠DAE的度数为。

例5：

老师布置了一道思考题：

如图1，点M，N分别在正三角形ABC的BC，AC边上，且BM＝CN，AM，BN交于点Q，求证：

∠BQM＝60°。

（1）请你完成这道思考题；

（2）做完

（1）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许多问题，如：

①若将题中“BM＝CN”与“∠BQM＝60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题？

②若将题中的点M，N分别分别移动到BC，AC的延长线，是否仍能得到∠BQM＝60°？

③若将题中的条件“点M，N分别在正三角形ABC的BC，AC边上”改为“点M，N分别在正方形ABCD的BC，CD边上”，是否仍能得到∠BQM＝60°？

……

请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：

①；②；③。

对②，③的判断，选择一个给出证明。

探究活动

例：

小区内有一个三角形小花坛，现在小明想把它分割成两个等腰三角形，使之可以种上不同的花，但是一定可以分成两个等腰三角形吗？

于是小明开始探索三角形可以被分割成两个等腰三角形的条件，小明把三角形花坛抽象成几何图形，如图1，△ABC中，设∠A＝

，∠B＝

，∠C＝

。

请探究△ABC中个角度有怎样的关系才能被分割成两个等腰三角形，并探究如何分割。

学力训练

A组务实基础

1、已知等腰三角形的一条边长等于6，领一条边长等于3，则此等腰三角形的周长是（）

A、9B、12C、15D、12或15

2、如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD，CE分别为∠ABC与∠ACB的角平分线且相较于点F，则图中的等腰三角形有（）

A、6个B、7个C、8个D、9个

（第2题图）（第3题图）（第4题图）

3、如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A，B是两格点，，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（）

A、6个B、7个C、8个D、9个

4、如图所示，已知△ABC和△CDE均是等边三角形，点B，C，E在通一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连结OC，FG，则下列结论：

①AE＝BD；②AG＝BF；③FG∥BE；④∠BOC＝∠EOC，其中正确的结论个数是（）

A、1个B、2个C、3个D、4个

5、已知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分成2：

1两部分，已知三角形的底边长为5，则腰长为。

6、如图，在△ABC中，EG∥BC，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，AB＝10，AC＝12，△AEG的周长是

（第6题图）（第7题图）

7、如图，在△ABC中，∠ACB＝100°，AC＝AE，BC＝BD，则∠DCE的度数为

8、请在下图的方格中任意画出三个以AB为腰的等腰三角形ABC。

（要求：

三个三角形分别为锐角三角形，直角三角形，钝角三角形）

9、如图所示，把一块直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A与CB的延长线上的点E重合。

（1）三角尺旋转了多少度？

（2）连结CD，试判断△CBD的形状。

（3）求∠BDC的度数。

10、已知：

如图，OA平分∠BAC，∠1＝∠2，求证：

△ABC是等腰三角形。

11、已知一个等腰三角形的三边长分别是x，2x－1，5x－3，那么这个三角形的周长是多少？

12、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC沿着一条直线折叠后，使点A与点C重合（图②）.

（1）在图①中画出折痕所在的直线l。

设直线l与AB，AC分别相交于点D，E，连结CD。

（画图工具不限，不要求写作法）

（2）请你找出完成问题

（1）后所得到的图形中的等腰三角形（不要求证明）。

13、如图

（1）等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连结AE。

（1）△DBC和△EAC会全等吗？

请说说你的理由。

（2）试说明AE∥BC的理由。

（3）如图

（2），将

（1）中动点D运动到边BA的延长线上，所作△EDC仍为等边三角形，是否仍有AE∥BC？

证明你的猜想。

B组瞄准中考

1、（济宁中考）如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm和6cm，那么此三角形的周长是（）

A、15cmB、16cmC、17cmD、16cm或17cm

2、（大庆中考）如图，在△ABC中，AC＝BC＞AB，点P为△ABC所在平面内一点，且点P与△ABC的任意两个顶点构成的△PAB，△PBC，△PAC均是等腰三角形，则满足上述条件的所有点P的个数为（）

A、3个B、4个C、6个D、7个

（第2题图）（第3题图）（第5题图）（第6题图）

3、（西宁中考）如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADB＋∠EDC＝120°，BD＝3，CE＝2，则△ABC的边长为（）

A、9B、12C、16D、18

4、（宿迁中考）等腰三角形的两边长分别是3和7，则其周长为

5、（邵阳中考）如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点E为AC的中点，请你写出一个正确的结论：

6、（无锡中考）如图，OB＝OC，∠B＝80°，则∠AOD＝

7、（宁波中考）

（1）如图1，△ABC中，∠C＝90°，请用直尺和圆规作一条直线，把△ABC分割成两个等腰三角形。

（不写作法，但须保留作图痕迹）

（2）已知内角度数的两个三角形如图2、图3所示，请你判断：

能否分别画一条直线把它们分割成两个等腰三角形？

若能，请写出分割成的两个等腰三角形顶角的度数。

8、（株洲中考）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于点E，D为垂足，连结CE。

（1）求∠ECD的度数；

（2）若CE＝5，求BC的长。

9、（玉溪中考）将两个等边△ABC和△DEF（DE＞AB）按如图所示摆放，点D是BC上一点（除点B，点C外）。

把△DEF绕顶点D按顺时针方向旋转一定的角度，使得边DE，DF与△ABC的边（边BC除外）分别相交于点M，N。

（1）∠BMD和∠CDN相等吗？

（2）画出使∠BMD和∠CDN相等的所有情况的图形。

（3）在题

（2）中任选一种图形说明∠BMD和∠CDN相等的理由。

10、（沈阳中考）已知：

如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连结BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点。

（1）求证：

①BE＝CD；②△AMN是等腰三角形。

（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形，请直接写出

（1）中的两个结论是否仍然成立。

11、（绍兴中考）数学课上，李老师出示了如下框中的题目：

小敏同桌小聪讨论后，进行解答：

（1）特殊情况，探索结论：

当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与BD的大小关系，请你直接写出结论：

AEBD（填“＞”，“＜”或“＝”）。

（2）特例启发，解答题目：

题目中，AE与BD的大小关系是：

AEBD（填“＞”，“＜”或“＝”）。

理由如下：

如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F。

（请你完成以下解答过程）

（3）拓展结论，设计新题：

在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且DE＝CE。

若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长。

（请你直接写出结果）

12、（杭州中考）如图，在等腰△ABC中，CH是底边上的高线，点P是线段CH上不与端点重合的任意一点，连结AP交BC于点E，连结BP交AC于点F。

（1）证明：

∠CAE＝∠CBF；

（2）证明：

AE＝BF；

（3）以线段AE，BF和AB为边构成一个新的三角形ABG（点E与点F重合于点G），记△ABC和△ABG的面积分别为

和

，如果存在点P，能使得

＝

，求∠ACB的取值范围。

C组冲击金牌

1、将一根长度为11的铅丝折成三段，再首尾相接围成一个等腰三角形，如果要求所围成的等腰三角形的边长都是整数，那么其底边可取的不同长度有（）

A、2个B、3个C、4个D、5个

2、意识△ABC的三边长分别为a、b、c，且

，则△ABC一定是（）

A、等边三角形B、腰长为a的等腰三角形

C、底边长为a的等腰三角形D、等腰直角三角形

3、如图，若AB＝AC，BG＝BH，AK＝KG，则∠BAC的度数为（）

A、30°B、32°C、36°D、40°

4、有一等腰三角形纸片，若能从一个底角的顶点出发，将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的顶角为度。

5、如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE＝AC，延长BE交AC于点F，求证：

AF＝EF

6、如图，已知等边△ABC中，DE∥BC，FG∥BC，现将等边△ABC分别沿DE和FG对折，点A分别落在点

和点

，连结

，

。

（1）求证：

△AFG是正三角形；

（2）求证：

；

（3）设

，

交FG与M，N两点，若DE＝

cm，FG＝3cm，求

的周长。