数学选修44坐标系与参数方程教学案.docx

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数学选修44坐标系与参数方程教学案

数学选修4-4坐标系与参数方程

本章考试说明要求：

1．坐标系的有关概念（A级）

2．简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的极坐标方程（B级）

3．极坐标方程与直角坐标方程的互化（B级）

4．参数方程（B级）

5．直线、圆和椭圆的参数方程（B级）

6．参数方程与普通方程的互化（B级）

7．参数方程的简单应用（B级）

本章具体内容：

一、坐标系的有关概念（A级）

1．平面直角坐标系的建立：

在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系.

2．空间直角坐标系的建立：

在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系.

3．极坐标系的建立：

在平面上取一个定点O，自点O引一条射线OX，同时确定一个单位xx和计算角度的正方向（通常取方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。

（其中O称为，射线OX称为）

如图，设M是平面上的任一点，表示OM的xx，表示以射线OX为始边，射线OM为终边所成的角。

那么有序数对称为点M的极坐标。

其中称为，称为.

由极径的意义可知.当极角的取值范围是时，平面上的点（除去极点）就与极坐标建立一一对应的关系.

约定：

极点的极坐标是=0，可以取任意角.

4．极坐标的统一形式

一般地，如果是点M的极坐标，那么

或,都可以作为点M的极坐标.

二、简单图形的极坐标方程（B级）

1．直线的极坐标方程：

若直线过点，且极轴到此直线的角为，则它的方程为：

.

注：

几个特殊位置的直线的极坐标方程

（1）直线过极点

方程：

图：

（2）直线过点M（a,0）且垂直于极轴

方程：

图：

（3）直线过且平行于极轴

方程：

图：

练习：

按下列条件写出直线的极坐标方程：

①经过极点，且倾斜角为的直线；

②经过点，且垂直于极轴的直线；

③经过点，且平行于极轴的直线；

④经过点，且倾斜角为的直线.

2．圆的极坐标方程：

若圆心为，半径为r的圆方程为：

.

注：

几个特殊位置的圆的极坐标方程

（1）当圆心位于极点

方程：

图：

（2）当圆心位于

方程：

图：

（3）当圆心位于

方程：

图：

练习：

按下列条件写出圆的极坐标方程：

①以为圆心，2为半径的圆；

②以为圆心，4为半径的圆；

③以为圆心，且过极点的圆；

④以为圆心，1为半径的圆.

三、极坐标方程与直角坐标方程的互化（B级）

以直角坐标系的O为极点，x轴正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的单位xx平面内的任一点P的直角坐标极坐标分别为（x，y）和，则

练习：

①将下列各点的极坐标化为直角坐标：

=；=；=；

=；=；=.

②将下列各点的直角坐标化为极坐标：

=；=；=；

=；=；=.

考点1极坐标与直角坐标互化

例1在极坐标中，求两点之间的距离以及过它们的直线的极坐标方程.

练习1已知圆C：

，则圆心C的极坐标为

___

练习2在极坐标中，求两点间的距离：

（1），

（2），

（3）

练习3

（1）在极坐标中，点关于极轴的对称点的坐标为；

（2）在极坐标中，求点关于直线的对称点的坐标为.

考点2极坐标方程与直角坐标方程互化

例2已知曲线的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的方程是，点是曲线上的动点，点是直线上的动点，求的最小值．

练习1在极坐标系中，圆ρ=cosθ与直线ρcosθ=1的位置关系是．

练习2在极坐标系中，圆上的点到直线的距离的最小值是_____．

练习3在极坐标系中，过点作圆的切线，则切线的极坐标方程是．

练习4设过原点的直线与圆：

的一个交点为，点为线段的中点.

⑴求圆C的极坐标方程；⑵求点M轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线．

三、参数方程

1．参数方程的意义

在平面直角坐标系中，若曲线C上的点满足，该方程叫曲线C的参数方程，变量t是参变数，简称参数.

2．参数方程与普通方程的互化

（1）参数方程化为普通方程

常见参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：

①（为参数）；②；

③；④（t为参数）；

⑤（为参数）.

注：

参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围！

（2）普通方程化为参数方程

①经过点P的参数方程；

②圆的参数方程；

③椭圆的参数方程；

④抛物线的参数方程.

注：

普通方程化为参数方程需要引入参数，选择的参数不同，所得的参数方程也不一样。

考点3参数方程与直角坐标方程互化

例3已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为．

（1）将曲线的参数方程化为普通方程，将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）曲线，是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由．

练习1P是以原点为圆心，r=2的圆上的任意一点，，M是PQ中点，当点P在圆上运动时，求点M的轨迹的参数方程.

练习2在平面直角坐标系中，点是椭圆上的一个动点，求的最大值．

考点4利用参数方程求值域

例4在曲线：

上求一点，使它到直线：

的距离最小，并求出该点坐标和最小距离.

练习1在平面直角坐标系xOyxx，动圆的圆心为，求的取值范围.

练习2已知曲线的极坐标方程是，设直线的参数方程是（为参数）．

（1）将曲线的极坐标方程转化为直角坐标方程；

（2）设直线与轴的交点是，曲线上一动点，求MN的最大值.

考点5直线参数方程中的参数的几何意义

例5已知直线经过点,倾斜角.

①写出直线的参数方程;

②设与圆相交与两点，求点到两点的距离之积.

练习1求直线（）被曲线所截的弦长.

练习2已知直线

（1）求直线l的参数方程；

（2）设直线l与圆相交于M、N两点，求PM·PN的值.

数学选修4-4坐标系与参数方程习题

1．下列在曲线上的点是.

（1）

（2）（3）（4）

2．将参数方程化为普通方程为.

3．点的直角坐标是，则点的一个极坐标为.

4．化极坐标方程为直角坐标方程为.

5．圆的圆心坐标是.

6．直线的斜率为______________________.

7．参数方程的普通方程为__________________.

8．已知直线与直线相交于点，又点，则_______________.

9．直线被圆截得的弦长为______________.

10．极坐标方程分别为与的两个圆的圆心距为__________.

11．已知点是圆上的动点，

（1）求的取值范围；

（2）xx成立，求实数的取值范围.

12．求直线和直线的交点的坐标，及点与的距离.

13．在椭圆上找一点，使这一点到直线的距离的最小值.

14．已知椭圆C的极坐标方程为，点F1，F2为其左，右焦点，直线的参数方程为．

（1）求直线l和曲线C的普通方程；

（2）求点F1，F2到直线l的距离之和.