数学人教版八年级上册《三角形的内角》.docx

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数学人教版八年级上册《三角形的内角》

　三角形的内角（第1课时）

1.理解“三角形的内角和等于180°”及其推理过程.

2.能运用三角形内角和定理解决问题.

1.通过测量、猜想、推理等数学活动,探索三角形的内角和,感受数学思考过程的条理性,发展合情推理能力和语言表达能力.

2.理解三角形内角和的计算、验证,掌握把三个内角集中在一起转化为一个平角的方法.

在观察、操作、推理、归纳等探索过程中,发展同学们的合情推理能力,逐步养成和获得数学说理的习惯与能力.

【重点】　三角形内角和定理的推导及应用.

【难点】　三角形内角和定理的推导、验证过程.

【教师准备】　课前布置学生预习.

【学生准备】　硬三角形纸板,量角器.

导入一:

我们小学时对三角形已经有所了解，我课下给各组布置了作业，组内四名同学分别制作一个三角形，请把制作好的三角形准备好。

（展示情境）如图所示,在一个直角三角形里住着三个内角,平时三兄弟非常团结,可是有一天,老二突然不高兴,发起脾气来,它指着老大说:

“你凭什么度数最大,我也要和你一样大!

”老大说:

“不行啊!

这是不可能的,否则,我们这个家就再也围不起来了……”“为什么?

”老二很纳闷.

同学们,你们知道其中的道理吗?

[设计意图]　通过富有情趣的故事引入,激发学生学习的兴趣,能够引导学生积极投入思考中,为新知的学习做好设疑.

导入二:

【提出问题】

问题1：

三角形有几个内角？

问题2：

三角形的内角和指什么？

问题3：

请猜想一下，三角形内角和是多少度呢？

问题4：

用什么方法验证你的猜想呢？

[设计意图]　由学生熟知的知识引入课题,不仅复习回顾旧知,也为学习新知做好知识储备,为学习新知奠定基础.

　　[过渡语]　在小学我们学习过,三角形的内角和为180°,那么我们用什么方法进行验证或证明呢?

一、三角形内角和定理的验证

1.量一量:

一副三角板的每个角各是多少度?

一副三角板三个内角的和各是多少?

2.猜一猜:

任意一个三角形的三个内角和都相等吗?

是多少度呢?

3.动动手,仔细观察:

（1）拼拼看,将任意一个三角形的三个内角拼合在一起会形成什么角?

（2）观察,小组内观察比较,会得出什么结论?

【学生活动】　学生根据探究步骤,依次进行猜想、测量、拼接等活动,获得对于三角形内角和的认识,同时小组内进行讨论,全班展示,如图所示.

【结论】　三角形的内角和是180°.

【教师活动】　教师深入参与活动,指导、倾听学生交流,引导学生通过多种方法说明三角形的内角和为180°,通过多媒体进行展示拼接过程.

[设计意图]　通过动手操作,使学生从中体验数学学习的乐趣,并在教师的引导下,从动手操作中发现三角形内角和定理的证明方法.

二、三角形内角和定理的证明

思路一

　　[过渡语]　如果我们不用测量、剪拼的办法,可不可以用推理论证的方法来说明上面的结论的正确性呢?

【师生活动】　教师引导学生借助拼接方法,进行小组讨论,借助辅助线进行解答,学生依据拼接的方法进行讨论、交流,教师做好引导和指导工作.

【师生共同完成证明过程】

证明:

如图所示,过点A作DE∥BC,

∵DE∥BC,

∴∠B=∠1,∠C=∠2（两直线平行,内错角相等）,

∵∠BAC+∠1+∠2=180°,

∴∠BAC+∠B+∠C=180°,

即三角形的内角和为180°.

教师强调:

辅助线的添加方法,证明思路为将三角形的三个角转化为一个平角,利用平行线的性质进行证明.

[设计意图]　使学生对三角形内角和的感性认识上升到理性认识,由于学生刚刚开始接触证明,所以教师必须要有规范性示范,使学生逐步掌握推理的方法步骤.

思路二

　　[过渡语]　结合其他的拼接方法,你还能得到怎样的证明方法?

还有其他的证明方法吗?

【师生活动】　学生根据已有的证明方法和拼接经验,自主思考三角形内角和定理的证明过程,最后小组讨论,师生交流得到证明方法,学生书写证明过程.

辅助线的作法:

（1）如图所示,延长BC到点M,过点C作CN∥AB.

∵CN∥AB,

∴∠ACN=∠A（两直线平行,内错角相等）,

∠NCM=∠B（两直线平行,同位角相等）.

∵∠ACB+∠ACN+∠NCM=180°,

∴∠A+∠B+∠ACB=180°.

（2）如图所示,在BC边上任取一点D,作DE∥AB,交AC于E,DF∥AC,交AB于F.

因为DF∥AC（已作）,

所以∠1=∠C（两直线平行,同位角相等）,

∠2=∠DEC（两直线平行,内错角相等）.

因为DE∥AB（已作）,

所以∠3=∠B,∠DEC=∠A（两直线平行,同位角相等）.

所以∠A=∠2（等量代换）.

又因为∠1+∠2+∠3=180°（平角定义）,

所以∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）.

（3）如图所示,过A点任作直线l1,

过B点作l3∥l1,过C点作l2∥l1.

因为l1∥l2（已作）,

所以∠1=∠2（两直线平行,内错角相等）.

同理,∠3=∠4.

又因为l1∥l3（已作）,

所以∠5+∠1+∠6+∠4=180°（两直线平行,同旁内角互补）,

所以∠5+∠2+∠6+∠3=180°（等量代换）.

又因为∠2+∠3=∠ACB,

所以∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°（等量代换）.

【师生总结并板书】　三角形内角和定理:

三角形内角和为180°.

[知识拓展]　本定理尽管证明思路很多,但其基本思想主要是设法将三个角拼合在一起,组成一个平角.上述探索的意义旨在锻炼发散思维能力,证明的关键在于要善于联想,不断地总结、归纳规律,利用已有知识分析和解决问题.

[设计意图]　通过运用多种方法证明三角形内角和定理,让学生体验作辅助线的重要性,同时对于证明问题有一定认识,培养多元化的思维.

三、例题讲解

　　[过渡语]　在学习了三角形的内角和定理之后,那么三角形内角和定理有什么应用呢?

我们看一下下面几个问题.

　（教材例1）如图所示,在ΔABC中,∠BAC=40°,∠B=75°,AD是ΔABC的角平分线.求∠ADB的度数.

〔解析〕　根据角平分线的定义求出∠DAB,根据三角形的内角和定理得到

∠ADB=180°-∠DAB-∠B,代值求出即可.

解:

因为AD平分∠CAB,∠BAC=40°,

所以∠DAB=20°,

因为∠B=75°,

所以∠ADB=180°-∠DAB-∠B=180°-20°-75°=85°.

[解题策略]　对于求某个角的度数的问题,一般是分析这个角是哪一个三角形的内角,其他两个角是否已

知度数或已知三角之间的数量关系,然后利用三角形的内角和定理进行求解.

　（教材例2）如图所示的是A,B,C三岛的平面图,C岛在A岛的北偏东50°方向,B岛在A岛的北偏东80°方向,C岛在B岛的北偏西40°方向,从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是多少度?

从C岛看A,B两岛的视角∠ACB呢?

〔解析〕　A,B,C三岛的连线构成ΔABC,所求的∠ACB是ΔABC的一个内角,如果能求出∠CAB,∠ABC,就能求出∠ACB的度数.

解:

∠CAB=∠BAD-∠CAD=30°,

因为AD∥BE,所以∠BAD+∠ABE=180°,

所以∠ABE=100°,所以∠ABC=60°,

所以在ΔABC中,∠ACB=90°.

〔解题策略〕　解答本题关键是明确方向角的定义,知道题目所给出的角的度数,再运用平行线的性质和三角形的内角和定理解答问题.

1.三角形内角和定理:

三角形的内角和为180°.

2.三角形内角和定理的证明:

思路是设法将三角形的三个内角移到一起,组合成一个平角,在转化过程中借助平行线.

3.三角形内角和定理的应用:

直接根据三角形中角的关系,用代数方法求三个角.

1.在ΔABC中,∠A=80°,∠B=∠C,则∠B的度数为（　　）

　　A.50°B.40°C.10°D.45°

解析:

根据三角形内角和定理可知,∠A+∠B+∠C=180°,因为∠A=80°,所以∠B+∠C=100°,因为∠B=∠C,所以∠B=50°.故选A.

2.已知在ΔABC中,∠A+∠B=∠C,那么ΔABC的形状为（　　）

A.直角三角形B.钝角三角形

C.锐角三角形D.以上都不对

解析:

根据三角形内角和定理可知,∠A+∠B+∠C=180°,因为∠A+∠B=∠C,所以2∠C=180°,所以∠C=90°,所以ΔABC为直角三角形.故选A.

3.在ΔABC中,∠B=∠A+10°,∠C=∠B+10°,求ΔABC各内角的度数.

解:

因为∠A+∠B+∠C=180°,∠B=∠A+10°,∠C=∠B+10°,所以代入得:

∠A+∠A+10°+∠A+10°+10°=180°,即3∠A=150°,所以∠A=50°,所以∠B=60°,∠C=70°.

第1课时

一、三角形内角和定理的验证

二、三角形内角和定理的证明

三、例题讲解

一、教材作业

教材第13页练习第1,2题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.在ΔABC中,∠A=50°,∠B=60°,则∠C的度数为（　　）

A.60°B.70°C.80°D.110°

2.已知ΔABC中,∠A=20°,∠B=∠C,那么ΔABC的形状是（　　）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.不能确定

3.如图所示,在ΔABC中,∠A=70°,∠B=50°,CD平分∠BCA,

则∠ADC的度数为　　　　. 

4.如图所示,AB∥CD,AD和BC相交于点O,∠A=35°,∠AOB=75°,

则∠C=　　　　. 

【能力提升】

5.若一个三角形三个内角度数的比为4∶5∶9,

请求出这个三角形各角的度数,并说出它属于哪类三角形?

本节主要是让学生在教师一些特定的情境设计下，能通过小组中合作探究，在量一量、剪一剪、拼一拼等各种方法中验证三角形的内角和是180°，并指导学生通过以上的拼接方法作辅助线证明三角形的内角和定理，得到推理验证,最后运用所得的结论解决实际生活中的一些问题.在此过程中,教师让学生进行实验、动手操作、自主探索,使学生主动积极地参加到数学活动中来!

如果引入部分的问题换成求出破损的角的度数,这个问题会和本节的联系更紧密一些.

在教学过程中要放手让学生去实验、讨论、归纳,干脆利落地得到三角形内角和定理,避免出现混淆、模糊,导致学生思维混乱.