4.韦达定理：
例1：
（8分）设x1、x2是方程2x2-4mx+2m2+3m-2=0的两个实根，当m为何值
时，x12+x22有最小值？
并求这个最小值。
例2：
若一个三角形的三边长均满足方程x2-6x+8=0，则此三角形的周长为_______
5.可化为一元二次方程的分式方程。
（解分式方程要验根）
例：
；
6、一元二次方程应用题（最大值、最小值问题）
例：
.某商店如果将进价为每件8元的某种商品按每件10元出售，每天可销售100件。
为了增加利润，该商店决定提高售价，但该商品单价每提高1元，销售量要减少10件。
问当售价定为多少时，才能使每天的利润最大？
并求最大利润。
7、一元二次方程和二次函数之间的关系
例1.当m为何值时，抛物线
与x轴有两个交点，有一个交点，无交点。
例2.已知二次函数
与x轴有两个交点，求m的取值范围。
8、一元二次方程应用题
例：
7．如图，AO=OB=50cm，OC是一条射线，OC⊥AB，一只蚂蚁由A以2cm/s速度向B爬行，同时另一只蚂蚁由O点以3cm/s的速度沿OC方向爬行，几秒钟后，两只蚂蚁与O点组成的三角形面积为450cm2？
二.重点和难点：
重点：
解方程的方法。
难点：
建立方程模型解决实际问题。
附：
一元二次方程应用题分类
增长率问题：
1、恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.
2、某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？
若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？
3、王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）
4、周嘉忠同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的60%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（利息税为20%，只需要列式子）
5、市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。
某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，则这种药品平均每次降价的百分率为
商品定价：
1、益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（350－10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？
每件商品应定价多少？
2、利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）。
当每吨售价为260元时，月销售量为45吨。
该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销。
经市场调查发现：
当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨。
综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元。
（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；
（2）在遵循“薄利多销”的原则下，问每吨材料售价为多少时，该经销店的月利润为9000元。
（3）小静说：
“当月利润最大时，月销售额也最大。
”你认为对吗？
请说明理由。
3、国家为了加强对香烟产销的宏观管理,对销售香烟实行征收附加税政策.现在知道某种品牌的香烟每条的市场价格为70元,不加收附加税时,每年产销100万条,若国家征收附加税,每销售100元征税x元（叫做税率x%）,则每年的产销量将减少10x万条.要使每年对此项经营所收取附加税金为168万元,并使香烟的产销量得到宏观控制,年产销量不超过50万条,问税率应确定为多少?
4、春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图1对话中收费标准.某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？
5、某玩具店采购人员第一次用100元去采购“企鹅牌”玩具，很快售完．第二次去采购时发现批发价上涨了0.5元，用去了150元，所购玩具数量比第一次多了10件．两批玩具的售价均为2.8元．问第二次采购玩具多少件？
6、某商场试销一种成本为60元/件的T恤，规定试销期间单价不低于成本单价，又获利不得高于40%，经试销发现，销售量
（件）与销售单价
（元/件）符合一次函数
，且
时，
；
时，
；
（1）写出销售单价
的取值范围；
（2）求出一次函数
的解析式；（3）若该商场获得利润为
元，试写出利润
与销售单价
之间的关系式，销售单价定为多少时，商场可获得最大利润，最大利润是多少？
面积问题：
1、一块长和宽分别为40厘米和250厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体纸盒，使它的底面积为450平方厘米.那么纸盒的高是多少？
2、如图某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m），另三边用木栏围成，木栏长35m。
①鸡场的面积能达到150m2吗？
②鸡场的面积能达到180m2吗？
如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由。
（3）若墙长为
m,另三边用竹篱笆围成，题中的墙长度
m对题目的解起着怎样的作用?
3、将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.
（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?
（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗?
若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.
行程问题：
1、A、B两地相距82km，甲骑车由A向B驶去，9分钟后，乙骑自行车由B出发以每小时比甲快2km的速度向A驶去，两人在相距B点40km处相遇。
问甲、乙的速度各是多少?
2、甲、乙二人分别从相距20千米的A、B两地以相同的速度同时相向而行，相遇后，二人继续前进，乙的速度不变，甲每小时比原来多走1千米，结果甲到达B地后乙还需30分钟才能到达A地，求乙每小时走多少千米．
3、甲、乙两个城市间的铁路路程为1600公里，经过技术改造，列车实施了提速，提速后比提速前速度增加20公里/小时，列车从甲城到乙城行驶时间减少4小时，这条铁路在现有的安全条件下安全行驶速度不得超过140公里/小时.请你用学过的数学知识说明在这条铁路现有的条件下列车还可以再次提速.
4、甲、乙两人分别骑车从A，B两地相向而行，甲先行1小时后，乙才出发，又经过4小时两人在途中的C地相遇，相遇后两人按原来的方向继续前进。
乙在由C地到达A地的途中因故停了20分钟，结果乙由C地到达A地时比甲由C地到达B地还提前了40分钟，已知乙比甲每小时多行驶4千米，求甲、乙两人骑车的速度。
工程问题：
1、某公司需在一个月（31天）内完成新建办公楼的装修工程．如果由甲、乙两个工程队合做，12天可完成；如果由甲、乙两队单独做，甲队比乙队少用10天完成．
（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程所需的天数．
（2）如果请甲工程队施工，公司每日需付费用2000元；如果请乙队施工，公司每日需付费用1400元．在规定时间内：
A．请甲队单独完成此项工程出．B请乙队单独完成此项工程；C．请甲、乙两队合作完成此项工程．以上三种方案哪一种花钱最少？
2、搬运一个仓库的货物，如果单独搬空，甲需10小时完成，乙需12小时完成，丙需15小时完成，有货物存量相的两个仓库A和B，甲在A仓库，乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙，最后两个仓库的货物同时搬完，丙帮助甲乙各多少时间？
（列式子）
3、甲、乙两人都以不变的速度在环形路上跑步，相向而行，每隔2分钟相遇一次；同向而行，每隔6分钟相遇一次，已知甲比乙跑得快，求甲、乙每分钟各跑几圈？
4、某油库的储油罐有甲、乙两个注油管，单独开放甲管注满油罐比单独开放乙管注满油罐少用4小时，两管同时开放3小时后，甲管因发生故障停止注油，乙管继续注油9小时后注满油罐，求甲、乙两管单独开放注满油罐时各需多少小时？
工程问题：
1、某公司需在一个月（31天）内完成新建办公楼的装修工程．如果由甲、乙两个工程队合做，12天可完成；如果由甲、乙两队单独做，甲队比乙队少用10天完成．
（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程所需的天数．
（2）如果请甲工程队施工，公司每日需付费用2000元；如果请乙队施工，公司每日需付费用1400元．在规定时间内：
A．请甲队单独完成此项工程出．B请乙队单独完成此项工程；C．请甲、乙两队合作完成此项工程．以上三种方案哪一种花钱最少？
2、搬运一个仓库的货物，如果单独搬空，甲需10小时完成，乙需12小时完成，丙需15小时完成，有货物存量相的两个仓库A和B，甲在A仓库，乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙，最后两个仓库的货物同时搬完，丙帮助甲乙各多少时间？
（列式子）
3、甲、乙两人都以不变的速度在环形路上跑步，相向而行，每隔2分钟相遇一次；同向而行，每隔6分钟相遇一次，已知甲比乙跑得快，求甲、乙每分钟各跑几圈？
4、某油库的储油罐有甲、乙两个注油管，单独开放甲管注满油罐比单独开放乙管注满油罐少用4小时，两管同时开放3小时后，甲管因发生故障停止注油，乙管继续注油9小时后注满油罐，求甲、乙两管单独开放注满油罐时各需多少小时？
动态几何：
1、已知：
如图3-9-3所示，在△
中，
.点
从点
开始沿
边向点
以1cm/s的速度移动，点
从点
开始沿
边向点
以2cm/s的速度移动.
（1）如果
分别从
同时出发，那么几秒后，△
的面积等于4cm2？
（2）如果
分别从
同时出发，那么几秒后，
的长度等于5cm？
（3）在
（1）中，△
的面积能否等于7cm2?
说明理由.
杂题：
1、象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分.如果平局，两个选手各记1分，领司有四个同学统计了中全部选手的得分总数，分别是1979，1980，1984，1985.经核实，有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参加.
2、机械加工需要用油进行润滑以减少摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油量为90千克，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为36千克．为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量进行攻关．
（1）甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑油用油量下降到70千克，用油的重复利用率仍然为60%．问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少千克？
（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新的基础上，润滑用油量每减少1千克，用油量的重复利用率将增加1.6%．这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到12千克．问乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量是多少千克？
用油的重复利用率是多少？
动态几何：
1、已知：
如图3-9-3所示，在△
中，
.点
从点
开始沿
边向点
以1cm/s的速度移动，点
从点
开始沿
边向点
以2cm/s的速度移动.
（1）如果
分别从
同时出发，那么几秒后，△
的面积等于4cm2？
（2）如果
分别从
同时出发，那么几秒后，
的长度等于5cm？
（3）在
（1）中，△
的面积能否等于7cm2?
说明理由.
杂题：
1、象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分.如果平局，两个选手各记1分，领司有四个同学统计了中全部选手的得分总数，分别是1979，1980，1984，1985.经核实，有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参加.
2、机械加工需要用油进行润滑以减少摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油量为90千克，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为36千克．为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量进行攻关．
（1）甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑油用油量下降到70千克，用油的重复利用率仍然为60%．问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少千克？
（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新的基础上，润滑用油量每减少1千克，用油量的重复利用率将增加1.6%．这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到12千克．问乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量是多少千克？
用油的重复利用率是多少？
第三章频数及其分布
一.知识点：
1.频数：
所考察的对象出现的次数称为频数。
频数的和等于总数。
2.频率：
频数与总数的比值称为频率。
频率的和等于1.
3.频数分布直方图：
横半轴表示组别，纵半轴表示频数，用宽相等的长方形表示不同的频数分布情况，这样的图形称为频数分布直方图。
在绘制频数分布直方图的时候，如果左端点的数与0相差甚远，则横半轴靠近原点处应画成折线。
4.组中值：
在每一组中左右两个端点所表示的数的平均数即为该组的组中值。
求平均数时，要用组中值。
5.组距：
在每一组中，右端点表示的数减去左端点表示的数，所得的差，即为组距。
在同一个频数分布直方图中，组距必须相等。
本章主要内容是频数和频率，频数分布，频数的应用。
二.重点和难点：
重点：
频数的概念。
难点：
绘制频数分布直方图并进行分析。
第四章命题和证明
一.知识点：
1.定义：
对某个概念作出是什么的正确判断称为定义
2.命题：
形如“如果……那么……”格式的具有条件和结论的语句就是命题。
正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题。
3.定理：
通过论证了的正确命题叫做定理。
4.举反例：
举出一个与命题截然相反的例子便可证明命题是假命题。
5.反证法:
先假设结论是错误的，然后推出一个与题目条件相违背或者与某个定理相矛盾的结果，说明原命题是真命题。
本章主要内容：
定义与命题，证明，反例与证明，反证法。
二.重点和难点：
重点：
认识几何证明的必要性和掌握证明的一般步骤与格式。
难点：
如何才能做到证明过程条理清楚、有条不紊。
第五章平行四边形
一.知识点：
1.N边形以及四边形
性质：
1）N边形的内角和、外角和以及对角线的条数。
2）四边形的内角和、外角和、对角线的条数。
2.正多边形：
各条边都相等且各内角都相等的多边形叫正多边形.
正多边形能镶嵌平面的条件：
1）单一正多边形
2）多种正多边形
条件：
顶点处各角之和等于360°.
3.中心对称图形
1）中心对称图形的定义以及常见的中心对称图形
定义：
如果一个图形绕着某个点旋转180°后能和原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形。
常见的中心对称图形有：
平行四边形，英文大写字母S、Z。
2）经过对称中心的直线一定把中心对称图形的面积二等分，对称点的连线段一定经过对称中心且被对称中心平分.
4.三角形的中位线以及中位线定理
关注：
三角形中位线定理的证明方法以及中位线定理的应用，这是重点.
定理:
直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半。
5平行四边形的定义：
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
6.平行四边形的性质以及判定
性质：
1）平行四边形两组对边分别平行且相等.
2）平行四边形对角相等，邻角互补.
3）平行四边形对角线互相平分.
4）平行四边形是中心对称图形.
判定方法：
1）定义：
两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
3）两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
4）对角线互相平分的四边形是平行四边形.
注意：
其他还有一些判定平行四边形的方法，但都不能作为定理使用。
如：
“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”，它显然是一个真命题，但不能作为定理使用.
7.逆命题和逆定理：
逆命题：
将原命题的条件和结论交换所得命题称为原命题的逆命题。
逆定理：
将定理的条件和结论交换所得定理称为原定里的逆定理。
本章主要内容：
多边形，平行四边形，平行四边形的性质，中心对称，平行四边形的判定，三角形的中位线，逆命题与逆定理。
二.重点和难点：
重点：
平行四边形的性质和判定。
难点：
相关证明。
第六章特殊平行四边形
一.知识点：
1.定义：
平行四边形和梯形统称特殊四边形。
特殊平行四边形包括矩形、菱形、正方形；特殊梯形包括等腰梯形和直角梯形。
2.矩形的性质以及判定
性质：
1）矩形具有平行四边形所具有的一切性质.
2）矩形的四个角都是直角.
3）矩形的对角线相等.
判定方法：
1）定义：
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
2）有三个角是直角的四边形是矩形.
3）对角线相等的平行四边形是矩形.
注意：
其他还有一些判定矩形的方法，但都不能作为定理使用.
3.菱形的性质以及判定
性质：
1）菱形具有平行四边形所具有的一切性质.
2）菱形的四条边都相等.
3）菱形的对角线互相垂直并且每条对角线平分一组对角.
4）菱形的面积等于对角线乘积的一半.（如果一个四边形的对角线互相垂直，那么这个四边形的面积等于对角线乘积的一半）
判定方法：
1）定义：
有一组邻边相等的平行四边形是菱形
2）四条边都相等的四边形是菱形.
注意：
其他还有一些判定菱形的方法，但都不能作为定理使用.
4.正方形的性质以及判定
性质：
1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形所具有的一切性质.
判定方法；1）定义：
有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形.
2）矩形+有一组邻边相等
3）菱形+有一个角是直角
注意：
其他还有一些判定正方形的方法，但都不能作为定理使用.
5.梯形:
一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形。
等腰梯形的性质：
等腰梯形同一底边上的两个底角相等；等腰梯形的对角线相等.
等腰梯形的判定：
1）定义:
两腰相等的梯形叫等腰梯形。
2）同一底边上两个底角相等的梯形是等腰梯形.
3）对角线相等的梯形是等腰梯形.（其证明的方法务必掌握）
关注：
梯形中常见的几种辅助线的画法.
补充：
梯形的中位线定理，尤其关注其证明方法.
本章内容：
矩形，菱形，正方形，梯形，简单平面图形的重心。
二.重点和难点：
重点：
各种特殊四边形的性质和判断。
难点：
相关的证明。
升级会员 