人教课标版高中数学选修23《分类加法与分步乘法第2课时》教案新版.docx
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人教课标版高中数学选修23《分类加法与分步乘法第2课时》教案新版
1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理
（第2课时）
一、教学目标
1.核心素养
通过学习分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能够区分“分类”和“分步”，为拥有良好的计数能力打下基础，从而提高了学生的数学运算能力和逻辑推理能力.
2.学习目标
（1）进一步理解和掌握分类计数原理和分步计数原理.
（2）能根据具体问题特征，用计数原理解决一些实际问题
3.学习重点
理解掌握两个计数原理
4.学习难点
能根据具体问题特征，用计数原理解决一些实际问题
二、教学设计
（一）课前设计
1.预习任务
任务1
找出两个计数原理的区别以及注意事项
2.预习自测
1.某小组有5个男同学，3个女同学，从这个小组中任选一个男同学和一个女同学去做广播操，一共有（）种选法
A.15B.8C.5D.3
解：
A
2.某通信公司发出的电话号段为139ABCDEFGH，其中前7位已经确定，后面四位号码由6或者8组成，则这样的电话号码一共有（）个
A.8B.16C.32D.40
解：
B
3.
的展开式中的项数是（）
A.48项B.36项C.24项D.12项
解：
C
（二）课堂设计
1.知识回顾
用两个计数原理解决计数问题时，开始计算之前先分析需要分类还是分步.注意事项：
分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数.分步要做到步骤完整，步与步之间要相互独立，根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘得到总数.
2.问题探究
问题探究一组数问题重点知识★
例1：
已知0，1，2，3，4这五个数字.
（1）用这五个数字可以组成多少个无重复数字的四位密码？
（2）用这五个数字可以组成多少个无重复数字的四位数？
（3）用这五个数字可以组成多少个无重复数字的四位奇数？
（4）用1，2两个数字组成四位数，1，2都至少出现一次，这样的四位数有多少个？
（5）用这五个数字可以组成多少个比14320大的无重复数字的数？
【知识点：
分类加法原理,分步乘法原理数学思想：
分类讨论】
解析：
（1）四位密码无重复，因此有
个
（2）无重复四位数，首位不能为0，先排首位，有4种选择，再依次排其它位置，共有
个
（3）第一步定个位，只能从1，3中任取一个有2种方法，第二步定首位，把1，2，3，4中除去用过的一个还有3个可任取一个有3种方法，第三步，第四步把剩下的包括0在内的还有3个数字先排百位有3种方法，再排十位有2种方法.由分步乘法计数原理共有2×3×3×2＝36（个）.
（4）采用间接法，若不考虑数字1,2至少都出现一次的限制条件，则个位、十位、百位、千位每个“位置”都有两种选择，所以共有＝16个四位数，然后再减去“2222,1111”这两个数，故共有16－2＝14个满足要求的四位数.
（5）法一.比14320大可分为首字母为2，3，4三类.若首字母为2，则有
个，若首字母为3，4.同理各有24个.所以共有24+24+24=72个.
点拨：
对于组数问题的计数要注意：
（1）在同一题目中涉及这两个原理时，必须搞清是先“分类”，还是先“分步”，弄清楚“分类”和“分步”的标准
（2）对于数字问题，要注意是否允许数字重复，各位上的数字是否受到某些条件限制.一般按特殊位置（末位或首位）由谁占领来分类，每类中再分步来计数.
（3）当类别较多时，可用间接法.
问题探究二染色问题.重点、难点知识★▲
例2 如图所示，要给计、数、原、理四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，有多少种不同的涂色方法？
【知识点：
分类加法原理,分步乘法原理数学思想：
分类讨论】
解析：
涂色从“原”或者“数”区域开始涂色.
从“原”区域开始，有三个选择，接着“计”和“理”区域不能相同，且不能和“原”相同，“数”不能与“计”和“理”相同，故有
种方法.
例3如下图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数.
【知识点：
分类加法原理,分步乘法原理数学思想：
分类讨论】
解析：
方法一：
可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法原理即可得出结论.
由题设，四棱锥S—ABCD的顶点S、A、B所染的颜色互不相同，它们共有5×4×3＝60种染色方法.
当S、A、B染好时，不妨设其颜色分别为1、2、3，若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染法；若C染5，则D可染3或4，有2种染法.可见，当S、A、B已染好时，C、D还有7种染法，故不同的染色方法有60×7＝420种.
方法二：
以S、A、B、C、D顺序分步染色.
第一步，S点染色，有5种方法；
第二步，A点染色，与S在同一条棱上，有4种方法；
第三步，B点染色，与S、A分别在同一条棱上，有3种方法；
第四步，C点染色，也有3种方法，但考虑到D点与S、A、C相邻，需要针对A与C是否同色进行分类，当A与C同色时，D点有3种染色方法；当A与C不同色时，因为C与S、B也不同色，所以C点有2种染色方法，D点也有2种染色方法.
由分步乘法、分类加法计数原理得不同的染色方法共有5×4×3×（1×3＋2×2）＝420种.
方法三：
按所用颜色种数分类.
第一类，5种颜色全用，共有
种不同的方法；
第二类，只用4种颜色，则必有某两个顶点同色（A与C，或B与D），共有2×（5×4×3×2）=240（种不同的方法；
第三类，只用3种颜色，则A与C、B与D必定同色，共有5×4×3=60种不同的方法.
由分类加法计数原理，得不同的染色方法总数为120+240+60＝420种.
点拨：
涂色（种植）问题的一般思路：
（1）为便于分析问题，先给区域（种植品种）标上相应序号；
（2）按涂色（种植）的区域顺序分步或按颜色（种植品种）恰当选取情况分类；
（3）选择适当的计数原理求解.
3.课堂总结
【知识梳理】
（1）分类加法计数原理，分步乘法计数原理
（2）组数问题与染色问题
【重难点突破】
（1）组数问题时，注意题目对数字重复有无要求，特殊位置优先考虑.
（2）染色问题
（1）按区域的不同以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析；
（2）以颜色为主分类讨论法，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理分析.
4.随堂检测
1.8本不同的书，任选3本分给3个同学，每人1本，有多少种不同的分法？
（）
A.6B.12C.336D.27
【知识点：
分步乘法原理】
答案：
C
2.由数字1,2,3组成的无重复数字的整数中，偶数的个数为（）
A.15B.12C.10D.5
【知识点：
分类加法原理,分步乘法原理数学思想：
分类讨论】
答案：
D
解析：
分三类，第一类组成一位整数，偶数有1个；第二类组成两位整数，其中偶数有2个；第三类组成3位整数，其中偶数有2个.由分类加法计数原理知共有偶数5个.
3.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在3不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法有（）
A.24种B.18种C.12种D.6种
【知识点：
分步乘法原理,间接法；】
答案：
B
解析：
法一：
（直接法）若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2＝6种不同的种植方法.同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上均有3×2＝6种不同的种植方法.故不同的种植方法共有6×3＝18种.
法二：
（间接法）从4种蔬菜中选出3种种在三块地上，有4×3×2＝24种方法，其中不种黄瓜有3×2×1＝6种方法，故共有不同的种植方法24－6＝18种.
4.用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须全部使用，且同一数字不能相邻，这样的四位数（）
A.36个B.18个C.9个D.6个
【知识点：
分步乘法原理】
答案：
B
解析：
分三步完成，第一步，确定哪一个数字被使用2次，有3种方法；第二步，把这2个相同的数字排在四位数不相邻的两个位置上，有3种方法；第三步，将余下的2个数字排在四位数余下的两个位置上，有2种方法.故有3×3×2＝18个不同的四位数.
5.有四位同学参加三项不同的竞赛.
（1）每位学生必须参加且只能参加一项竞赛，有多少种不同结果？
（2）每项竞赛只允许一位学生参加，有多少种不同结果？
【知识点：
分步乘法原理】
解：
（1）学生可以选择竞赛项目，而竞赛项目对于学生无条件限制，所以每位学生均有3个不同的机会.要完成这件事必须是每位学生参加的竞赛全部确定下来才行，因此需分四步.而每位学生均有3个不同机会，所以用分步乘法计数原理可得不同结果有3×3×3×3＝81（种）.
（2）竞赛项目可挑选学生，而学生无选择项目的机会，每一个项目可挑选4位不同学生中的一位.要完成这件事必须是每项竞赛所参加的学生全部确定下来才行，因此需分三步，用分步乘法计数原理可得不同结果有4×4×4＝64（种）.
点拨：
解答此题至关重要的是学生选定竞赛项目还是竞赛项目选定参赛学生人数，对事情完成的方式有准确的认识理解.
（三）课后作业
基础型自主突破
1.由0,3,2三个数字组成的三位数（允许数字重复）的个数为（）
A.27B.18C.12D.6
【知识点：
分步乘法原理】
答案：
B
解析：
分三步，分别取个位、十位、百位上的数字，分别有3种、3种、2种取法，故共可得3×3×2＝18个不同的三位数.
2.某同学逛书店，发现三本喜欢的书，决定至少买其中的一本，则购买方案有（）
A.3种B.6种C.7种D.9种
【知识点：
分类加法原理；数学思想：
分类讨论】
答案：
C
解析：
买一本，有3种方案；买两本，有3种方案；买三本有1种方案.因此共有方案：
3＋3＋1＝7（种）.
3.某市汽车牌照号码（由4个数字和1个字母组成）可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择（数字可以重复）.某车主第一个号码（从左到右）只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他的车牌号码所有可能的情况有（）
A.180种B.360种C.720种D.960种
【知识点：
分步乘法原理】
答案：
D
解析：
分五步完成，第i步取第i个号码（i＝1,2,3,4,5）.由分步乘法计数原理，可得车牌号码共有5×3×4×4×4＝960种.
4.用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数的个数是（）
A.20B.16C.14D.12
【知识点：
间接法；】
答案：
C
解析：
因为四位数的每个位数上都有两种可能性（取2或3），其中四个数字全是2或3的不合题意，所以适合题意的四位数共有2×2×2×2－2＝14（个）.
5.甲、乙、丙3个班各有三好学生3，5，2名，现准备推选2名来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会，共有________种不同的推选方法.
答案：
31
【知识点：
分类加法原理,分步乘法原理数学思想：
分类讨论】
解析：
分为三类：
第一类，甲班选一名，乙班选一名，根据分步乘法计数原理，选法有3×5＝15（种）；
第二类，甲班选一名，丙班选一名，根据分步乘法计数原理，选法有3×2＝6（种）；
第三类，乙班选一名，丙班选一名，根据分步乘法计数原理，选法有5×2＝10（种）.
综合以上三类，根据分类加法计数原理，不同选法共有15＋6＋10＝31（种）.
6.如图，从A→C有________种不同的走法.
解析：
分为两类，不过B点有2种方法，过B点有2×2＝4种方法，共有4＋2＝6种方法.
【知识点：
分类加法原理,分步乘法原理数学思想：
分类讨论】
答案：
6
能力型师生共研
7.如图所示，用四种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有（）
A.288种B.264种C.240种D.168种
【知识点：
分类加法原理,分步乘法原理数学思想：
分类讨论】
答案：
B
解析：
先涂A，D，E三个点，共有4×3×2＝24种涂法，然后按B，C，F的顺序涂色，分为两类：
一类是B与E或D同色，共有2×（2×1＋1×2）＝8种涂法；另一类是B与E和D均不同色，共有1×（1×1＋1×2）＝3种涂法.所以涂色方法共有24×（8＋3）＝264种.
8.在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A，B两种作物，每种作物种植一垄.为有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法有________种.（用数字作答）
【知识点：
分类加法原理,分步乘法原理数学思想：
分类讨论】
解析：
分两步：
第一步，先选垄，如图，共有6种选法.
第二步，种植A，B两种作物，有2种选法.
因此，由分步乘法计数原理知，不同的选垄种植方法有6×2＝12种.
答案：
12
9.把一个圆分成3个扇形，现在用5种不同的颜色给3个扇形涂色，要求相邻扇形的颜色互不相同，问
（1）有多少种不同的涂法？
（2）若分割成4个扇形呢？
【知识点：
分类加法原理,分步乘法原理数学思想：
分类讨论】
解：
（1）不同的涂色方法是5×4×3＝60种.
（2）如图所示，分别用a，b，c，d记这四个扇形.先考虑给a，c涂色，分两类：
第一类给a，c涂同种颜色，共5种涂法；再给b涂色，有4种涂法；最后给d涂色，也有4种涂法.由分步乘法计数原理知，此时共有5×4×4种涂法.
第二类给a，c涂不同颜色，共有5×4种涂法；再给b涂色，有3种方法；最后给d涂色，也有3种方法.此时共有5×4×3×3种涂法.由分类加法计数原理知，共有5×4×4＋5×4×3×3＝260种涂法.
10.若直线方程Ax＋By＝0中的A，B可以从0,1,2,3,5这五个数字中任取两个不同的数字，则方程所表示的不同直线共有多少条？
【知识点：
分类加法原理；数学思想：
分类讨论】
解：
分两类完成.
第一类，当A或B中有一个为0时，表示的直线为x＝0或y＝0，共2条.
第二类，当A，B不为0时，直线Ax＋By＝0被确定需分两步完成.
第一步，确定A的值，有4种不同的方法；
第二步，确定B的值，有3种不同的方法.
由分步乘法计数原理知，共可确定4×3＝12条直线.
由分类加法计数原理知，方程所表示的不同直线共有2＋12＝14条.
探究型多维突破
11.下图的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L形，那么在由3×5个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L形图案的个数为________（注：
其他方向的也是L形）.
【知识点：
分类加法原理,分步乘法原理数学思想：
分类讨论】
答案：
32
解析：
每四个小正方形图案都可画出四个不同的L形图案，该图中共有8个这样的小正方形.故可画出不同的位置的L形图案的个数为4×8＝32.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
12.用红、黄、蓝三种颜色之一去涂下图中标号为1,2，…，9的9个小正方形，使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1、5、9的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有多少种？
【知识点：
分类加法原理,分步乘法原理数学思想：
分类讨论】
答案：
108
解析：
分步求解.只要在涂好1,5,9后，涂2,3,6即可，若3与1,5,9同色，则2,6的涂法为2×2，若3与1,5,9不同色，则3有两种涂法，2,6只有一种涂法，同理涂4,7,8，即涂法总数是C
（2×2＋C
×1）×（2×2＋C
×1）＝3×6×6＝108.
自助餐
1.用1、2、3、4四个数字可以排成不含重复数字的四位数有（）
A.265个B.232个C.128个D.24个
【知识点：
分步乘法原理】
答案：
D
2.用1、2、3、4四个数字可排成必须含有重复数字的四位数有（）
A.265个B.232个C.128个D.24个
【知识点：
间接法；】
答案：
B间接法：
4×4×4×4-4×3×2×1=232个
3.3科老师都布置了作业，在同一时刻4名学生都做作业的可能情况有（）
A.43种B.34种C.4×3×2种D.1×2×3种
【知识点：
分步乘法原理】
答案：
B
4.把4张同样的参观券分给5个代表，每人最多分一张，参观券全部分完，则不同的分法共有（）
A.120种B.1024种C.625种D.5种
【知识点：
间接法,分步乘法原理】
答案：
D间接法：
参观券相同，没分到的代表有五种可能.
5.从集合{1，2，3}和{1，4，5，6}中各取1个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中能确定不同点的个数为（）
A.12B.11C.24D.23
【知识点：
分类加法原理,分步乘法原理】
答案：
D
解析：
先在{1，2，3}中取出1个元素，共有3种取法，再在{1，4，5，6}中取出1个元素，共有4种取法，取出的2个数作为点的坐标有2种方法，由分步乘法计数原理知不同的点的个数有N＝3×4×2＝24（个）.又点（1，1）被算了两次，所以共有24－1＝23（个）.
6.若自然数n使得作竖式加法n＋（n＋1）＋（n＋2）均不产生进位现象，则称n为“良数”.例如：
32是“良数”，因为32＋33＋34不产生进位现象；23不是“良数”，因为23＋24＋25产生进位现象.那么小于1000的“良数”的个数为（）
A.27B.36C.39D.48
【知识点：
分类加法原理,分步乘法原理数学思想：
分类讨论】
答案：
D解析：
一位良数有0,1,2，共3个；两位数的良数十位数可以是1,2,3，两位数的良数有10,11,12,20,21,22,30,31,32，共9个；
三位数的良数有百位为1,2,3，十位数为0的，个位可以是0,1,2，共3×3＝9个，百位为1,2,3，十位不是零时，十位个位可以是两位良数，共有3×9＝27个.
根据分类加法计数原理，共有48个小于1000的良数.
7.从1到10的正整数中，任意抽取两个相加所得和为奇数的不同情形的种数是种
【知识点：
分步乘法原理】
答案：
25.解析：
当且仅当偶数加上奇数后和为奇数，从而不同情形有5×5＝25种
8.将1,2,3，…，9这9个数字填在如下图所示的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，当3,4固定在图中的位置时，填写空格的方法数有种.
【知识点：
分类加法原理,分步乘法原理数学思想：
分类讨论】
3
4
答案：
6解析：
左上方只能填1，右下方只能填9，此时4的上方只能填2.右上方填5时，其下方填6,7,8；右上方填6时，其下方填7,8；右上方填7时，其下方只能填8，此时左下方的两个格填法随之确定.故只能有3＋2＋1＝6种填法.
9.（2011湖北理）给
个则上而下相连的正方形着黑色或白色.当
时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：
由此推断，当
时，黑色正方形互不相邻着色方案共有种，至少有两个黑色正方形相邻着色方案共有种.（结果用数值表示）
【知识点：
间接法,分步乘法原理】
答案：
解析：
设
个正方形时黑色正方形互不相邻的着色方案数为
，由图可知，
，
，
，
，
由此推断
，
，故黑色正方形互不相邻着色方案共有21种；由于给6个正方形着黑色或白色，每一个小正方形有2种方法，所以一共有
种方法，由于黑色正方形互不相邻着色方案共有21种，所以至少有两个黑色正方形相邻着色方案共有
种着色方案，故分别填
.
10.从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取三个不同数字组成三位数
（1）能组成三位数的个数为多少个？
（2）能组成多少个不同的三位偶数？
【知识点：
分类加法原理,分步乘法原理数学思想：
分类讨论】
解：
（1）分三步：
第一步，取1个数字排在百位上，不能取0，有5种方法；第二步，从余下的五个数字中取1个作十位，有5种方法；第三步，从余下的4个数字中取1个作个位，有4种方法.根据分步乘法计数原理，共有5×5×4＝100种方法，即得100个三位数.
（2）分为两类：
情况1：
个位为0，此时有5×4=20个
情况2：
个位不为0，此时个位有2种选择.百位不能为0，不能与个位重复，有4种选择
此时有2×4×4=32个
总共有20+32=52个
11.学校新校区建造了一个花园，花园分为6个部分（如图所示），现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有多少种？
【知识点：
分类加法原理,分步乘法原理数学思想：
分类讨论】
解析：
根据6个部分的对称性，按同色、不同色进行分类：
（1）4,6同色，1有四种颜色可选，5有三种颜色可选，4有两种颜色可选，2有两种颜色可选，3只有一种颜色可选，共有4×3×2×2×1＝48（种）.
（2）4,6不同色，1有四种颜色可选，5有三种颜色可选，4有两种颜色可选，6有一种颜色可选，若2与4同色，则3有两种，若2与4不同色，则3有一种，共有4×3×2×1×（2＋1）＝72（种）.故共有120种不同的栽种方法.
12.把1,2,3,4,5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排列成一个数列.
（1）43251是这个数列的第几项？
（2）这个数列的第96项是多少？
（3）求这个数列的各项和.
【知识点：
分步乘法原理】
解：
将由1,2,3,4,5这五个数字组成无重复数字的五位数按万位数字分类，共五类，每类组成的数字数为：
4×3×2×1＝24（个）.
（1）万位数字为4，且比43251小的数的个数有：
3×2×1＋3×2×1＋2＋1＝15（个），所以43251是这个数列的第3×24＋15＋1＝88（项）.
（2）因为96＝4×24，所以这个数列的第96项是45321.
（3）因为五位数可写为：
a×104＋b×103＋c×102＋d×10＋e所以这个数列的各项和为：
（5＋4＋3＋2＋1）×（10000＋1000＋100＋10＋1）×24＝3999960.
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