相似三角形压轴题含答案.doc
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1、（2011学年度九年级第二学期普陀区期终调研）如图，四边形中，，点在的延长线上，联结，交于点，联结DB，，且.
（1）求证：
；
（2）当平分时，求证：
四边形是菱形.[来^*源:
中%教网~&]
答案：
（1）证明：
∵，[w~ww.zz&ste%p.#com@]
∴．…………………………………………（2分）[来源#:
%中~@国教&育出版网]
∵，…………………………………………（1分）
∴∽．………………………………………（1分）
∴．……………………………………………（1分）
[www#.zz*^ste&p.co@m]
（2）∵，
又∵，
∴．………………………………………………（1分）
∴．………………………………………………（1分）
又∵，
∴四边形是平行四边形………………………………………（1分）
∵，
∴．……………………………………………（1分）[来源@#:
^中教网&%][中国教&育~出%^版*网]
∵平分，
∴．…………………………………………（1分）[www^.zzst@#%ep.c&om]
∴．
∴．……………………………………………（1分）
∴四边形是菱形．……………………………………………………（1分）
2、（2010•山东省泰安市）如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AC边上一点，且满足AD=AB，∠ADE=∠C
（1）求证：
∠AED=∠ADC，∠DEC=∠B；
（2）求证：
AB2=AE·AC
2．（本小题满分8分）
证明：
（1）在△ADE和△ACD中
∵∠ADE=∠C，∠DAE=∠DAE
∴∠AED=180°—∠DAE—∠ADE
∠ADC=180°—∠ADE—∠C
∴∠AED=∠ADC （2分）
∵∠AED+∠DEC=180°
∠ADB+∠ADC=180°
∴∠DEC=∠ADB
又∵AB=AD
∴∠ADB=∠B
∴∠DEC=∠B （4分）
（2）在△ADE和△ACD中
由
（1）知∠ADE=∠C，∠DAE=∠DAE
∴△ADE∽△ACD （5分）
∴
即AD2=AE·AC （7分）
又AB=AD
∴AB2=AE·AC （8分）
3.
（2009泰安）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F。
（1）求证：
FD2=FB·FC。
（2）若G是BC的中点，连接GD，GD与EF垂直吗？
并说明理由。
【答案】证明：
（1）∵E是Rt△ACD斜边中点
∴DE=EA
∴∠A=∠2
∵∠1=∠2
∴∠1=∠A…
∵∠FDC=∠CDB+∠1=90°+∠1，∠FBD=∠ACB+∠A=90°+∠A
∴∠FDC=∠FBD
∵F是公共角
∴△FBD∽△FDC
∴
∴
（2）GD⊥EF
理由如下：
∵DG是Rt△CDB斜边上的中线，
∴DG=GC
∴∠3=∠4
由
（1）得∠4=∠1
∴∠3=∠1
∵∠3+∠5=90°
∴∠5+∠1=90°
∴DG⊥EF
4、（2010广东珠海）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，
连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.
（1）求证：
△ADF∽△DEC
（2）若AB＝4,AD＝3,AE＝3,求AF的长.
【答案】
（1）证明：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BCAB∥CD
∴∠ADF=∠CED∠B+∠C=180°
∵∠AFE+∠AFD=180∠AFE=∠B
∴∠AFD=∠C
∴△ADF∽△DEC
（2）解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BCCD=AB=4
又∵AE⊥BC∴AE⊥AD
在Rt△ADE中，DE=
∵△ADF∽△DEC
∴∴AF=
5、（2010广东肇庆）如图5，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，CE与AB交于F.
（1）求证：
△CEB≌△ADC;
（2）若AD=9cm，DE＝6cm，求BE和EF的长.
【答案】解：
（1）因为∠ACB=90°，所以∠BCE+∠ECA=90°.
因为AD⊥CE于D，所以∠CAD+∠ECA=90°.
所以∠BCE=∠CAD.
因为BE⊥CE于E，所以∠BEC=∠CDA=90°.
又因为AC=BC，所以△CEB≌△ADC（AAS）.
（3）因为△CEB≌△ADC，所以CE=AD=9cm，CD=BE.因为DE＝6cm，所以CD=CE-DE=3cm.所以BE=3cm.因为∠BEF=∠ADF=90°，∠EFB=∠DFA,所以△EFB∽△DFA.所以.设EF=xcm，所以DF=（6-x）cm,所以,所以x=cm.
6、.（2009年潍坊）已知，延长BC到D，使．取的中点，连结交于点．
（1）求的值；
（2）若，求的长．
解：
（1）
过点F作，交于点．
为的中点
为的中点，．
由，得，
（2）
又
．
7、（2011•东莞市）21．如图
（1），△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=AC=EF=9，∠BAC=∠DEF=90º，固定△ABC，将△DEF绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止．现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE，DF（或它们的延长线）分别交BC（或它的延长线）于G，H点，如图
（2）
题21图
（1）
B
H
F
A（D）
G
C
E
C（E）
B
F
A（D）
题21图
（2）
（1）问：
始终与△AGC相似的三角形有及；
（2）设CG=x，BH=y，求y关于x的函数关系式（只要求根据图
（2）的情形说明理由）
（3）问：
当x为何值时，△AGH是等腰三角形.
【答案】解：
（1）△HAB，△HGA。
（2）∵△AGC∽△HAB，∴，即。
∴。
又∵BC=。
∴y关于x的函数关系式为。
（3）①当∠GAH=45°是等腰三角形.的底角时，如图1，
可知。
②当∠GAH=45°是等腰三角形.的顶角时,如图2，
在△HGA和△AGC中
∵∠AGH=∠CGA，∠GAH=∠C=450，
∴△HGA∽△AGC。
∵AG=AH，∴
∴当或时，△AGH是等腰三角形。
8、（2009武汉）如图1，在中，，于点，点是边上一点，连接交于，交边于点．
（1）求证：
；
（2）当为边中点，时，如图2，求的值；
（3）当为边中点，时，请直接写出的值．
B
B
A
A
C
O
E
D
D
E
C
O
F
图1
图2
F
【关键词】相似三角形的判定和性质
【答案】解：
（1），．
．
，
，．
；
B
A
D
E
C
O
F
G
（2）解法一：
作，交的延长线于．
，是边的中点，．
由
（1）有，，
．
，，
又，．
，．
，，，
，．
B
A
D
E
C
O
F
解法二：
于，
．．
设，则，
．
，
．
由
（1）知，设，，．
在中，．
．．
（3）．
（第22题）
9、（2010•济宁市）数学课上，李老师出示了这样一道题目：
如图，正方形的边长为，为边延长线上的一点，为的中点，的垂直平分线交边于，交边的延长线于.当时，与的比值是多少？
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：
过作直线平行于交，分别于，，如图，则可得：
，因为，所以.可求出和的值，进而可求得与的比值.
（1）请按照小明的思路写出求解过程.
（2）小东又对此题作了进一步探究，得出了的结论.你认为小东的这个结论正确吗？
如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由.
22．
（1）解：
过作直线平行于交，分别于点，，
则，，.
∵，∴. 2分
∴，.
∴. 4分
（2）证明：
作∥交于点， 5分
则，.
∵，
∴.
∵，，
∴.∴. 7分
∴. 8分
M
10、（2010•湖北省咸宁）24．（本题满分12分）
如图，直角梯形ABCD中，AB∥DC，，，．动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C-D-A向点A运动．当点M到达点B时，两点同时停止运动．过点M作直线l∥AD，与线段CD的交点为E，与折线A-C-B的交点为Q．点M运动的时间为t（秒）．
（1）当时，求线段的长；
（2）当0＜t＜2时，如果以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，求t的值；
（3）当t＞2时，连接PQ交线段AC于点R．请探究是否为定值，若是，试求这个定值；若不是，请说明理由．
A
B
C
D
（备用图1）
A
B
C
D
（备用图2）
Q
A
B
C
D
l
M
P
（第24题）
E
24．解：
（1）过点C作于F，则四边形AFCD为矩形．
Q
A
B
C
D
l
M
P
（第24题）
E
F
∴，．
此时，Rt△AQM∽Rt△ACF．……2分
∴．
即，∴．……3分
（2）∵为锐角，故有两种情况：
①当时，点P与点E重合．
此时，即，∴．……5分
A
B
C
D
（备用图1）
Q
P
E
l
M
②当时，如备用图1，
此时Rt△PEQ∽Rt△QMA，∴．
由
（1）知，，
而，
∴．∴．
综上所述，或．……8分（说明：
未综述，不扣分）
（3）为定值．……9分
当＞2时，如备用图2，
A
B
C
D
（备用图2）
M
Q
R
F
P
．
由
（1）得，．
∴． ∴．
∴． ∴．
∴四边形AMQP为矩形． ∴∥．……11分
∴△CRQ∽△CAB．
∴．……12分
11、五、石景山24题：
在△中，,是底边上一点，是线段上一点,且
∠．
（1）如图1,若∠,猜想与的数量关系为；
（2）如图2,若∠，猜想与的数量关系，并证明你的结论；
图1图2
（3）若∠，请直接写出与的数量关系.
【参考答案】24.解：
（1）
图
（1）
（2）
证明：
过点作∥交的延长线于点,
在上取点使得
∴
∵
∴,
∴
∵
∴
图
（2）
∵
∴△≌△
∴
∵
∴
∴
由△∽△得
∴
（3）结论：
.
A
O
D
C
M
B
y
x
25．（11·漳州）（满分13分）如图，直线y＝－2x＋2与x轴、y轴分别交于A、B两点，将△OAB绕点O逆时针方向旋转90°后得到△OCD．
（1）填空：
点C的坐标是（_，_），
点D的坐标是（_，_）；
（2）设直线CD与AB交于点M，求线段BM的长；
（3）在y轴上是否存在点P，使得△BMP是等腰三角形？
若存在，
请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】
解：
（1）点C的坐标是（0，1），点D的坐标是（－2，0）………………4分
（2）方法一：
由
（1）可知CD＝＝，BC＝1
又∠1＝∠5，∠4＝∠3
∴△BMC∽△DOC………………6分
∴＝即＝
∴BM＝………………8分
方法二：
设直线CD的解析式为y＝kx＋b
由
（1）得
解得
∴直线CD的解析式为y＝x＋1
又∠1＝∠5，∠BCM＝∠DCO
∴△BMC∽△DOC………………6分
∴＝即＝
∴BM＝………………8分
∵∴
∴M的坐标为（，）………………6分
过点M作ME⊥y轴于点E，则ME＝，BE＝
∴BM＝＝………………8分
（3）存在………………9分
分两种情况讨论：
①以BM为腰时
∵BM＝，又点P在y轴上，且BP＝BM
此时满足条件的点P有两个，它们是P1（0，2＋）、P2（0，2－）……………11分
过点M作ME⊥y轴于点E，∵∠BMC＝90°，
A
O
D
C
M
B
y
x
P3
·
E
A
O
D
C
M
B
y
x
P1
·
·
P2
1
5
则△BME∽△BCM
∴＝
∴BE＝＝
又∵BM＝BP
∴PE＝BE＝
∴BP＝
∴OP＝2－＝
此时满足条件的点P有一个，它是P3（0，）……………12分
②以BM为底时，作BM的垂直平分线，分别交y轴、BM于点P、F，
A
O
D
C
M
B
y
x
P4
·
F
由
（2）得∠BMC＝90°，
∴PF∥CM
∵F是BM的中点，
∴BP＝BC＝
∴OP＝
此时满足条件的点P有一个，它是P4（0，）
综上所述，符合条件的点P有四个，它们是：
P1（0，2＋）、P2（0，2－）、P3（0，）、P4（0，）……………13分
13.（2010•福建省莆田市）如图1，在Rt中，点D在边AB上运动，DE平分交边BC于点E，垂足为，垂足为N.
第24题
（1）当AD=CD时，求证：
；
（2）探究：
AD为何值时，与相似？
（3）探究：
AD为何值时，四边形MEND与的面积相等？
24．（本小题满分12分）
第24题
（1）证明：
1分
又∵DE是∠BDC的平分线
∴∠BDC=2∠BDE
∴∠DAC=∠BDE 2分
∴DE∥AC 3分
（2）解：
（Ⅰ）当时，得
∴BD=DC
∵DE平分∠BDC
∴DE⊥BC，BE=EC.
又∠ACB=90°∴DE∥AC. 4分
∴即
∴AD=5 5分
（Ⅱ）当时，得
∴EN∥BD
又∵EN⊥CD
∴BD⊥CD即CD是△ABC斜边上的高 6分
由三角形面积公式得AB·CD=AC·BC∴CD=
∴ 7分
综上，当AD=5或时，△BME与△CNE相似.
（3）由角平分线性质易得
即 8分
∴EM是BD的垂直平分线.
第24题
∴∠EDB=∠DBE
∵∠EDB=∠CDE∴∠DBE=∠CDE
又∵∠DCE=∠BCD
∴ 9分
10分
即
11分
由式得
12分
14、（2012莆田市质检）24．（本小题满分12分）
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=8,BC=6，点D是射线CA上的一个动点（不与A、C重合）,DE⊥直线AB于E点，F是BD的中点，过点F作FH⊥直线AB于点H，连接EF，设AD＝x.
（1）①（3分）若点D在AC边上，求FH的长（用含x的式子表示）;
②（4分）若点D在射线CA上，△BEF的面积为S，求s与x的函数关系式，并写出x的取值范围．
（2）（5分）若点D在AC边上，点P是AB边上的一个动点，DP与EF相交于O点，当DP+FP的值最小时，猜想DO与PO之间的数量关系，并加以证明．
24.解：
（1）①
∵，，∴┅1分
方法一：
∵∴┅2分
∵,是的中点
∴∵∴
∴┅3分
方法二：
∵，
∴∽∴
∴∴┅2分
∵,是的中点∴
∵∴∴┅3分
②∵∽∴∴┅4分
有两种情况：
（Ⅰ）当点在边上时，如图1：
∵
∴┅5分
∴，（）┅6分
（Ⅱ）当点在延长线上时，如图2：
同理得：
，
∵
∴
∴，（）┅7分
（2）猜想：
┅8分
证明：
作点关于的对称点,连接则于，连接交于，交于，此时的值最小时.连接.
∵，
∴又∵∥
∴四边形是平行四边形┅9分
方法一：
如图3，在与中
∵
∴∽┅10分
∴∴┅11分
∴化简得：
┅12分
方法二：
连接如图4：
∵，
∴∥且=┅10分
∴∽
∴┅11分∴┅12分
方法三：
取的中点，连接如图5：
∵，
∴又∵∥
∴四边形是平行四边形
∴┅10分
∵，
∴∥，∴，┅11分
∴∴┅12分
15、（2012•福建省莆田市）24．（本小题满分12分）
（1）（3分）如图①，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D．
求证：
AB2＝AD·AC；
（2）（4分）如图②，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为BC边上的点，BE⊥AD于点E，延长BE交AC于点F．，求的值；
（3）（5分）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为直线BC上的动点（点D不与B、C重合），直线BE⊥ＡD于点E，交直线AC于点F。
若，请探究并直接写出的所有可能的值（用含n的式子表示），不必证明．
24．（本小题满分12分）
（1）证明：
如图①，∵ BD⊥AC，∠ABC=90°，∠ADB＝∠ABC
又∵∠A＝∠A，∴△ADB∽△ABC………………（2分）
∴，∴AB2＝AD·AC ……………（3分）
（2）解：
方法一：
如图②，过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G．…………（4分）
∵BE⊥AD，∴∠CGD＝∠BED＝90°，CG∥BF
又∵
∴ AB＝BC＝2BD＝2DC，BD＝DC
又∵ ∠BDE＝∠CDG，∴ △BDE≌△CDG
∴ ED＝GD＝ ………………………………………（5分）
由
（1）可得：
AB2＝AE·AD，BD2＝DE·AD
∴ ，∴AE＝4DE ,∴（6分）
又∵ CG∥BF，……………………（7分）
方法二：
如图③，过点D作DG∥BF交AC于点G……（4分）
∴ ，BD＝DC＝，AB＝BC
∵ DG∥BF，∴ ，FC＝2FG……（5分）
由
（1）可知：
AB2＝AE·AD，BD2＝DE·AD
∴ ……………………………………………………………（6分）
∵ DG∥BF，∴ ，∴ ……………………………（7分）
（3）①当点D在BC边上时，的值为n2＋n.
②当点D在Bc延长线上时，的值为n2－n．
③当点D在cB延长线上时，的值为n－n2．
（注：
写对一种得1分，写对二种得3分，写对三种得5分）
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