百师联盟届高三一轮复习联考三全国卷理科数学试题含答案解析.docx

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百师联盟届高三一轮复习联考三全国卷理科数学试题含答案解析

百师联盟2021届高三一轮复习联考（三）全国卷I

理科数学试卷

注意事项：

1∙答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

回答非选择题时,将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

考试时间120分钟，满分150分

一、选择题:

本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1∙设集合P=ULv2-I>0（,ρ=∣xh-2>0∣,则PUQ为

B.IajIx<-1或咒工2}

A.∣xlx≥2∣

C.Ixlx<-1或％>1|

2.已知复数Z=-^-则z・7的值

A.0B.2i

COS50oCOS10°-Sin50oSin170°=

4.已知m2≥3,则直线y=mχ+T3与圆x2+/=1的位置关系为

D•相交

A.相切B.相离C.相交或相切

5.函数/（x）=皂的图象在点（∣,∕

（1））处的切线方程为

D・%=e

A・y=%+e-1B.y=eC.y=x-e

6.将函数/（E=SinX的图象上各点横坐标变为原来的+,纵坐标不变,再将所得图象向左平移

于个单位,得到函数g（%）的图象,则函数g（兀）的解析式为

已知正实数％满足a+b=l,则（3+制1+壬）的最小值为

零差数列gI的前"项和为5„,其中α3=y,54=14,则当Sft取得最大值时π的值为

10.

如图所示•某旅游景区的伏C景点和距2km,测得观光塔Ai）的塔底D在景点B的北偏东45。

.在呆点C的北偏西60。

方向上,在景点B处测得塔顶/1的仰角为45。

现有游客甲从景点&沿直线去往景点C,则沿途中观察塔顶点的最大仰角的正切值为（塔底大小和游客身髙忽略不计）

11•设有穷数列帀讣的前兄项和为粘令监='松2^∙∙∙f,称人为数列①宀，…宀的n

“凯森和”，已知数列α1,5,…,％O的“凯森和“为4042,那么数列-1,α1,吵…,吆2。

的“凯森和”为

A.4036B.4037C.4038D.4039

12.已知a,b满足0<农

<1b

abao

C.√+—

二、填空题:

本题共4小题,每小题5分,共20分。

严乡1

13-已知平面上点l∖x,y）满足"2yW4,则“3y-2”的最大值为-

14.已知在△他C中"是EC的中点4AD=2/2ilΛBC=fflLAliC的面积为・

15已知点0∕∕,C在同一平面上,A,B.C三点不共线,且满足OA+W+OC",其中Idtl=√5,l∂β∣=2,1001=/14,则OA・OB的值为,则ZMEC的面积为•（第

一空2分,第二空3分〉

16•已知正方体ARCD-AIRICIDi的棱长为5,其中有一半径为2的球。

与该正方体的底而ABCD和两个侧面ADDIAl,ABiilAl都相切•另有一球血，既与正方体的另外两侧面RCCe,DCGR以及底面ARCD相切,又与球Q相切，则球O2的半径为•

三、解答题:

共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题,考生根据要求作答。

（一）必考题：

60分。

17.（12分）

已知数列IJ\的前∏项和SB=几数列也-叫｝是首项为2,公比为2的等比数列.

（1）求数列｛αJ和数列｛bn-anI的通项公式；

（2）求数列心｝的前TI项和

18.（12分）

在LABC中,乙A,ZB,乙C的对边分别为a,bic.

已知J2ccosC=QCOSB+δcosA

（1）求乙C的大小；

（2）已知α+δ=4,求MBC的面积的最大值•

19.（12分）

斜三棱柱ABC-HDE中,平面MC丄平面BCD9AABC是边长为1的等边三角形,DC丄PC,

且DC长为存,设DC中点为仏且几G分别为CE,AD的中点•

（1）

证明：

FG〃平面朋C；

（2）

20.（12分）

求二面角B—AC—E的余弦值.

某企业年初在一个项目上投资2千万元,据市场调查,每年获得的利润为投资的50%,为了企业长远发展,每年底需要从利润中取岀500万元进行科研、技术改造,其余继续投入该项目•设经过“∈N"）年后,该项目的资金为叫万元

（1）求证:

数列Ifln-IOOO!

为等比数列；

（2）若该项目的资金达到翻一番,至少经过儿年？

（⅛3≈0.5,lg2≈0.3）

21.（12分）

已知函数/（比）=（―X3-2x+2Sinx+1）,g（x）=SinX+cosX+x2-2x

（1）求g（%）在点（0,g（0））处的切线方程;

（2）证明:

对任意的实数α≤l,g（x）^af（X）在［0,+∞）上恒成立.

（二）选考题JO分。

请考生在第22.23题中选定一题作答,并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑。

按所涂题号进行评分，多涂、错涂、漏涂均不给分,如果多答,则按所答第一题评分。

22.［选修4-4：

坐标系与参数方程］（10分）

X=COSθ

在平面直角坐标系诃，中，曲线G的参数方程为C・,&为参数），以坐标原点为极

y=2sιn0

点/轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为PSirlp+y）=1

（1）求G的普通方程和C2的直角坐标方程；

（2）若G与C2相交于4眉两点,设P（-1,√T）,求IpIl∙∖PB∖.

23.［选修4-5：

不等式选讲］（K）分）已知%,>5=0,满足X+y=2.

（1）求/+χγ+3/的最小值；

（2）证明:

Xy（X2÷∕）≤2.

百师联盟2021届高三一轮复习联考（三）全国卷I

理科数学参考答案及评分意见

1.C解析：

由题意由题意P=>1或-WtQ=∖χ∖x^2∖,故PUQ=P,故选C.

2.C解析:

Z∙Z-Izl2,2==1+i,则Z∙Z=Izl2=√5"2=2.故选C.

3.C解析：

由题意,cos500COSIOO-Sin50oSin170o=CoS50oCOSIOO-Sin50oSinIOO=COS60°=

故选C.

4.D解析：

由题意，该圆的圆心为0（0,0）,该点到该直线的距离为＜1,故

√l+τ∏22

选D.

5.B解析：

/'（%）=竺二匚,所以/'（I）=O,又/

（1）=e,所以切线方程为7=e.故选B.

6.D解析：

/（%）=SinX图象上各点横坐标变为原来的y,Wy=Sin2%再向左平移号•个单位后

得:

g（%）=Sin（2X十卑）.故选D.

7∙A解w=（3+÷）（,+f）=

2a÷8a¼3Zr÷14aΛ=I4+g.牛+3.2/4+4

√6∙故选A.

aι=T

2,由等差数列前几项和公式

d=—2

孕“），由二次函数相关知识,当/1=4时,S”最大.故选C.

it\.TT1（π∖Tr・

+τ∖=CoS（a"τ）cos4r∙s1n

Sin于=-需,所以得Sin,故tana=-7.故选A.

10.A【解析】由题意得乙DBC=45o,ZDCB=30°,BC=2.

⅛fc∆∞C=180o-（乙DBC+乙DCB）=105°

当游客甲到达E处时,仰角为LAED且IanMED=炭

因为AD为定长,所以当DE的长最小时∆AED取最大值.

故当DE丄〃C时,tan∆ΛED最大•在RlADEB中，DE=BD∙sin45o

=（√6-√2）×'^-=^r3-1.

在RIZUDB中.LABD=45°,所以AD=BD=Vz6一√5.

所以tan乙AED==~∑——=/2.故选A.

DE√3-1

11.D解析：

由已知可得5+S2+∙∙∙+52020=2020x4042

贝0—1+（—1+6∣∣）+（-1+（Iy+也）+•••+（-1+α∣+a?

+«2020）二—∣x2021+S[+S?

+•••+

S2020=-1X2021+2021×4042

所以数列-1,⑷心，…，α2o2θ的“凯森和”为="x2021?

;j）20x4042=_Iφ2θ2θχ2=4039

故选D.

12.C解析:

两边同时取对数后,我们发现比较αi与bn的大小关系等价于比较也与学的大

小关系,设/&）=—,JiMr（X）可得x∈（0,e）时,f（%）>0,∕（x）单调递增,所以

b1Il（iL>（£111br4%>‰C

«+——

13.y解析：

由题意,可知可行域如图中阴影部分所示，由题意y=y%+yz,当在｛1√∣）处2

取得最大值号.

14.2再+2解析:

在△倔中，由正弦定理監岛占解得血5D詁，故

∆BAD=^-1所以SZD=-γ∙BD.AD∙SinLBDA=Λ+1,由。

为BC的中点所以SMC=

=2√T+2.

15∙2,3√J解析:

由题意IOA^oβ∖=I-况I=√∏∖故I方F+IOTI2+2页.亦=14,解得

OA•丽=2又因为OA.OB=∖OA∖∖OB∖cosLAOB=2.所以COS厶AOB=冬

故Sin60,晋,故SM=：

*IM∙IOBISin"03=点，同理可求得SWC与S品,

求和知S△磁二3、$

16.1解析:

设球O?

半径为「，由题意知,球。

与球@外切，则由勾股定理得（2-r）2÷（5√Σ

一2√Σ-√∑r）2=（2+r）∖求解可知r=L

17∙

（1）由题意知a】=S]=1,1分

当心2Ht,αn=Sn-5n.∣=Zi2-（n-1）2=2n-13分

Ql=1符合an=2n-1

所以αn=2n-1,5分

由题意知7分

（2）由

（1）可¾I,6λ=2λ+2h-1,9分

10分

12分

Tn=6l+b2++δn=（2l+22+∙∙∙2ft）+（1+3+∙∙∙+2n-1）

=2小-2+7?

得CoSC

由CG（O,仃）,故C=于6分

（2）由α+∕>=4,得8分

10分

=-i-α∕>sinCwQ

当且仅当a=b=2时取等号Il分

所以C面积的最大值为√Σ12分

19.

（I）取肋中点N,连结GN,NF,易知N,M,F三点共线，

由GNHAB、且GAV平^ABCyABC平面MC,故GN〃平面MC,2分

同理可得WF〃平面A3C,3分

因为GNCNF=N,故平面GNF〃平面MC,4分

由FGU平面FGN,故FG〃平面4BC5分

（2）以BC中点。

为坐标原点，以0CtOiNf0Λ分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系0-啪,

7分

∕>n∙AC=0

设m=（x1yfz）为平面ME的法向SjIJT,解得加=（疗，-1,1）,9分

b∙CE=O

10分

由于OV丄平面/1BC,不妨取平面ABC的法向量为/1=（0」，0）

由图可知所求二面角为钝角，故二面角B-AC-E的余弦值为-警12分

20.

（1）证明：

由题意^afl=（I+50%）叫T-500（心2）∙2分

即5=f^-1_500,所以αn-IOOO=^^.,-IoOo）（n≥2）.4分

由题意知①=2000（1+50%）-500=2500所以数列（an-1000｝的首项为a∣-IOOO=I500

所以｛%-1000｝是首项为150（）,公比为号的等比数列.5分

（2）由⑴知数列｛an-IoO0｝的首项为a1-IOoO=1500,公比为斗6分

所以an-I（XX）=1500（y）,所以an=1500（y）+1000.9分

当an≥400（）,得（非“m2.10分

两边取常用对数得（n-l）Zg-∣-≥Zg2,0r以n-1^∕J‰≈o4⅛3以心2.5

因为n∈N∖所以n=3

即至少经过3年,该项目的资金达到翻一番.12分

21.

（1）由题意,设该切线的切线方程为y=kx+b,由gf（x）=COSX-BinX+2x-2,2分

故A：

=g,（0）=-1,Fhg（0）=1,解得I）=1,故该切线的切线方程为y--X+14分

（2）证明：

设∕ι（x）=-yx3-fIx+2Sinx+1,贝∣］lι'（x）-X-2+2cos%,贝IJh"（x）=2x-2sinX

M0,

故W）在［0,+∞）上单调递増,7√（^）≥∕√（0）=0,故/心）在［0,+J）上单调递增,

所以A（x）≥A（O）>0,所以/（巧>0在［0,+oo）上恒成立,

故g（%）-af（χ）^g（X）-f（x）,8分

故只需证g（x）^f（X）,即证e,（SinX+COSX+x2-2x）-一2兀+2SinX+1）MO

10分

设F（x）=e1（SinX+CoSx+x2-2x）-（*%'-2x+2Sin%+1）,

贝IJF'（.v）=e1（2cosXjfX-2）-（2cosx+x2-2）=（2COSx-∖-x^一2）（e'-1）MO,

在［0,+∞）上恒成立•12分

X=COS2

得√+^-=l2分

y=2sinO

由C2:

PSin8+才）=1得专PSinO+^j∙pcos0=1,将％=PCOSO,

y=psinO代入可得％+、/Jy-2=O5分

（2）经检验P（-I,再）在曲线C2上，则曲线C2的参数方程可以为Q为参

y=A+*

数）7分

代入IH【线G，得13『+20√5^∕+12=0,8分

设/1,3两点对应的参数分别为5*2,则由韦达定理得zμ2=j∣,9分

故1刃1・IP/?

I=j∣10分

23.

（1）由题意+xy+3y2=x（x+y）+3y2=2（2-γ）+3y2=3y2-2y+4,3分

由二次函数知识,知上式在y=y时4分

取到最小值¥

（2）证明：

由题口条件以及均值不尊式可以得到:

10分

当且仅当χ=y=l时等号成立

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