相似三角形压轴题提高训练.doc
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博学而笃志，切问而近思
相似三角形拔高特训
1.如图，在中，∠ACB=,AC=6,BC=8,点D在边AB上运动，DE平分∠CDB交边BC于点E，垂足为M，垂足为N。
（1）当AD=CD时，求证：
DE∥AC；
（2）探究：
AD为何值时，△BME与△CNE相似？
（3）探究：
AD为何值时，四边形MEND与△BDE的面积相等？
2.已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．
（1）求证：
EG=CG；
（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问
（1）中的结论是否仍然成立？
若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问
（1）中的结论是否仍然成立？
通过观察你还能得出什么结论？
D
F
B
A
C
E
图③
F
B
A
D
C
E
G
图②
F
B
A
D
C
E
G
图①
3.如图，点A是△ABC和△ADE的公共顶点，∠BAC＋∠DAE＝180°，AB＝k·AE，AC＝k·AD，点M是DE的中点，直线AM交直线BC于点N．
（1）探究∠ANB与∠BAE的关系，并加以证明．
A
B
C
E
M
D
N
（2）若△ADE绕点A旋转，其他条件不变，则在旋转的过程中
（1）的结论是否发生变化？
如果没有发生变化，请写出一个可以推广的命题；如果有变化，请画出变化后的一个图形，并证明变化后∠ANB与∠BAE的关系．
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D在边AB上运动，DE平分∠CDB交边BC于点E，EM⊥BD垂足为M，EN⊥CD垂足为N。
（1）当AD=CD时，求证：
DE∥AC；
（2）探究：
AD为何值时，△BME与△CNE相似？
（3）探究：
AD为何值时，四边形MEND与△BDE的面积相等。
解：
（1）∵
∴
∴
又∵DE是∠BDC的平分线
∴∠BDC=2∠BDE
∴∠DAC=∠BDE
∴DE∥AC。
（2）（i）当时，得
∴BD=DC
∵DE平分∠BDC
∴DE⊥BC，BE=EC
又∠ACB=90°
∴DE∥AC
∴
即
∴AD=5。
（2）当时，得
∴EN∥BD
又∵EN⊥CD
∴BD⊥CD即CD是△ABC斜边上的高
由三角形面积公式得AB·CD=AC·BC
∴CD=
∴
综上，当AD=5或时，△BME与△CNE相似。
（3）由角平分线性质易得
∵
∴
即
∴EM是BD的垂直平分线
∴∠EDB=∠DBE
∵∠EDB=∠CDE
∴∠DBE=∠CDE
又∵∠DCE=∠BCD
∴
∴
∴
即
∵
∴
由①得
∴
∴
∴。
2.已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．
（1）求证：
EG=CG；
（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问
（1）中的结论是否仍然成立？
若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问
（1）中的结论是否仍然成立？
通过观察你还能得出什么结论？
D
F
B
A
C
E
图③
F
B
A
D
C
E
G
图②
F
B
A
D
C
E
G
图①
（1）证明：
在Rt△FCD中,
∵G为DF的中点,
∴CG=FD．………………1分
同理,在Rt△DEF中,
EG=FD．………………2分
∴CG=EG．…………………3分
（2）
（1）中结论仍然成立,即EG=CG．…………………………4分
证法一：
连接AG,过G点作MN⊥AD于M,与EF的延长线交于N点．
在△DAG与△DCG中,
∵AD=CD,∠ADG=∠CDG,DG=DG,
∴△DAG≌△DCG．
∴AG=CG．………………………5分
在△DMG与△FNG中,
∵∠DGM=∠FGN,FG=DG,∠MDG=∠NFG,
∴△DMG≌△FNG．
∴MG=NG
在矩形AENM中,AM=EN．……………6分
在Rt△AMG与Rt△ENG中,
∵AM=EN,MG=NG,
∴△AMG≌△ENG．
∴AG=EG．
∴EG=CG．……………………………8分
证法二：
延长CG至M,使MG=CG,
连接MF,ME,EC,……………………4分
在△DCG与△FMG中,
∵FG=DG,∠MGF=∠CGD,MG=CG,
∴△DCG≌△FMG．
∴MF=CD,∠FMG＝∠DCG．
∴MF‖CD‖AB．………………………5分
∴．
在Rt△MFE与Rt△CBE中,
∵MF=CB,EF=BE,
∴△MFE≌△CBE．
∴．…………………………………………………6分
∴∠MEC＝∠MEF＋∠FEC＝∠CEB＋∠CEF＝90°．…………7分
∴△MEC为直角三角形．
∵MG=CG,
∴EG=MC．
∴．………………………………8分
（3）
（1）中的结论仍然成立,
即EG=CG．其他的结论还有:
EG⊥CG．……10分
3.如图，点A是△ABC和△ADE的公共顶点，∠BAC＋∠DAE＝180°，AB＝k·AE，AC＝k·AD，点M是DE的中点，直线AM交直线BC于点N．
（1）探究∠ANB与∠BAE的关系，并加以证明．
A
B
C
E
M
D
N
（2）若△ADE绕点A旋转，其他条件不变，则在旋转的过程中
（1）的结论是否发生变化？
如果没有发生变化，请写出一个可以推广的命题；如果有变化，请画出变化后的一个图形，并证明变化后∠ANB与∠BAE的关系．
（1）∠ANB+∠BAE=180º．………………………………………………………1分
证明：
（法一）如图1,延长AN到F,使MF=AM,连接DF、EF.………………2分
∵点M是DE的中点,∴DM=ME,
∴四边形ADFE是平行四边形,……………………………………………………3分
∴AD‖EF,AD=EF,
∴∠DAE+∠AEF=180º,
∵∠BAC+∠DAE=180º,
∴∠BAC=∠AEF,…………………………………………………………………4分
∵AB=kAE,AC=kAD,
∴,
∴………………………………………6分
∴△ABC∽△EAF
∴∠B=∠EAF…………………………………8分
∵∠ANB+∠B+∠BAF=180º
∴∠ANB+∠EAF+∠BAF=180º
即∠ANB+∠BAE=180º,………………………………………………………10分
（法二）如图2,延长DA到F,使AF=AD,连接EF.……………………2分
∵∠BAC+∠DAE=180º,∠DAE+∠EAF=180º,
∴∠BAC=∠EAF,………………………………………………………………3分
∵AB=kAE,AC=kAD,
∴,
∴,………………………………………4分
∴△ABC∽△AEF,…………………………………5分
∴∠B=∠AEF,………………………………………6分
∵点M是DE的中点,∴DM=ME,
又∵AF=AD,
∴AM是△DEF的中位线,
∴AM‖EF,…………………………………………7分
∴∠NAE=∠AEF,
∴∠B=∠NAE,……………………………………8分
∵∠ANB+∠B+∠BAN=180º,
∴∠ANB+∠NAE+∠BAN=180º,
即∠ANB+∠BAE=180º．…………………………10分
（2）变化．如图3（仅供参考）,∠ANB=∠BAE．（图和结论各1分）………………12分
选取（ⅰ）,如图4.
证明：
延长AM到F,使MF=AM,连接DF、EF.
……………………………………………………2分
∵点M是DE的中点,∴DM=ME
∴四边形ADFE是平行四边形,…………………4分
∴AD‖FE,AD=EF,
∴∠DAE+∠AEF=180º,
∵∠BAC+∠DAE=180º,
∴∠BAC=∠DAE,………………………………6分
∵AB=kAE,AC=kAD,,
∴AB=AE,AC=AD,
∴AC=EF,………………………………………………………………………………7分
∴△ABC≌△EAF,
∴∠B=∠EAF,……………………………………………………………………8分
∵∠ANB+∠B+∠BAF=180º,
∴∠ANB+∠EAF+∠BAF=180º,
即∠ANB+∠BAE=180º．……………………………………………………………10分
选取（ⅱ）,如图5.
证明：
∵AB=AC,
∴∠B=（180º-∠BAC）,…………………………………………………………3分
∵∠BAC+∠DAE=180º,
∴∠DAE=180º-∠BAC,
∴∠B=∠DAE,
∵AB=kAE,AC=kAD,
∴AE=AD,
∵AM是△ADE的中线,AB=AC,
∴∠EAM=∠DAE,
∴∠B=∠EAM,……………………………………………………………………4分
∵∠ANB+∠B+∠BAM=180º,
∴∠ANB+∠EAM+∠BAM=180º,
即∠ANB+∠BAE=180º．…………………………………………………………5分
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