第十七章勾股定理教案.docx

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第十七章勾股定理教案

第18章勾股定理

18.1勾股定理

第1课时18.1.1勾股定理

（1）

三维目标

一、知识与技能

让学生通过观察、计算、猜想直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的结论．

二、过程与方法

1．在学生充分观察、归纳、猜想、探索直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想．

2．在探索上述结论的过程中，发展学生归纳、概括和有条理地表达活动的过程和结论．

三、情感态度与价值观

1．培养学生积极参与、合作交流的意识，

2．在探索勾股定理的过程中，体验获得结论的快乐，锻炼克服困难的勇气．

教学重点

探索直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的结论。

从而发现勾股定理．

教学难点

以直角三角形的边为边的正方形面积的计算．

教具准备

学生准备若干张方格纸。

教学过程

一、创设问题情境，引入新课

活动1

问题1：

在我国古代，人们将直角三角形中的短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦．根据我国古算书《周髀算经》记载，在约公元前1100年，人们已经知道，如果勾是三，股是四，那么弦是五，你知道是为什么吗?

问题2：

某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高3米，消防队员取来6.5米长的云梯，如果梯子的底部离墙基的距离是2.5米，请问消防队能否进入三楼灭火?

问题3：

我们再来看章头图，在下角的图案，它有什么童义?

为什么选定它作为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽?

二．实际操作，探索直角三角形的三边关系

活动2

问题1：

毕达哥拉斯是古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家，相传2500年前，一次，毕达哥拉斯去朋友家作客．在宴席上，其他的宾客都在尽情欢乐，高谈阔论，只有毕达哥拉斯却看着朋友家的方砖地而发起呆来．原来，朋友家的地是用一块块直角三角形形状的砖铺成的，黑白相间，非常美观大方．主人看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪，就想过去问他．谁知毕达哥拉斯突然恍然大悟的样子，站起来，大笑着跑回家去了．

同学们，我们也来观察下面图中的地面，看看你能发现什么?

是否也和大哲学家有同样的发现呢?

问题2：

你能发现下图中等腰直角三角形ABC有什么性质吗?

问题3：

等腰直角三角形都有上述性质吗?

观察下图，并回答问题：

（1）观察图1

正方形A中含有________个小方格，即A的面积是________个单位面积；

正方形B中含有________个小方格，即B的面积是________个单位面积；

正方形C中含有________个小方格，即C的面积是________个单位面积．

（2）在图2、图3中，正方形A、B、C中各含有多少个小方格?

它们的面积各是多少?

你是如何得到上述结果的?

与同伴交流．

（3）请将上述结果填入下表，你能发现正方形A，B，C的面积关系吗?

A的面积

（单位面积）

B的面积

（单位面积）

C的面积

（单位面积）

图1

图2

图3

活动3

问题1：

等腰三角形有上述性质，其他的三角形也有这个性质吗?

如下图，每个小方格的面积均为1，请分别计算出下图中正方形A、B、C，A'、B'、C'的面积，看看能得出什么结论．（提示：

以斜边为边长的正方形的面积，等于虚线标出的正方形的面积减去四个直角三角形的面积．）

问题2：

给出一个边长为0.5，1.2，1.3，这种含小数的直角三角形，也满足上述结论吗?

我们通过对A、B、C，A'、B'、C'几个正方形面积关系的分析可知：

一般的以整数为边长的直角三角形两直角边的平方和也等于斜边的平方，

一个边长为小数的直角三角形是否也有此结论?

我们不妨设小方格的边长为0.1，我们不妨在你准备好的方格纸上画出一个两直角边为0,5，1.2的直角三角形来进行验证．

生：

也有上述结论．

这一结论，在国外就叫做“毕达哥拉斯定理”，而在中国则叫做“勾股定理”．而活动1中的问题1提到的“勾三，股四，弦五”正是直角三角形三边关系的重要体现．

勾股定理到底是谁最先发现的呢?

我们可以自豪地说：

是我们中国人最早发现的．证据就是《周髀算经》，不仅如此，我们汉代的赵爽曾用2002年在北京召开的国际数学家大会的徽标的图案证明了此结论，也正因为为了纪念这一伟大的发现而采用了此图案作徽标．下节课我们将要做更深入的研究．

大哲学家毕达哥拉斯发现这一结论后，就已认识到，他的这个发现太重要了．所以，按照当时的传统，他高兴地杀了整整一百头牛来庆贺．

三、例题剖析

活动4

问题：

（1）如下图，一根旗杆在离地面9m处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前有多高?

（2）求斜边长17cm，一条直角边长15cm的直角三角形的面积．

解：

（1）解：

由勾股定理可求得旗杆断裂处到杆顶的长度是：

＝15（m）；15＋9＝24（m），

所以旗杆折断之前高为24m．

（2）解：

另一直角边的长为＝8（cm），所以此直角三角形的面积为×8×15＝60（cm2）．

师：

你能用直角三角形的三边关系解答活动1中的问题2．请同学们在小组内讨论完成．

四、课时小结

1．掌握勾股定理及其应用；

2．会构造直角三角形，利用勾股定理解简单应用题．

五.布置作业

六．板书设计

18．1．1勾股定理

（1）

第2课时勾股定理

（2）

三维目标

一、知识与技能

1．掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法．

2．运用勾股定理解决一些实际问题．

二、过程与方法

1．经历用拼图的方法验证勾股定理，培养学生的创新能力和解决实际问题的能力．

2．在拼图的过程中，鼓励学生大胆联想，培养学生数形结合的意识．

三、情感态度与价值观

1．利用拼图的方法验证勾股定理，是我国古代数学家的一大贡献，借助此过程对学生进行爱国主义的教育．

2．经历拼图的过程，并从中获得学习数学的快乐，提高学习数学的兴趣．

教学重点

经历用不同的拼图方法验证勾股定理的过程，体验解决同一问题方法的多样性，进一步体会勾股定理的文化价值．

教学难点

经历用不同的拼图方法证明勾股定理．

教具准备

每个学生准备一张硬纸板．

教学过程

一、创设问题情境，引入新课

活动1

问题：

我们曾学习过整式的运算，其中平方差公式（a＋b（a－b）＝a2－b2，完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab＋b2是非常重要的内容．谁还能记得当时这两个公式是如何推出的？

生：

这两个公式都可以用多项式乘以多项式的乘法法则推导．如下：

（a＋b）（a－b）＝a2－ab＋ab－b2＝a2－b2，

所以（a＋b）（a－b）＝a2－b2；

（a＋b）2＝（a＋b）（a＋b）＝a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2；

（a－b）2＝（a－b）（a－b）＝a2－ab－ab＋b2＝a2－2ab＋b2；

所以（a±b）2＝a2±2ab＋b2；

生：

还可以用拼图的方法说明上面的公式成立．

例如：

图

（1）中，阴影部分的面积为a2－b2，用剪刀将

（1）中的长和宽分别为（a－b）和b的长方形剪下来拼接成图

（2）的形式便可得图

（2）中阴影部分的面积为（a＋b）（a－b）．而这两部分面积是相等的，因此（a＋b）（a－b）＝a2－b2成立．

生：

（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2也可以用拼图的方法，通过计算面积证明，如图（3）

我们用两个边长分别a和b的正方形，两个长和宽分别a和b的长方形拼成一个边长为（a＋b）的正方形，因此这个正方形的面积为（a＋b）2，也可以表示为a2＋2ab＋b2，所以可得（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2．

师：

你能用类似的方法证明上一节猜想出的命题吗?

二、探索研究

活动2

我们已用数格子的方法发现了直角三角形三边关系，拼一拼，完成下列问题：

（1）在一张纸上画4个与图（4）全等的直角三角形，并把它们剪下来．

（2）用这4个直角三角形拼一拼，摆一摆，看能否得到一个含有以斜边c为边长的正方形，你能利用拼图的方法，面积之间的关系说明上节课关于直角三角形三边关系的猜想吗?

（3）有人利用图（4）这4个直角三角形拼出了图（5），你能用两种方法表示大正方形的面积吗?

大正方形的面积可以表示为：

_______________，又可以表示为________________．

对比两种衷示方法，你得到直角三角形的三边关系了吗?

生：

我也拼出了图（5），而且图（5）用两种方法表示大正方形的面积分别为（a＋b）2或4×ab＋c2．由此可得（a＋b）2＝4×ab＋c2．

化简得a2＋b2＝c2．

由于图（4）的直角三角形是任意的，因此a2＋b2＝c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

师：

这样就通过推理证实了命题1的正确性，我们把经过证明被确定为正确的命题叫做定理．命题1与直角三角形的边有关，我国把它称为勾股定理．

活动3

图（6）这个图案和3世纪我国汉代的赵爽在注解（周髀算经）时给出的图案一模一样，人们称它为“赵爽弦图”，赵爽利用弦图证明命题1（即勾股定理）的基本思路如下，如图（7）．

把边长为a，b的两个正方形连在一起，它的面积为a2＋b2，另一方面这个图形由四个全等的直角三角形和一个正方形组成．把田（7）中左、右两个三角形移到图（9）所示的位置，就会形成一个c为边长的正方形．

因为图（7）与图（9）都是由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，所以它们的面积相等．

因此a2＋b2＝c2

上面的证法是我国有资料记载的对勾股定理的最早证法．“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智．它是我国古代数学的骄傲．正因如此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽．

师：

在所有的几何定理中，勾股定理的证明方法也许是最多的．在西方，一般认为这个定理是由毕达哥拉斯发现的，所以人们称这个定理为毕达哥拉斯定理．

1940年，国外有人收集了勾股定理的365种证法，编了一本书．其实，勾股定理的证法不止这些，作者之所以选用了365种，也许他是幽默地想让人注意，勾股定理的证明简直到了每天一种的地步．

生：

老师，我在查资料时，还发现勾股定理的证明还和美国的一个总统有关系，是这样吗?

师：

是的．1876年4月1日，美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德，颇有兴趣地在《新英格兰教育日志）上发表了他提出的一个勾股定理的证明．据他说，这是一种思维体操，并且还调皮地声称，他的这个证明是得到两党议员“一致赞同的”．由于1881年加菲尔德当上了美国第二十届总统，这样，他曾提出的那个证明也就成了数学史上的一段佳话．

生：

能给我们介绍一下这位总统的证明方法吗?

师：

可以，如下图所示．这就是这位总统用两个全等的直角三角形拼出的图形，和第一个同学用全等的四个直角三角形拼出来的图形对比一下，有联系．

生：

总统拼出的图形恰好是第一个同学拼出的大正方形的一半．

师：

同学们不妨自己从上图中推导出勾股定理．

生：

上面的图形整体上拼成一个直角梯形．所以它的面积有两种表示方法．既可以表示为（a＋b）·（a＋b），又可以表示为ab×2＋c2。

对此两种表示方法可得（a＋b）·（a＋b）＝ab×2＋c2。

化简，可得a2＋b2＝c2．

活动4：

议一议：

观察上图，用数格子的方法判断图中两个三角形的三边关系是否满足a2＋b2＝c2．

师：

上图中的△ABC和△A'B'C'是什么三角形?

生：

△ABC，△A'B'C'在小方格纸上，不难看出△ABC中，∠BCA＞90°；△A'B'C'中，∠A'B'C'，∠B'C'A'，∠B'A'C'都是锐角，所以△ABC是钝角三角形，△A'B'C'是锐角三角形．

（1）a2＋b2＝9＋7＝16个单位面积，c2＝29个单位面积，所以在钝角三角形ABC中a2＋b2≠c2．（为a2＋b2＜c2）　　　

（2）以a为边长的正方形含5个小格子，所以a2＝5个单位面积；以b为边长的正方形含有8个小格子，所以b2＝8个单位面积；以c为边长的正方形含9个小格子，所以c2＝9个单位面积．由此我们可以算出a2＋b2＝5＋8＝13个单位面积．在锐角三角形A'B'C'中，a2＋b2≠c2．（为a2＋b2＞c2）

三．课时小结

活动5

你对本节内容有哪些认识?

会构造直角三角形，并理解构造原理，深刻理解勾股定理的意义．

四．布置作业

五．板书设计

18．1勾股定理

（二）

1．用拼图法验证勾股定理

（1）

由上图得（a＋b）2＝ab×4＋c2

即a2＋b2＝c2；

（2）

由上图可得c2＝ab×4＋（b－a）2

即a2＋b2＝c2

2．介绍“赵爽弦图”

第3课时　勾股定理（3）

三维目标

一、知识与技能

能将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能用勾股定理解决简单的实际问题．

二、过程与方法

1.经历将实际问题转化为直角三角形的数学模型过程，并能用勾股定理来解决此问题，发展学生的应用意识．

2．在解决实际问题的过程中，体验解决问题的策略，发展学生的实践能力和创新精神．

3．在解决实际问题的过程中，学会与人合作，并能与他人交流思维过程和结果，形成反思的意识．

三、情感态度与价值观

1．在用勾股定理探索实际问题的过程中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．

2.在解决实际问题的过程中形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯．

教学重点

将实际问题转化为直角三角形模型．

教学难点

如何用解直角三角形的知识和勾股定理解决实际问题．

教具准备

教学过程

一、创设情境，引入新课

活动1

问题：

欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需多长的梯子?

解：

根据题意，（如下图）AC是建筑物，则AC＝12m，BC＝5m，AB是梯子的长度．所以在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2＝122＋52＝132；AB＝13m．

所以至少需13m长的梯子，

　分析：

由勾股定理可知，已知两直角边的长a，b，就可以求出斜边c的长．由勾股定理可得a2＝c2－b2或b2＝c2－a2，由此可知已知斜边与一条直角边的长，就可以求出另一条直角边，也就是说，在直角三角形中，已知两边就可求出第三边的长．

二、讲授新课

活动2

问题：

一个门框的尺寸如右图所示，一块长3m，宽2.2m的薄木板能否从门框内通过?

为什么?

分析：

从题意可以看到，木板横着进，竖着进，都不能从门框内通过，只能试试斜着能否通过．在长方形ABCD中，对角线AC是斜着能通过的最大长度，求出AC，再与木板的宽比较，就能知道木板是否通过．

解：

在Rt△ABC中，根据勾股定理

AC2＝AB2＋BC2＝12＋22＝5．

因此AC＝≈2.236．

因为AC＞木板的宽，所以木板可以从门框内通过．

活动3

问题：

如下图，一个3m长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5m，如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m吗?

分析：

梯子底端B随着梯子顶端A沿墙下滑而外移到D，即BD的长度就是梯子外移的距离．

观察图形，可以看到BD＝OD－OB，求BD可以先求出OB，OD．

解：

根据勾股定理，在Rt△OAB中，AB＝3m，OA＝2.5m，所以OB2＝AB2－OA2＝32－2.52＝2.75．

OB≈1.658m（精确到0.001m）

在Rt△OCD中，OC＝OA－AC＝2m，CD＝AB＝3m，所以OD2＝CD2－OC2＝32－22＝5．

OD≈2.336m（精确到O.001m）

BD＝OD－OB＝2.236－1.658≈0.58m（精确到0.01m）所以梯子顶端沿墙下滑0.5m，梯子底端外移0.58m．

活动4

问题：

“执竿进屋”：

笨人持竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭．有个邻居聪明者，教他斜竿对两角．笨伯依言试一试，不多不少刚抵足．借问竿长多少数，谁人算出我佩服．

—一当代数学教育家清华大学教授

许莼舫著作《古算题味》

　解：

设竿长为x尺，门框的宽度为（x－4）尺，高度为（x－2）尺，根据题意和勾股定理，得

x2＝（x－4）2＋（x－2）2．

化简，得x2－12x＋20＝0，

（x－l0）（x－2）＝0，

xl＝10，x2＝2（不合题意，舍去）．

所以竿长为10尺．

三、巩固提高

活动5

练习：

1、有一个边长为50dm的正方形洞口，想用一个圆盖盖住这个洞口，圆的直径至少多长（结果保留整数）．

2．如下图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点．测得CB＝60m，AC＝20m，你能求出A、B两点间的距离吗?

1、解：

设圆的直径为xdm，根据勾股定理，得

502＋502＝x2，

解得x≈71．

所以圆的直径改为71dm．

2．解：

如右图，在Rt△ABC中，AC＝20m，BC＝60m，根据勾股定理，得

AB2＝BC2－AC2＝602－202＝3200，

AB＝40

所以A，B两点间的距离为40m．

四、课时小结

问题：

谈谈你这节课的收获有哪些?

会用勾股定理解决简单应用题；学会构造直角三角形．

五．布置作业

六．板书设计

第4课时　勾股定理（4）

三维目标

一、知识与技能

1．利用勾股定理，能在数轴上找到表示无理数的点．

2．进一步学习将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能用勾股定理解决简单的实际问题．

二、过程与方法

1．经历在数轴上寻找表示无理数的总的过程，发展学生灵活勾股定理解决问题的能力．

2．在用勾殷定理解决实际问题的过程中，体验解决问题的策略，发展学生的动手操作能力和创新精神．

3．在解决实际问题的过程中，学会与人合作，并能与他人交流思维过程和结果，形成反思的意识．

三、情感态度与价值观

1．在用勾股定理寻找数轴上表示无理数点的过程中，体验勾股定理的重要作用，并从中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心，

2．在解决实际问题的过程中，形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯．

教学重点

在数轴上寻找表示，……这样的表示无理数的点．

教学难点

利用勾股定理寻找直角三角形中长度为无理数的线段．

教具准备

教学过程

一、创设问题情境，引入新课

活动1

[例1]飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4800米处，过了10秒后，飞机距离这个男接头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米?

[例2]如图所示，某人在B处通过平面镜看见在B正上方5米处的A物体，巳知物体A到平面镜的距离为6米，问B点到物体A的像A'的距离是多少?

[例3]在平静的湖面上，有一棵水草，它高出水面3分米，一阵风吹来；水草被吹到一边，草尖齐至水面，已知水草移动的水平距离为6分米，问这里的水深是多少?

师生共析：

例1：

分析：

根据题意，可以画出右图，A点表示男孩头顶的位置，C、B点是两个时刻飞机的位置，∠C是直角，可以用勾股定理来解决这个问题．

解：

根据题意，得Rt△ABC中，∠C＝90°，

AB＝5000米，AC＝4800米，由勾股定理，得

AB2＝AC2－BC2．即50002＝BC2＋48002，

所以BC＝1400米．

飞机飞行1400米用了10秒，那么它l小时飞行的距离为1400×6×60＝50400米＝504千米，即飞机飞行的速度为504千米／时．

例2：

分析：

此题要用到勾股定理，轴对称及物理上的光的反射知识．

解：

如例2图，由题意知△ABA'是直角三角形，由轴对称及平面镜成像可知；

AA'＝2×6＝12米，AB＝5米；

在Rt△A'AB中，A'B2＝AA'2＋AB2＝122＋52＝169＝132米

所以A'B＝13米，即B点到物体A的像A'的距离为13米．

例3：

分析：

在此问题中，要注意水草的长度与水深的关系，还要注意水草站立时和吹到一边，它的长度是不变的．

解：

根据题意，得到上图，其中D是无风时水草的最高点，BC为湖面，AB是一阵风吹过水草的位置，CD＝3分米，CB＝6分米，AD＝AB，BC⊥AD．

所以在Rt△ACB中，AB2＝AC2＋BC2，即（AC＋3）2＝AC2十62，AC2＋6AC＋9＝AC2＋36，6AC＝27，AC＝4.5．所以这里的水深为4.5分米．

二、讲授新课

活动2

问题：

我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上表示

的点吗?

的点呢?

教师可指导学生寻找象，，……这样的包含在直角三角形中的线段．

生：

长为的线段是直角边都为1的直角三角形的斜边．

师：

长为的线段能否是直角边为正整数的直角三角形的斜边呢?

生：

长为的线段是直角边为2，3的直角三角形的斜边．

师：

下面就请同学们在数轴上面出表示的点．

生：

步骤如下：

1．在数轴上找到点A，使OA＝3；

2．作直线l垂直于OA，在l上取一点B，使AB＝2；

3．以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交于点C，则点C即为表示的点．

活动3

练习：

在数轴上作出表示的点．

生：

是两直角边为4和1的直角三角形的斜边，如图：

三、巩固提高

活动4

问题：

（1）根据勾股定理，还可以作出长为无理数线段，你能做出哪些长为无理数的线段呢?

（2）欣赏下图，你会得到什么启示?

生：

用上述方程找到了长度为、、、……的线段，因此在数轴上便可以表示出来．教学时可以先画出、，……之后，再画，画法不唯一，如下图：

四、课时小结

活动5

问题：

你对本节内容有哪些认识?

会利用勾股定理得到一些无理数并理解数轴上的点与实数一一对应．

五．布置作业：

习题18.15、6、10、12、13题。

六．板书设计

==================================================================

18．1勾股定理（4）

1．在数轴上画出表示的点，分以下四步完成：

（1）将在数轴上画出表示的点的问题转化为画出长为的线段的问题．

（2）由长为的线段是直角边都为1的直角三角形的斜边，联想到长为的线段能否是直角边为正整数的直角三角形的斜边．

（3）通过尝试发现，长为的线段是直角边为2，3的直角三角形的斜边．

（4）画出长为的线段，从而在数轴上画出表示的点．

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18．2勾股定理的逆定理

课时安排：

3课时

第5课时　　勾股定理的逆定理

（1）

三维目标

一、知识与技能

1．掌握直角三角形的判别条件．

2．熟记一些勾股数．

3．掌握勾股定理的逆定理的探究方法．

二、过程与方法

1．用三边的数量关系来判断一个三角形是否为直角三角形，培养学生数形结合的思想．

2．通过对Rt△判别条件的研究，培养学生大胆猜想，勇于探索的创新精神．

三、情感态度与价值观

1．通过介绍有关历史资料，激发学生解决问题的愿望．

2．通过对勾股定理逆定理的探究；培养学生学习数学的兴趣和创新精神．

教学重点

探究勾股定理的逆定理，理解互逆命题，原命题、逆命题的有关概念及关系．

教学难点

归纳、猜想出命题2的结论．

教具准备

教学过程

一、创设问题情境，引入新课

活动1

（1）总结直角三角形有哪些性质．

（2）一个