相似三角形压轴题综合运用含详解.docx

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相似三角形压轴题综合运用含详解

教学内容

等腰三角形分类讨论综合

會喙学0护

1•理解等腰三角形的性质和判定定理；

2•能用等腰三角形的判定定理进行相关计算和证明；

3•初步体会等腰三角形中的分类讨论思想；

4•体会在函数动点中寻找某些特殊的点形成的等腰三角形；

5.培养学生进行独立思考，提高独立解决问题的能力。

E、F分别是AB边和AC边上的

请直接写出线段BE的长；若不能,

例1题图

例1•如图，在Rt△ABC中，/BAC=90°,AB=3,AC=4,AD是BC边上的高,动点，且/EDF=90°.

（1）求DE:

DF的值；

（2）设直线DF与直线AB相交于点G,△EFG能否成为等腰三角形？

若能,请说明理由。

（★★★★★）

【满分解答】：

（1）•.•/BAC=90°•••/B+/C=90°,

•/AD是BC边上的高DAC+ZC=90°

•••/B=ZDAC

又tZEDF=90°

•ZBDE+ZEDA=ZADF+ZEDA=90°

ZBDE=ZADF

DE

BD

△BEDAFD

DF

AD

BDf

AB

3

3

cotB二

•DE:

DF:

AD

AC

4

4

（2）若厶EFG为等腰三角形，根据点G的不同位置分两大类讨论:

（图1）

①当点G在射线AB上时，如图1。

因为.FEGCAB•.AFE>90：

所以.FEG为钝角，则△EFG为等腰三角形时，EG二EF

•/EG=EF,ED_DF

•••D为GF中点

24

则，在直角AGF中，GF=2AD二一

5

又•••G=EFG二C

BE=54。

25

②当点G在射线BA上时，如图2。

因为.FEG—CAB•.AEF>90；所以/EFG为钝角，则△EFG为等腰三角形时，FG二EF

•/FG二EF,AFAE

•-A为EG中点

•••AEG二G

又•••B=FED

•BDE=AEF二ADF

•ADF=G

12

3

所以：

BE=3。

5

A

例2•如图，在ABC中，AB二AC=5,BC=6,D、E分别是边AB、AC上的两个动点（D不与A、

DE

B重合），且保持DE//BC,以DE为边，在点A的异侧作正方形DEFG,

当BDG是等腰三角形时，请直接写出AD的长。

（★★★★★）

【满分解答】：

过点A作AQ_BC，垂足为点Q。

4

AB=AC=5,BC=6，贝UBQ=3AQ=4,cosQAB=；

5

设AD二x，贝UBD=5—x,DE=DG=6x。

5

当BDG是等腰三角形时，根据点G的位置，分以下情况讨论：

（1）当点G在.ABC内部时：

因为.DGB>90，所以该情况下只可能DG二BG。

（图1）

（2）若点Q在线段PB上运动，与点P不重合，联结CQ并延长交

如图2,设PQ=x,DO=y，求y与x的函数关系式，并写出它的定义域；

PM的

（3）若点M在线段PA上运动，与点P不重合，联结CM交DP于点N，当△PNM是等腰三角形时，求值.

（1）证明：

•••AB//DC

•••.CPB—PCD1分

••:

ADP二PCD

•.ADP=•CPB1分

•••AD=2PD,PC=2PB

PDAD八

PBPC

•••△ADPCPB1分

•APD二B

•PD//BC1分

•-1分

（2）解：

•/AB//DC,PD//BC

•四边形PBCD是平行四边形

•PD二BC

•/PD=PC=4•BC=41分

•/PC=2PB

•PB=2

•••OD//BC

P°JQ1分

BCQB

tPQ=x,DO=y

•PO=y-4,QB=2-x

y_4_x

42—x

定义域是：

0：

：

：

x：

：

：

21分

（3）解：

①当PM二PN时,

•/PM//DC

由

（2）知：

PD=4，DC=2

PM二PN二PD-DN=22分

②当MP二MN时，

•••△ADPCPB,PC二BC=4

易得：

AP=AD=2PD=8

易证：

MN//AD

即：

四边形AMCD是平行四边形

•DC二AM=2

•

PM二AP-AM=62分

（注：

当NM二NP时不存在）

动点产生的直角三角形

6•理解直角三角形的性质；

7.能用直角三角形的性质解决相关问题；

8•培养学生分类讨论的思想，并体验动态思维过程；

9•培养学生分析问题、解决问题的能力。

练习1•在.ABC中，AB=AC=5,BC=8，点P、Q分别在边CB、AC上（点P不与点C、点B重合），且

保持.APQ=.ABC。

（1）若BP二x，CQ=y，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域;

（2）当CPQ为直角三角形时，求点P、B之间的距离。

【满分解答】：

（1）:

.APQCPQ=BBAP,.APQ二ABC,

•••BAP二CQP.

又•••AB二AC,「.B—C.

•QCPs：

ABP.

.CQCP

••=

BPAB'

•/BP二x,BC=8,•CP二BC-BP=8-x,

又CQ=y,AB=5,•—=8——，即y=_丄x?

十8xx555

1a

故所求的函数关系式为y=-1x2•°x,（0：

：

：

x：

：

：

8）.

55

（2）①当•CQP=90；时：

如图1,

•QAPAPQ=90[APQ二C

•QAPC=90^，则AP—BC

•••点P为BC中点，贝UBP=4

②当•CPQ=90；时：

如图2,

•••B=C二APQ

•••cos.B/二AB，解的BP二25

5BP4

③当一C=90时，不成立。

•••EF丄BC,EF=DE=y,•ECI3y.

3

•-y=（3-3）x9-3..3

（6-3.3

（2）△GDP能成为直角三角形.

1/PGD=90o时，则点P、G、F共线，所以AP二PF；

6-X=3yy，1分

6—x=（31）[（.3—3）x9-3.3]，1分

30-6、3

得到：

x二1分

11

2/GPD=90o时，点G在AB边上，则点AG、P、B共线，

所以AGPGBG=6

所以：

4x=x亠上3y,1分

2

3

4x=x+二q（J3-3）x+9-3丿3],1分

2

得到：

x=6-3弋31分

O

③当.GDP=90时，不成立。

•••当厶GDP为直角三角形时，BP的长为30一6'3或者x=6-331分

11

动点产生的相似三角形

乂歹毅学©倂

1•掌握相似基本图形中的相似三角形和各种比例式；

掌握“动中取静，以静窥动”的解题

2•通过观察了解因动点产生的相似三角形问题的特点，熟悉对应的解题方法,

策略；

3•培养学生对图形的直觉能力以及从变化中看到不变实质的数学洞察力；

4•培养学生学会挖掘题目中的隐藏条件，从未知到已知的一个转变；

5•掌握动点产生的相似三角形的分类讨论情况，并能根据题目中的条件进行求解。

例1•如图，在Rt△ABC中，.ACB=90，CE是斜边AB上的中线，AB=10,tanA=4，点P是CE延长线

3

上的一动点，过点P作PQ_CB，交CB延长线于点Q，设EP=x，BQ二y。

（★★★★）

（1）求y关于x的函数关系式及定义域；

（2）过点B作BF_AB交PQ于F，当lBEF和匚QBF相似时，求x的值。

【满分解答】

（1）在Rt△ABC中，.ACB=90，

BC4““

ttanA,AB=10

AC3

•••BC=8,AC=6.

1•/CE是斜边AB上的中线，•CE二BE二AB=5

2

•••PCB=ABC,•••PQC=ACB=90

4x-4，定义域为

5

（2）t•Q=.ACB=90,•QBF=.A

当厶BEF和厶QBF相似时，可得△

BEF和厶ABC也相似.

分两种情况：

①当.FEB二.A时，

在Rt△FBE中，NFBE=90「BE=5BFy''3

5〔4x-4〕=4；＜5，解得x=10;

353

②当.FEB二.ABC时,

5在Rt△FBE中，.FBEtO'BETBFyy

54x一4=35，解得x

354

125

16

125

综合①②，x=或10.

16

4

AD//BC,AB=CD,AD=3,BC=9,tan•ABC二一,

3直线MN是梯形的对称轴，点P是线段MN上一个动点N重合），射线BP交线段CD于点E,过点C作CF//AB于点F。

（★★★★★）

（1）.设PN二x,CE二y，试建立y和x之间的函数关出定义域；

（2）.联结PD，在点P运动过程中，如果.EFC和:

PDC相似，求出PN的长。

【满分解答】：

过点E作EG丄BC,

4tan_ABC二tan_DCB=-

3

43EGy,GCy.

55

由题意有EG//MN

PNBN加x4.5，即一

EGBG43

-y9_y55

15x

x6

（0:

:

:

x乞3）

（3）（I）当PDC二DCF时，PD//CF•••NMDP=^ABC

315

•-tanMDP二tanABC,——

44—x

•-x=2

（n）当.PDC二.FEC=.DEP时，过点P作PH丄DE交AD的延长线于点0。

则DH二EH，八

2

•••0DC二DCB二DPC

3

例2•如图，已知梯形ABCD中，AD//BC,AB_BC,AB=4,AD二CD=5,cot.C二兰.

4

点P在边BC上运动（点P不与点B、点C重合），一束光线从点A出发，沿AP的方向射出，经BC反射后，反射

【满分解答】：

•/AD//BCDAP=ZAPB,

•/ZAPB=ZEPC•ZDAP=ZEPC

若△APD与△PCE,则有如下两种情况：

（i）ZADP=ZC时，

推出BP=2时，△APDs^pec;

（ii）ZAPD=ZC时

（法一）又/ZADP=ZDPC•△APDsADCP

•PD2=ADPC

■/PD2=42+（5_xf

•165-x2=58-x

I

5+v；21

解得X12=——，经检验，均符合题意

2

5+^21

故X1,2=—时，△APDs^PCE;

•••当BP为2,5一21时，AAPD与厶PCE相似。

（法二）过点D作DH丄AP于点

（挖掘题目中的隐藏

平行四边

一•由动点产生的相似三角形的解题方法和策略：

1•寻找题目中特殊的条件和不变的量，并找出由条件引发的一些相等角、相等线段等特殊条件；条件）

2•注意分类讨论，先找是否有相等角，再决定分类讨论情况：

3•相似三角形的边如果能直接求出列等式最好，如果不能求出，注意转化相似（是否产生新的相似、等形等更特殊的条件）

4•注意三个易忘定理：

线段的中垂线定理、角平分线定理、直角三角形的性质。

1•在RtAABC中，ZACB=90°,BC=30,AB=50.点P是AB边上任意一点，直线PE丄AB,与边AC或BC相交于E.点

M在线段AP上，点N在线段BP上，EM=EN,sin/EMP=—.

13

（1）如图1,当点E与点C重合时，求CM的长；（4分）

（2）如图2,当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP=x,BN=y,求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；（4分）

（3）若厶AMEENB（△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应），求AP的长。

（6分）（★★★★★）

备用图

.C=APE=90°,EM=EN;

【解法点拨】

1.本题综合性很强，注意抓住题目中的特殊条件和不变的量:

2.求解函数关系式，构造基本图形并应用好三角比和勾股定理；

3.

当△AMEENB相似时，对已经对应好，但要分点E在AC边上和BC边上两大类讨论:

②.当点E在BC边上时：

根据外角定理，AACEEPM。

4•相似三角形分类讨论时，注意点的运动位置和边的对应。

【满分解答】：

（1）•••/ACB90°,.・.AC=Jab2_BC2=（502_302=401

•••S=1ABCP=1ACBC,.

22

分.

••CP=ACBC=4030=24

AB50

12cp12

在Rt△CPM中,tsin/EMP，二-1

13

CM13

PEappex3

1

（2）由厶APE^AACB得=，即=—,.PE=—x.

BCAC30404

12PE12

在Rt△MPE中Tsin/EMP,.1分

13

13一x.

ME13

EM=13PE=133x=

12124

5

■/AP+Pb+Nt=50,.°.x+—x+y=50.

21

•••y二…x50（0

16

（3）第三问：

由于给出对应顶点，那么解法一可以直接运用相似和三角比求出对应边长再列比例式求解。

本题

还可以通过角度之间的关系转换求解，并从角度入手更加简洁直观方法如下：

①当点E在线段AC上时,

解得X1=22,X2=0（舍去）.即AP=221分

②当点E在线段BC上时，

根据外角定理，△AC0AEPM：

竺二空二！

？

.•C^—AC=501分

CEMP5123

55550

设AF=x,易得BE=—（50-x）,•CE=30…（50-x）.「.30…（50-x）=■……1分

3333

解得x=42.即AP=42••…1分•AP的长为22或42.（若最后答案没有写，则扣1分）