数学分析课后习题答案.docx
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数学分析课后习题答案
数学分析课后习题答案
【篇一：
数学分析试卷及答案6套】
>一.（8分）用数列极限的?
?
n定义证明?
1.
n二.（8分）设有复合函数f[g（x）],满足:
（1）limg（x）?
b;
x?
a
（2）?
x?
u（a）,有g（x）?
u（b）（3）limf（u）?
a
u?
b
00
用?
?
?
定义证明,limf[g（x）]?
a.
x?
a
三.（10分）证明数列{xn}:
xn?
cos1cos2cosn
?
?
?
?
收敛.1?
22?
3n?
（n?
1）
1
在[a,1]（0?
a?
1）一致连续,在（0,1]不一致连续.x
四.（12分）证明函数f（x）?
五.（12分）叙述闭区间套定理并以此证明闭区间上连续函数必有界.六.（10分）证明任一齐次多项式至少存在一个实数零点.七.（12分）确定a,b
使limax?
b）?
0.
x?
?
?
32
八.（14分）求函数f（x）?
2x?
9x?
12x在[?
15
]的最大值与最小值.42
九.（14分）设函数f（x）在[a,b]二阶可导,f?
（a）?
f?
（b）?
0.证明存在?
?
（a,b）,使
f?
?
（?
）?
4
f（b）?
f（a）.2
（b?
a）
数学分析-1样题
（二）
一.（10分）设数列{an}满足
:
a1?
an?
1?
（n?
n）,其中a是一给定的正常
数,证明{an}收敛,并求其极限.
二.（10分）设limf（x）?
b?
0,用?
?
?
定义证明lim
x?
x0
x?
x0
11
?
.f（x）b
三.（10分）设an?
0,且lim
an
?
l?
1,证明liman?
0.
n?
?
n?
?
an?
1
四.（10分）证明函数f（x）在开区间（a,b）一致连续?
f（x）在（a,b）连续,且
x?
a?
limf（x）,limf（x）存在有限.?
x?
b
五.（12分）叙述确界定理并以此证明闭区间连续函数的零点定理.
六.（12分）证明:
若函数在连续,且f（a）?
0,而函数[f（x）]2在a可导,则函数f（x）在a可导.七.（12分）求函数f（x）?
x?
?
?
x?
?
?
1在的最大值,其中0?
?
?
1.
八.（12分）设f在上是凸函数,且在（a,b）可微,则对任意x1,x2?
（a,b）,x1?
x2,都有
f?
（x1）?
f?
（x2）.
?
g（x）
?
?
?
?
?
?
x?
0?
九.（12分）设f（x）?
?
x且g（0）?
g?
（0）?
0,g?
?
（0）?
3,求f?
（0）.
?
?
0?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
x?
0
数学分析-2样题
（一）
一.（各5分,共20分）求下列不定积分与定积分:
1.3.
?
xarctanx?
dx
2.
?
edx
4.
?
x
?
ln0
?
?
xsinx
2
1?
cosx
二.（10分）设f（x）是上的非负连续函数,三.（10分）证明
?
b
a
f（x）dx?
0.证明f（x）?
0（x?
[a,b]）.
?
2?
sinx
?
0.x
四.（15分）证明函数级数
?
（1?
x）x
n?
0
?
n
在不一致收敛,在[0,?
]（其中）一致收敛.
五.（10分）将函数f（x）?
?
?
?
?
x,?
?
?
?
?
?
?
?
x?
0
展成傅立叶级数.
?
?
?
x,?
?
?
?
?
?
0?
x?
?
?
22
xy?
?
?
?
?
?
x?
y?
0?
六.（10分）
设f（x,y）?
?
?
22
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0,?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
x?
y?
0
证明:
（1）fx?
（0,0）,fy?
（0,0）存在;
（2）fx?
（x,y）,fy?
（x,y）在（0,0）不连续;（3）f（x,y）在（0,0）可微.
七.（10分）用钢板制造容积为v的无盖长方形水箱,怎样选择水箱的长、宽、高才最省钢板?
八.（15分）设0?
?
?
1,证明
11
.?
?
?
?
n?
1n（n?
1）
数学分析-2样题
（二）
?
一.（各5分,共20分）求下列不定积分与定积分:
1.
?
?
?
（a?
0）
1
2.
?
x?
xx?
x
100?
87
1712
1514
dx
3.
?
arcsinx?
?
dx
4.
?
二.（各5分,共10分）求下列数列与函数极限:
1.lim
n
?
22n?
?
k?
1n?
k
n
2.lim
xx?
01?
ex
?
x
etdt
2
三.（10分）设函数在[a,b]连续,对任意[a,b]上的连续函数g（x）,g（a）?
g（b）?
0,有
?
b
a
f（x）g（x）dx?
0.证明f（x）?
0（x?
[a,b]）.
四.（15分）定义[0,1]上的函数列
1?
2
2nx,?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
x?
?
2n?
11?
fn（x）?
?
2n?
?
2n2x?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
x?
2nn?
1?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
x?
1?
n?
证明{fn（x）}在[0,1]不一致收敛.五.（10分）求幂级数
?
（n?
1）x
n?
0
?
n
的和函数.
六.（10分）用?
?
?
定义证明
（x,y）?
（2,1）
lim（4x2?
3y）?
19.
七.（12分）求函数u?
（2ax?
x2）（2by?
y2）?
?
（ab?
0）的极值.八.（13分）设正项级数
数学分析-3样题
（一）
一（10分）证明方程f（x?
zy?
1,y?
zx?
1）?
0所确定的隐函数z?
z（x,y）满足方程
?
a
n?
1
?
n
收敛,且an?
an?
1?
?
?
（n?
n?
）.证明limnan?
0.
n?
?
x
?
z?
z
?
y?
z?
xy.?
x?
y
二（10分）设n个正数x1,x2,?
xn之和是a
，求函数u?
三（14分）设无穷积分
.
?
?
?
a
f（x）dx收敛，函数f（x）在[a,?
?
）单调，证明
1
x
四（10分）求函数f（y）?
五（14分）计算
?
1
ln（x2?
y2）dx的导数（y?
0）.
sinbx?
sinax
dx（p?
0,b?
a）.
0x
六（10分）求半径为a的球面的面积s.
i?
?
?
?
e?
px
七（10分）求六个平面
a1b1c1?
a1x?
b1y?
c1z?
?
h1,
?
?
a2x?
b2y?
c2z?
?
h2,?
=a2b2c2?
0,?
ax?
by?
cz?
?
h,a3b3c3333?
3
所围的平行六面体v的体积i，其中ai,bi,ci,hi都是常数，且hi?
0（i?
1,2,3）.八（12分）求
xdy?
ydx?
?
cx2?
y2，其中c是光滑的不通过原点的正向闭曲线.
九（10分）求
ds2222
?
，其中是球面被平面z?
h（0?
h?
a）所截的顶部.x?
y?
z?
a?
?
z?
数学分析-3样题
（二）
一（10分）求曲面x?
u?
v,y?
u2?
v2,z?
u3?
v3在点（0,2）对应曲面上的点的切平面与法线方程.
二（10分）求在两个曲面x2?
xy?
y2?
z2?
1与x2?
y2?
1交线上到原点最近的点.三（14分）设函数f（x）在[1,?
?
）单调减少，且limf（x）?
0，证明无穷积分
x?
?
?
?
?
?
1
f（x）dx与级数?
f（n）同时收敛或同时发散.
n?
1?
?
100
四（12分）证明
?
e?
ax?
e?
bxb
dx?
ln（0?
a?
b）.xa
五（12分）设函数f（x）在[a,a]连续，证明?
x?
[a,a]，有
1x
lim?
[f（t?
h）?
f（t）]dt?
f（x）?
f（a）.
ah?
0h
六（10分）求椭圆区域r:
（a1x?
b1y?
c1）2?
（a2x?
b2y?
c2）2?
1（a1b2?
a2b1?
0）的面积
a.
七（10分）设f（t）?
?
?
?
v
f（x2?
y2?
z2）dxdydz，其中v:
x2?
y2?
z2?
t2（t?
0），
f是连续函数，求f（t）.
八（10分）应用曲线积分求（2x?
siny）dx?
（xcosy）dy的原函数.九（12分）计算外侧.
?
?
xyzdxdy，其中s是球面x
s
2
?
y2?
z2?
1在x?
0,y?
0部分并取球面
【篇二：
数学分析三试卷及答案】
lass=txt>一.计算题（共8题，每题9分，共72分）。
11
1.
求函数f（x,y）?
?
在点（0,0）处的二次极限与二重极限.
yx11
解：
f（x,y）?
?
?
，因此二重极限为0.……（4分）
yx1111
因为
与均不存在，
x?
0yxy?
0yx
故二次极限均不存在。
……（9分）
?
z?
xf（x?
y）,?
y?
y（x）,
2.设?
是由方程组?
所确定的隐函数,其中f和f分别
f（x,y,z）?
0z?
z（x）?
?
dz
具有连续的导数和偏导数,求.
dx
解：
对两方程分别关于x求偏导:
dy?
dz
?
f（x?
y）?
xf?
（x?
y）（?
1），?
?
dxdx?
……（4分）
dydz?
f?
f?
fz?
0。
xy
?
dxdx?
dzfy?
f（x?
y）?
xf?
（x?
y）（fy?
fx）?
解此方程组并整理得.……（9分）dxfy?
xf?
（x?
y）fz
3.取?
?
为新自变量及w?
w（?
v）为新函数，变换方程
?
2z?
2z?
z
?
?
?
z。
2?
x?
x?
y?
xx?
yx?
y设?
?
?
?
w?
zey（假设出现的导数皆连续）.
22
解：
z看成是x,y的复合函数如下：
wx?
yx?
y
。
……（4分）z?
y,w?
w（?
?
）,?
?
?
?
e22
代人原方程，并将x,y,z变换为?
?
w。
整理得：
?
2w?
2w
?
2w。
……（9分）2?
?
?
?
?
?
?
4.要做一个容积为1m3的有盖圆桶,什么样的尺寸才能使用料最省?
解：
设圆桶底面半径为r,高为h,则原问题即为：
求目标函数在约束条件下的最小值，其中
目标函数:
s表?
2?
rh?
2?
r2,
约束条件:
?
r2h?
1。
……（3分）构造lagrange函数：
f（r,h,?
）?
2?
rh?
2?
r2?
?
（?
r2h?
1）。
?
fr?
2?
h?
4?
r?
2?
rh?
?
0,令?
……（6分）2
f?
2?
r?
?
r?
?
0.?
h
h?
由题意知问题的最小值必存在，当底面半
解得h?
2r，故有r?
径为r?
y3
高为h?
时，制作圆桶用料最省。
……（9分）2
5.设f（y）?
?
e?
xydx,计算f?
（y）.
y2
解：
由含参积分的求导公式
?
y3y322
?
?
?
x2y
f?
（y）?
?
?
2edx?
?
?
2?
x2e?
xydx?
3y2e?
xy
y
?
y?
y
?
?
?
2x2e?
xydx?
3y2e?
y?
2ye?
y
yy3
2
7
5
x?
y
3
?
2ye?
x
2
yx?
y2
……（5分）
72?
y75?
y51y3?
x2y?
ye?
ye?
edx。
……（9分）
222y?
y2
?
x2y2?
xy
6.求曲线?
2?
2?
?
2所围的面积，其中常数a,b,c?
0.
b?
c?
a
?
x?
a?
cos?
解：
利用坐标变换?
由于xy?
0，则图象在第一三象限，从而可
y?
b?
sin?
.?
2
以利用对称性，只需求第一象限内的面积。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0?
?
?
0?
?
?
。
……（3分）2?
?
则
v?
2?
?
?
?
（x,y）
d?
d?
?
2?
2d?
?
0?
（?
?
）
?
?
1
?
ab?
2
?
sin?
cos?
?
?
c?
0
ab?
d?
……（6分）
ab2
sin?
cos?
d?
2?
0
c
a2b2?
2……（9分）2c.
7.计算曲线积分?
3zdx?
5xd?
z其中l是圆柱面x2?
y2?
1与平面y2yd
?
l
22
，从z轴的正向看去，是逆时针方向.z?
y?
3的交线（为一椭圆）
解：
取平面z?
y?
3上由曲线l所围的部分作为stokes公式中的曲面?
，定向为上侧，则?
的法向量为
?
?
cos?
cos?
cos?
?
?
?
0,。
……（3分）?
由stokes公式得
cos?
cos?
cos?
?
?
?
?
3zdx?
5xdy?
2ydz?
?
?
?
x?
y?
z?
l
3z5x?
2y
?
ds……（6分）
?
?
x2?
y2?
1
?
?
?
2?
……（9分）
x2y2z2
8.计算积分?
?
yzdzdx,s为椭球2?
2?
2?
1的上半部分的下侧.
abcs解：
椭球的参数方程为x?
asin?
cos?
y?
bsin?
sin?
z?
ccos?
，其中
且
2?
（z,x）?
acsin2?
sin?
。
……（3分）?
（?
?
）
积分方向向下，取负号，因此，
2322
yzdzdx?
?
d?
bacsin?
cos?
sin?
d?
?
?
?
?
2?
0?
?
?
2?
0?
?
?
?
?
?
……（6分）
?
?
bac2?
sin2?
d?
?
2sin3?
cos?
d?
2?
?
?
?
?
4
abc
2
……（9分）
二。
.证明题（共3题，共28分）
?
xy322
x?
y?
0?
24
9.（9分）讨论函数f（x）?
?
x?
y在原点（0,0）处的连续性、
?
0,x2?
y2?
0?
可偏导性和可微性.
解：
连续性：
当x2?
y2?
0时，
xy2x2?
y4yy
f（x）?
2?
y?
?
?
?
0，当?
x,y?
?
?
0,0?
，424
x?
yx?
y22
从而函数在原点?
0,0?
处连续。
……（3分）可偏导性：
fx?
0,0?
?
lim
f?
0?
?
x,0?
?
f?
0,0?
?
x
?
x?
0
?
0，
fy?
0,0?
?
lim
f?
0,0?
?
y?
?
f?
0,0?
?
y
即函数在原点?
0,0?
处可偏导。
……（5分）
?
y?
0
?
0，
?
f?
f?
x?
f?
y
3
?
不存在，
从而函数在原点?
0,0?
处不可微。
……（9分）
10.（9分）（9分）设f?
x,y?
满足：
（1）在d?
?
?
x,y?
x?
x0?
a,y?
y0?
b上连续，
?
（2）f?
x0,y0?
?
0，
（3）当x固定时，函数f?
x,y?
是y的严格单减函数。
试证：
存在?
?
0，使得在?
?
?
x
?
x?
x0?
?
上通过f?
x,y?
?
0定义了一个
?
函数y?
y（x），且y?
y（x）在?
?
上连续。
证明：
（i）先证隐函数的存在性。
由条件（3）知，f?
x0,y?
在?
y0?
b,y0?
b?
上是y的严格单减函数，而由条件
（2）知f?
x0,y0?
?
0，从而由函数f?
x0,y?
的连续性得f?
x0,y0?
b?
?
0，f?
x0,y0?
b?
?
0。
现考虑一元连续函数f?
x,y0?
b?
。
由于f?
x0,y0?
b?
?
0，则必存在?
1?
0使得
f?
x,y0?
b?
?
0，?
x?
o（x0,?
1）。
同理，则必存在?
2?
0使得
f?
x,y0?
b?
?
0，?
x?
o（x0,?
2）。
取?
?
min（?
1,?
2），则在邻域o（x0,?
）内同时成立
f?
x,y0?
b?
?
0，f?
x,y0?
b?
?
0。
……（3分）于是，对邻域o（x0,?
）内的任意一点x，都成立
?
固定此x，考虑一元连续函数f?
x,y?
。
由上式和函数f?
x,y?
关于y的连续性可知，存在f?
x,y?
的零点y?
?
y?
b,y?
b?
使得
f?
x,y?
＝0。
而f?
x,y?
关于y严格单减，从而使f?
x,y?
＝0的y是唯一的。
再由x的任意性，
fx,y0?
b?
0，fx,y0?
b?
0。
?
?
?
证明了对?
?
:
?
o（x0,?
）内任意一点，总能从f?
x,y?
?
0找到唯一确定的y与x相对应，即存在函数关系f:
x?
y或y?
f（x）。
此证明了隐函数的存在性。
……（6分）
（ii）下证隐函数y?
f（x）的连续性。
设x*是?
?
:
?
o（x0,?
）内的任意一点，记y*:
?
f?
x*?
。
对任意给定的?
?
0，作两平行线
y?
y*?
?
，y?
y*?
?
。
由上述证明知
f?
x*,y*?
?
?
?
0，f?
x*,y*?
?
?
?
0。
由f?
x,y?
的连续性，必存在x*的邻域o（x*,?
）使得
f?
x,y*?
?
?
?
0，f?
x,y*?
?
?
?
0，?
x?
o（x*,?
）。
对任意的x?
o（x*,?
），固定此x并考虑y的函数f?
x,y?
，它关于y严格单减且
f?
x,y*?
?
?
?
0，f?
x,y*?
?
?
?
0。
于是在?
y*?
?
y*?
?
?
内存在唯一的一个零点y使
f?
x,y?
?
0，
即对任意的x?
o（x*,?
），它对应的函数值y满足y?
y*?
?
。
这证明了函数
y?
f（x）是连续的。
……（9分）
111
11.（10分）判断积分?
?
sindx在0?
?
?
2上是否一致收敛，并给出证明。
0xx
证明：
此积分在0?
?
?
2上非一致收敛。
证明如下：
1
作变量替换x?
，则
t
11?
?
11
?
0x?
sinxdx?
?
1t2?
?
sintdt。
……（3分）
?
3?
?
?
不论正整数n多么大，当t?
?
a?
a?
?
?
?
?
2n?
?
2n?
?
?
时，恒有
44?
?
sint?
。
……（5分）
因此，
?
a?
?
1t2?
?
a?
a?
?
1
sintdt?
dt……（7分）
2?
a?
t2?
?
?
?
?
a?
?
2?
?
3?
?
?
4?
2n?
?
?
4?
?
因此原积分在0?
?
?
2上非一致收敛。
……（10分）注：
不能用dirichlet判别法证明原积分是一致收敛的。
原因如下：
b1
尽管对任意的b?
1积分?
sintdt一致有界，且函数2?
?
关于x单调，但是当
1t
1
x?
?
?
时，2?
?
关于?
?
?
0,2?
并非一致趋于零。
事实上，取t?
n,相应地取
t1111
?
?
2?
，则lim2?
?
?
lim1?
?
1?
0，并非趋于零。
1t?
?
n?
?
nt
nnlimnn
n?
?
?
?
0，当?
?
2?
时。
4
【篇三：
《数学分析》第三版全册课后答案
（1）】
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第页（共）
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