选修44坐标系与参数方程.docx
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选修44坐标系与参数方程
选修4－4
坐标系与参数方程
第一节
坐标系
本节主要包括2个知识点：
1.平面直角坐标系下图形的伸缩变换；
2.极坐标系.
突破点
（一） 平面直角坐标系下图形的伸缩变换
基础联通抓主干知识的“源”与“流”
设点P（x，y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：
的作用下，点P（x，y）对应到点P′（x′，y′），称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
考点贯通抓高考命题的“形”与“神”
平面直角坐标系下图形的伸缩变换
[典例] 求椭圆
＋y2＝1，经过伸缩变换
后的曲线方程．
[解] 由
得到
①
将①代入
＋y2＝1，得
＋y′2＝1，即x′2＋y′2＝1.
因此椭圆
＋y2＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x2＋y2＝1.
[方法技巧]
应用伸缩变换公式时的两个注意点
（1）曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的，解题时一定要区分变换前的点P的坐标（x，y）与变换后的点P′的坐标（X，Y），再利用伸缩变换公式
建立联系．
（2）已知变换后的曲线方程f（x，y）＝0，一般都要改写为方程f（X，Y）＝0，再利用换元法确定伸缩变换公式．
能力练通抓应用体验的“得”与“失”
1．在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：
求点A
经过φ变换所得的点A′的坐标．
2．求直线l：
y＝6x经过φ：
变换后所得到的直线l′的方程．
3．求双曲线C：
x2－
＝1经过φ：
变换后所得曲线C′的焦点坐标．
4．将圆x2＋y2＝1变换为椭圆
＋
＝1的一个伸缩变换公式为φ：
求a，b的值．
突破点
（二） 极坐标系
基础联通抓主干知识的“源”与“流”
1．极坐标系的概念
（1）极坐标系
如图所示，在平面内取一个定点O，点O叫做极点，自极点O引一条射线Ox，Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系．
（2）极坐标
一般地，没有特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．
（3）点与极坐标的关系
一般地，极坐标（ρ，θ）与（ρ，θ＋2kπ）（k∈Z）表示同一个点，特别地，极点O的坐标为（0，θ）（θ∈R），和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示．
如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标（ρ，θ）表示；同时，极坐标（ρ，θ）表示的点也是唯一确定的．
2．极坐标与直角坐标的互化
点M
直角坐标（x，y）
极坐标（ρ，θ）
互化公式
考点贯通抓高考命题的“形”与“神”
极坐标与直角坐标的互化
1．极坐标方程化为直角坐标方程的步骤
第一步
判断极坐标的极点与直角坐标系的原点是否重合，且极轴与x轴正半轴是否重合，若上述两个都重合，则极坐标方程与直角坐标方程可以互化
第二步
通过极坐标方程的两边同乘ρ或同时平方构造ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，一定要注意变形过程中方程要保持同解，不要出现增解或漏解
第三步
根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式
及ρ2＝x2＋y2将极坐标方程转化为直角坐标方程
2．直角坐标方程化为极坐标方程或直角坐标系中的点的坐标化为极坐标
（1）直角坐标方程化为极坐标方程较为简单，只需将直角坐标方程中的x，y分别用ρcosθ，ρsinθ代替即可得到相应极坐标方程．
（2）求直角坐标系中的点（x，y）对应的极坐标的一般步骤：
第一步，根据直角坐标系中两点间的距离公式计算该点与坐标原点的距离，即计算ρ；
第二步，根据角θ的正切值tanθ＝
（x≠0）求出角θ（若正切值不存在，则该点在y轴上），问题即解．
[例1] 在极坐标系下，已知圆O：
ρ＝cosθ＋sinθ和直线l：
ρsin
＝
.
（1）求圆O和直线l的直角坐标方程；
（2）当θ∈（0，π）时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．
[方法技巧]
1．应用互化公式的三个前提条件
（1）取直角坐标系的原点为极点．
（2）以x轴的正半轴为极轴．
（3）两种坐标系规定相同的长度单位．
2．直角坐标化为极坐标时的两个注意点
（1）根据终边相同的角的意义，角θ的表示方法具有周期性，故点M的极坐标（ρ，θ）的形式不唯一，即一个点的极坐标有无穷多个．当限定ρ≥0，θ∈[0,2π）时，除极点外，点M的极坐标是唯一的．
（2）当把点的直角坐标化为极坐标时，求极角θ应注意判断点M所在的象限（即角θ的终边的位置），以便正确地求出角θ（θ∈[0,2π））的值．
极坐标方程的应用
[例2] （2017·福州五校联考）已知曲线C的极坐标方程为ρ2－2
ρcos
－2＝0.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy.
（1）若直线l过原点，且被曲线C截得的弦长最小，求直线l的直角坐标方程；
（2）若M是曲线C上的动点，且点M的直角坐标为（x，y），求x＋y的最大值．
[易错提醒]
用极坐标系解决问题时要注意题目中的几何关系，如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决．
能力练通抓应用体验的“得”与“失”
1．[考点一、二]已知直线l的极坐标方程为2ρsin
＝
，点A的极坐标为A
，求点A到直线l的距离．
.
3．[考点二]在极坐标系中，直线ρ（sinθ－cosθ）＝a与曲线ρ＝2cosθ－4sinθ相交于A，B两点，若|AB|＝2
，求实数a的值．
4．[考点一、二]（2017·洛阳统考）已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－2
ρcos
＝2.
（1）将圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．
[全国卷5年真题集中演练——明规律]
1．（2016·全国乙卷）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为
（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：
ρ＝4cosθ.
（1）说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
（2）直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tanα0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.
2．（2015·新课标全国卷Ⅰ）在直角坐标系xOy中，直线C1：
x＝－2，圆C2：
（x－1）2＋（y－2）2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求C1，C2的极坐标方程；
（2）若直线C3的极坐标方程为θ＝
（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．
[课时达标检测]
4．（2017·山西质检）在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2＝
，点R
.
（1）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；
（2）设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值，及此时P点的直角坐标．
5．（2017·南京模拟）已知直线l：
ρsin
＝4和圆C：
ρ＝2kcos
（k≠0），若直线l上的点到圆C上的点的最小距离等于2.求实数k的值并求圆心C的直角坐标．
6．已知圆C：
x2＋y2＝4，直线l：
x＋y＝2.以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．
（1）将圆C和直线l方程化为极坐标方程；
（2）P是l上的点，射线OP交圆C于点R，又点Q在OP上，且满足|OQ|·|OP|＝|OR|2，当点P在l上移动时，求点Q轨迹的极坐标方程．
7．（2017·贵州联考）已知在一个极坐标系中点C的极坐标为
.
（1）求出以C为圆心，半径长为2的圆的极坐标方程（写出解题过程）；
（2）在直角坐标系中，以圆C所在极坐标系的极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，点P是圆C上任意一点，Q（5，－
），M是线段PQ的中点，当点P在圆C上运动时，求点M的轨迹的普通方程．
8．在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为
（φ为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝
与曲线C2交于点D
.
（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；
（2）已知极坐标系中两点A（ρ1，θ0），B
，若A，B都在曲线C1上，求
＋
的值．
第二节
参数方程
本节主要包括2个知识点：
1.参数方程；2.参数方程与极坐标方程的综合问题.
突破点
（一） 参数方程
基础联通抓主干知识的“源”与“流”
1．参数方程
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数：
并且对于t的每一个允许值，由方程组
所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，那么方程
就叫做这条曲线的参数方程，变数t叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．
2．直线、圆、椭圆的参数方程
（1）过点M（x0，y0），倾斜角为α的直线l的参数方程为
（t为参数）．
（2）圆心在点M0（x0，y0），半径为r的圆的参数方程为
（θ为参数）．
（3）椭圆
＋
＝1（a＞b＞0）的参数方程为
（φ为参数）．
考点贯通抓高考命题的“形”与“神”
参数方程与普通方程的互化
1．参数方程化为普通方程
基本思路是消去参数，常用的消参方法有：
①代入消元法；②加减消元法；③恒等式（三角的或代数的）消元法；④平方后再加减消元法等．其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程的技巧，三角恒等式消元法常利用公式sin2θ＋cos2θ＝1等．
2．普通方程化为参数方程
（1）选择参数的一般原则
曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单；当参数取某一值时，可以唯一确定x，y的值；
（2）具体步骤
第一步，引入参数，但要选定合适的参数t；
第二步，确定参数t与变量x或y的一个关系式x＝f（t）（或y＝φ（t））;
第三步，把确定的参数与一个变量的关系式代入普通方程F（x，y）＝0，求得另一关系y＝g（t）（或x＝ψ（t）），问题得解．
[例1] 将下列参数方程化为普通方程．
（1）
（t为参数）；
（2）
（θ为参数）．
[易错提醒]
（1）将曲线的参数方程化为普通方程时务必要注意x，y的取值范围，保证消参前后的方程的一致性．
（2）将参数方程化为普通方程时，要注意参数的取值范围对普通方程中x，y的取值范围的影响．
直线与圆锥曲线的参数方程及应用
1．解决直线与圆锥曲线的参数方程的应用问题，其一般思路如下：
第一步，把直线和圆锥曲线的参数方程都化为普通方程；
第二步，根据直线与圆锥曲线的位置关系解决问题．
2．当直线经过点P（x0，y0），且直线的倾斜角为α，求直线与圆锥曲线的交点、弦长问题时，可以把直线的参数方程设成
（t为参数），交点A，B对应的参数分别为t1，t2，计算时把直线的参数方程代入圆锥曲线的直角坐标方程，求出t1＋t2，t1·t2，得到|AB|＝|t1－t2|＝
.
[例2] （2017·豫南九校联考）在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线l：
（t为参数）与曲线C：
（θ为参数）相交于不同的两点A，B.
（1）若α＝
，求线段AB的中点M的坐标；
（2）若|PA|·|PB|＝|OP|2，其中P（2，
），求直线l的斜率．
[方法技巧]
1．解决直线与圆的参数方程的应用问题时一般是先化为普通方程再根据直线与圆的位置关系来解决问题．
2．对于形如
（t为参数）的直线的参数方程，当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题．
能力练通
3．[考点二]（2017·郑州模拟）将曲线C1：
x2＋y2＝1上所有点的横坐标伸长到原来的
倍（纵坐标不变）得到曲线C2，A为C1与x轴正半轴的交点，直线l经过点A且倾斜角为30°，记l与曲线C1的另一个交点为B，与曲线C2在第一、三象限的交点分别为C，D.
（1）写出曲线C2的普通方程及直线l的参数方程；
（2）求|AC|－|BD|.
4．[考点二]设直线l的参数方程为
（t为参数，α为倾斜角），圆C的参数方程为
（θ为参数）．
（1）若直线l经过圆C的圆心，求直线l的斜率；
（2）若直线l与圆C交于两个不同的点，求直线l的斜率的取值范围．
突破点
（二） 参数方程与极坐标方程的综合问题
将极坐标方程与参数方程、普通方程交织在一起，考查极坐标方程与参数方程的综合应用.将各类方程相互转化是求解该类问题的前提.,解决问题时要注意：
?
1?
解题时，易将直线与圆的极坐标方程混淆.要熟练掌握特殊直线、圆的极坐标方程的形式.
?
2?
应用解析法解决实际问题时，要注意选取直角坐标系还是极坐标系，建立极坐标系要注意极点、极轴位置的选择，注意点和极坐标之间的“一对多”关系.
?
3?
求曲线方程，常设曲线上任意一点P?
ρ，θ?
，利用解三角形的知识，列出等量关系式，特别是正弦、余弦定理的应用.圆的参数方程常和三角恒等变换结合在一起，解决取值范围或最值问题.
?
4?
参数方程和普通方程表示同一个曲线时，要注意其中x，y的取值范围，即注意两者的等价性.
考点贯通抓高考命题的“形”与“神”
参数方程与极坐标方程的综合问题
[典例] （2017·长沙模拟）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为
（α为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ（cosθ＋ksinθ）＝－2（k为实数）．
（1）判断曲线C1与直线l的位置关系，并说明理由；
（2）若曲线C1和直线l相交于A，B两点，且|AB|＝
，求直线l的斜率．
[方法技巧]
处理极坐标、参数方程综合问题的方法
（1）涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．
（2）数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．
1．已知曲线C的参数方程为
（α为参数），以直角坐标系原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线C的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹；
（2）若直线的极坐标方程为sinθ－cosθ＝
，求直线被曲线C截得的弦长．
2．在极坐标系中，圆C的方程为ρ＝2acosθ（a≠0），以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为
（t为参数）．
（1）求圆C的标准方程和直线l的普通方程；
（2）若直线l与圆C恒有公共点，求实数a的取值范围．
1．（2016·全国甲卷）在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x＋6）2＋y2＝25.
（1）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
（2）直线l的参数方程是
（t为参数），l与C交于A，B两点，|AB|＝
，求l的斜率．
2．（2016·全国丙卷）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为
（α为参数）．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin
＝2
.
（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．
3．（2015·新课标全国卷Ⅱ）在直角坐标系xOy中，曲线C1：
（t为参数，t≠0），其中0≤α＜π.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：
ρ＝2sinθ，C3：
ρ＝2
cosθ.
（1）求C2与C3交点的直角坐标；
（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．
4．（2014·新课标全国卷Ⅰ）已知曲线C：
＋
＝1，直线l：
（t为参数）．
（1）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
（2）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．
5．（2014·新课标全国卷Ⅱ）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，θ∈
.
（1）求C的参数方程；
（2）设点D在C上，C在D处的切线与直线l：
y＝
x＋2垂直，根据
（1）中你得到的参数方程，确定D的坐标．
6．（2013·新课标全国卷Ⅰ）已知曲线C1的参数方程为
（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.
（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；
（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）．
1．（2017·郑州模拟）已知曲线C1的参数方程为
曲线C2的极坐标方程为ρ＝2
cosθ－
，以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系．
（1）求曲线C2的直角坐标方程；
（2）求曲线C2上的动点M到曲线C1的距离的最大值．
2．在极坐标系中，已知三点O（0,0），A
，B
.
（1）求经过点O，A，B的圆C1的极坐标方程；
（2）以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C2的参数方程为
（θ是参数），若圆C1与圆C2外切，求实数a的值．
3．（2017·太原模拟）在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝
（ρ∈R），曲线C的参数方程为
（1）写出直线l的直角坐标方程及曲线C的普通方程；
（2）过点M且平行于直线l的直线与曲线C交于A，B两点，若|MA|·|MB|＝
，求点M轨迹的直角坐标方程．
4．（2017·江西百校联盟模拟）在平面直角坐标系xOy中，C1：
（t为参数）．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C2：
ρ2＋10ρcosθ－6ρsinθ＋33＝0.
（1）求C1的普通方程及C2的直角坐标方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若P，Q分别为C1，C2上的动点，且|PQ|的最小值为2，求k的值．
5．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知点P的直角坐标为
，曲线C的极坐标方程为ρ＝5，直线l过点P且与曲线C相交于A，B两点．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）若|AB|＝8，求直线l的直角坐标方程．
6．已知动点P，Q都在曲线C：
（t为参数）上，对应参数分别为t＝α与t＝2α（0＜α＜2π），M为PQ的中点．
（1）求M的轨迹的参数方程；
（2）将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．
7．（2017·河南六市第一次联考）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为
（t为参数），在以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝
相交于A，B两点．
（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，求△AOB的面积．
8．极坐标系与直角坐标系xOy取相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知直线l的参数方程为
（t为参数）．曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝8cosθ.
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，与x轴的交点为F，求
＋
的值．
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