数学七年级下册 第5章 《相交线与平行线》 常考题型训练四含答案.docx

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数学七年级下册第5章《相交线与平行线》常考题型训练四含答案

七年级下册《相交线与平行线》

常考题型训练（四）

1．如图，∠ADE+∠BCF＝180°，BE平分∠ABC，∠ABC＝2∠E．

（1）AD与BC平行吗？

请说明理由；

（2）AB与EF的位置关系如何？

为什么？

（3）若AF平分∠BAD，试说明：

∠E+∠F＝90°．

2．如图1，已知点A，点D在BC上方，过点A，D分别作CD，AB的平行线，两条平行线交于点M（点M在BC下方），且与BC分别交于E，F两点，连结AD．

（1）∠BAM与∠CDM相等吗？

请说明理由．

（2）根据题中条件，判断∠AEF，∠DFE，∠BAE三个角之间的数量关系，并说明理由；

（3）如图2，Q是AD下方一点，连结AQ，DQ，且∠DAQ＝

∠BAD，∠ADQ＝

∠ADC，若∠AQD＝112°，请直接写出∠BAE的度数．

3．阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：

如图1，AC∥BD，点E为直线AC上方一点，连接CE、DE，猜想∠C、∠D、∠E的数量关系，并证明．

小明发现，可以过点E作MN∥AC来解决问题，如图2，请你完成解答；

用学过的知识或参考小明的方法，解决下面的问题：

如图3，AB∥CD，P是平面内一点，连接AP、CP，使AP∥BD，∠APC＝100°，BM、CM分别平分∠ABD、∠DCP交于点M，求∠M的度数．

4．

（1）已知：

如图1，直线AB∥CD，点E是AB、CD之间的一点，连接BE、DE得到∠BED．求证：

∠BED＝∠B+∠D，（提示：

过E作EF平行AB）

（2）已知：

直线AB∥CD，直线MN分别与AB、CD交于点E、F．

①如图2，∠BEF和∠EFD的平分线交于点G．猜想∠G的度数，并证明你的猜想；

②如图3，EG1和EG2为∠BEF内满足∠1＝∠2的两条线，分别与∠EFD的平分线交于点G1和G2．求证：

∠FG1E+∠G2＝180°．

5．如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D、F，∠2+∠3＝180°，试说明：

∠GDC＝∠B．请补充说明过程，并在括号内填上相应的理由．

解：

∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）

∴∠ADB＝∠EFB＝90°（　　），

∴EF∥AD（　　），

∴　　+∠2＝180°（　　）．

又∵∠2+∠3＝180°（已知），

∴∠1＝∠3（　　），

∴AB∥　　（　　），

∴∠GDC＝∠B（　　）．

6．如图，直线AB、CD相交于O，∠EOC＝90°，OF是∠AOE的角平分线，∠COF＝34°，求∠BOD的度数．

其中一种解题过程如下：

请在括号中注明根据，在横线上补全步骤．

解：

∵∠EOC＝90°

∠COF＝34°（　　）

∴∠EOF＝　　°

∵OF是∠AOE的角平分线

∴∠AOF＝　　＝56°（　　）

∴∠AOC＝　　°

∵∠AOC+　　＝90°

∠BOD+∠EOB＝90°

∴∠BOD＝∠AOC＝　　°（　　）

7．如图，已知直线AB和CD相交于点O，∠COE＝90°，OF平分∠AOE．

（1）写出∠BOE的余角；

（2）若∠COF的度数为29°，求∠BOE的度数．

8．如图，已知，BC∥OA，∠C＝∠OAB＝100°，试回答下列问题：

（1）如图1，求证：

OC∥AB；

（2）如图2，点E、F在线段BC上，且满足∠EOB＝∠AOB，并且OF平分∠BOC：

①若平行移动AB，当∠BOC＝6∠EOF时，求∠ABO；

②若平行移动AB，

那么的值是否随之发生变化？

若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值．

9．如图，直线PQ∥MN，点C是PQ、MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动点，

（1）若∠1与∠2都是锐角，如图甲，请直接写出∠C与∠1，∠2之间的数量关系；

（2）若把一块三角尺（∠A＝30°，∠C＝90°）按如图乙方式放置，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的度数；

（3）将图乙中的三角尺进行适当转动，如图丙，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连接EG，且有∠CEG＝∠CEM，求

的值．

10．平面内两条直线EF、CD相交于点O，OA⊥OB，OC恰好平分∠AOF．

（1）如图1，若∠AOE＝40°，求∠BOD的度数；

（2）在图1中，若∠AOE＝x°，请求出∠BOD的度数（用含有x的式子表示），并写出∠AOE和∠BOD的数量关系；

（3）如图2，当OA，OB在直线EF的同侧时，∠AOE和∠BOD的数量关系是否会发生改变？

若不变，请直接写出它们之间的数量关系；若发生变化，请说明理由．

参考答案

1．解：

（1）AD∥BC，

理由是：

∵∠ADE+∠BCF＝180°，∠ADE+∠ADF＝180°，

∴∠ADF＝∠BCF，

∴AD∥BC；

（2）AB∥EF，

理由是：

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABC＝2∠ABE，

∵∠ABC＝2∠E，

∴∠ABE＝∠E，

∴AB∥EF；

（3）∵AD∥BC，

∴∠DAB+∠ABC＝180°，

∵BE平分∠ABC，AF平分∠BAD，

∴∠ABE＝

ABC，∠BAF＝

∠BAD，

∴∠ABE+∠BAF＝90°，

∴∠AOB＝180°﹣90°＝90°＝∠EOF，

∴∠E+∠F＝180°﹣∠EOF＝90°．

2．解：

（1）∵AB∥DF，CD∥AM，

∴∠BAM＝∠M，∠CDM＝∠M，

∴∠BAM＝∠CDM；

（2）∵∠AEF+∠MEF＝180°，∠DFE+∠MFE＝180°，

∴∠AEF+∠MEF+∠DFE+∠MFE＝360°，

又∴∠MEF+∠MFE＝180°﹣∠M，

∴∠AEF+∠DFE+180°﹣∠M＝360°，

即∴∠AEF+∠DFE﹣∠M＝180°，

∵∠M＝∠BAE，

∴∠AEF+∠DFE﹣∠BAE＝180°，

（3）∵∠DAQ+∠ADQ+∠AQD＝180°，∠AQD＝112°，

∴∠DAQ+∠ADQ＝180°﹣112°＝68°，

∵∠DAQ＝

∠BAD，∠ADQ＝

∠ADC，

∴∠BAD+∠ADC＝68°×3＝204°，

又∵∠BAD+∠ADC+∠B+∠C＝360°，

∵∠B+∠C＝360°﹣204°＝156°，

∵∠B＝∠DFC，

∴∠CDF＝180°﹣156°＝24°，

∴∠CDF＝∠M＝∠BAE＝24°．

3．证明：

（1）∠D═∠C+∠E（图）∠D═∠C+∠DEC（图2）

过点E作MN∥AC，

∴∠C═∠CEN．

又∵AC∥BD，

∴MN∥BD，

∴∠D═∠DEN

又∵∠DEN═∠DEC+∠CEN，．

∴∠D═∠C+∠DEC

（2）如图所示，AP与CD，CD与BM分别相交于点E、F两点，

∵BM、CM分别平分∠ABD、∠DCP，

∴∠MBD＝∠MBA＝

∠ABD，∠MCP＝∠MCD═

∠PCE．

又∵AB∥CD，

∴∠D+∠DBA＝180°．

又∵AP∥BD，

∴∠AED+∠D＝180°，

∵∠DBA＝∠AED

，

又∵∠AED＝∠PEC

∴∠CEP＝∠DBA

∴∠MBA═

∠CEP．

又∵∠ABF＝∠BFD，∠BFD＝∠CFM，

∴∠ABF＝∠CFM＝

∠ABD＝

∠CEP．

又∵△CEP中，∠P＝100°

∴∠PCE+∠PEC＝180°﹣100°＝80°，

∴

∠CEP+

∠PCE＝

（∠PCE+∠PEC）＝

×80°＝40°，

∴∠MCF+∠MFC＝40°，

∴∠M＝180°﹣（∠MCF+∠MFC）＝180°﹣40°＝140°．

4．

（1）证明：

如图1过点E作EF∥AB，

则有∠BEF＝∠B．

∵AB∥CD，

∴EF∥CD．

∴∠FED＝∠D．

∴∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．

即∠BED＝∠B+∠D；

（2）①解：

如图2所示，猜想：

∠EGF＝90°；

证明：

由材料中的结论得∠EGF＝∠BEG+∠GFD，

∵EG、FG分别平分∠BEF和∠EFD，

∴∠BEF＝2∠BEG，∠EFD＝2∠GFD，

∵BE∥CF，

∴∠BEF+∠EFD＝180°，

∴2∠BEG+2∠GFD＝180°，

∴∠BEG+∠GFD＝90°，

∵∠EGF＝∠BEG+∠GFD，

∴∠EGF＝90°；

②解法一：

证明：

如图3，过点G1作G1H∥AB，

∵AB∥CD，∴G1H∥CD，

由结论可得∠G2＝∠1+∠3，∠EG1F＝∠BEG1+∠G1FD，

∴∠3＝∠G2FD，

∵FG2平分∠EFD，

∴∠4＝∠G2FD，

∵∠1＝∠2，

∴∠G2＝∠2+∠4，

∵∠EG1F＝∠BEG1+∠G1FD，

∴∠EG1F+∠G2＝∠2+∠4+∠BEG1+∠G1FD＝∠BEF+∠EFD，

∵AB∥CD，

∴∠BEF+∠EFD＝180°，

∴∠EG1F+∠G2＝180°．

解法二：

证明：

由结论可得∠G2＝∠1+∠G2FD

∵FG2平分∠EFD，

∴∠EFG2＝∠G2FD，

∵∠EG1F+∠EG1G2＝∠EG1F+∠2+∠EFG2＝180°，

∴∠EG1G2＝∠2+∠EFG2，

∵∠1＝∠2，

∴∠G2＝∠EG1G2，

∴∠EG1F+∠G2＝180°

5．解：

∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）

∴∠ADB＝∠EFB＝90°（垂直的定义），

∴EF∥AD（同位角相等两直线平行），

∴∠1+∠2＝180°（两直线平行同旁内角互补），

又∵∠2+∠3＝180°（已知），

∴∠1＝∠3（同角的补角相等），

∴AB∥DG（内错角相等两直线平行），

∴∠GDC＝∠B（两直线平行同位角相等）．

故答案为：

垂直的定义，同位角相等两直线平行，∠1，两直线平行同旁内角互补，同角的补角相等，DG，内错角相等两直线平行，两直线平行同位角相等．

6．解：

∵∠EOC＝90°，

∠COF＝34°（已知），

∴∠EOF＝56°，

∵OF是∠AOE的角平分线，

∴∠AOF＝∠EOF＝56°（角平分线的定义），

∴∠AOC＝22°，

∵∠AOC+∠EOB＝90°，

∠BOD+∠EOB＝90°，

∴∠BOD＝∠AOC＝22°（同角的余角相等），

故答案为：

已知；56；∠EOF；角平分线的定义；22；∠EOB；同角的余角相等．

7．解：

（1）∵直线AB和CD相交于点O，∠COE＝90°，

∴∠BOD＝∠AOC，∠DOE＝90°，

∴∠BOE+∠BOD＝90°，

∴∠BOE+∠AOC＝90°，

∴∠BOE的余角是∠BOD和∠AOC；

（2）∵∠COF＝29°，∠COE＝90°，

∴∠EOF＝90°﹣29°＝61°，

又OF平分∠AOE，

∴∠AOE＝122°，

∵∠BOE+∠AOE＝180°，

∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝58°．

8．

（1）证明：

∵BC∥OA，

∴∠C+∠COA＝180°，∠BAO+∠ABC＝180°，

∵∠C＝∠BAO＝100°，

∴∠COA＝∠ABC＝80°，

∴∠COA+∠OAB＝180°，

∴OC∥AB；

（2）①如图②中，设∠EOF＝x，则∠BOC＝6x，∠BOF＝3x，∠BOE＝∠AOB＝4x，

∵∠AOB+∠BOC+∠OCB＝180°，

∴4x+6x+100°＝180°，

∴x＝8°，

∴∠ABO＝∠BOC＝6x＝48°．

如图③中，设∠EOF＝x，则∠BOC＝6x，∠BOF＝3x，∠BOE＝∠AOB＝2x，

∵∠AOB+∠BOC+∠OCB＝180°，

∴2x+6x+100°＝180°，

∴x＝10°，

∴∠ABO＝∠BOC＝6x＝60°．

综上所述，满足条件的∠ABO为48°或60°；

②∵BC∥OA，∠C＝100°，

∴∠AOC＝80°，

∵∠EOB＝∠AOB，

∴∠COE＝80°﹣2∠AOB，

∵OC∥AB，

∴∠BOC＝∠ABO，

∴∠AOB＝80°﹣∠ABO，

∴∠COE＝80°﹣2∠AOB＝80°﹣2（80°﹣∠ABO）＝2∠ABO﹣80°，

∴

＝

＝2，

∴平行移动AB，

的值不发生变化．

9．解：

（1）∠C＝∠1+∠2．

理由：

如图，过C作CD∥PQ，

∵PQ∥MN，

∴PQ∥CD∥MN，

∴∠1＝∠ACD，∠2＝∠BCD，

∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝∠1+∠2．

（2）∵∠AEN＝∠A＝30°，

∴∠MEC＝30°，

由

（1）可得，∠C＝∠MEC+∠PDC＝90°，

∴∠PDC＝90°﹣∠MEC＝60°，

∴∠BDF＝∠PDC＝60°；

（3）设∠CEG＝∠CEM＝x，则∠GEN＝180°﹣2x，

由

（1）可得，∠C＝∠CEM+∠CDP，

∴∠CDP＝90°﹣∠CEM＝90°﹣x，

∴∠BDF＝90°﹣x，

∴

＝

＝2．

10．解：

（1）∵∠AOE＝40°，

∴∠AOF＝180°﹣∠AOE＝140°，

∵OC平分∠AOF，

∴

，

∵OA⊥OB，

∴∠AOB＝90°，

∴∠BOD＝180°﹣∠AOB﹣∠AOC＝20°；

（2）∵∠AOE＝x°，

∴∠AOF＝180°﹣∠AOE＝（180﹣x）°，

∵OC平分∠AOF，

∴

，

∵OA⊥OB，

∴∠AOB＝90°，

∴

；

∴∠AOE＝2∠BOD；

（3）不变，∠AOE＝2∠BOD．