认识无理数 公开课教案.docx

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认识无理数公开课教案

第二章实数

2.1认识无理数

第一环节：

质疑

内容：

【想一想】

⑴一个整数的平方一定是整数吗？

⑵一个分数的平方一定是分数吗？

目的：

作必要的知识回顾，为第二环节埋下伏笔，便于后续问题的说理．

效果：

为后续环节的进行起了很好的铺垫的作用

第二环节：

课题引入

内容：

1．【算一算】

已知一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，算一算斜边长

的平方，并提出问题：

是整数（或分数）吗？

2．【剪剪拼拼】

把边长为1的两个小正方形通过剪、拼，设法拼成一个大正方形，你会吗？

目的：

选取客观存在的“无理数“实例，让学生深刻感受“数不够用了”．

效果：

巧设问题背景，顺利引入本节课题．

第三环节：

获取新知

内容：

【议一议】→【释一释】→【忆一忆】→【找一找】

【议一议】：

已知

，请问：

①

可能是整数吗？

②

可能是分数吗？

【释一释】：

释1．满足

的

为什么不是整数？

释2．满足

的

为什么不是分数？

【忆一忆】：

让学生回顾“有理数”概念，既然

不是整数也不是分数，那么

一定不是有理数，这表明：

有理数不够用了，为“新数”（无理数）的学习奠定了基础

【找一找】：

在下列正方形网格中，先找出长度为有理数的线段，再找出长度不是有理数的线段

目的：

创设从感性到理性的认知过程，让学生充分感受“新数”（无理数）的存在，从而激发学习新知的兴趣

效果：

学生感受到无理数产生的过程，确定存在一种数与以往学过的数不同，产生了学习新数的必要性．

第四环节：

应用与巩固

内容：

【画一画1】→【画一画2】→【仿一仿】→【赛一赛】

【画一画1】：

在右1的正方形网格中，画出两条线段：

1．长度是有理数的线段2．长度不是有理数的线段

【画一画2】：

在右2的正方形网格中画出四个三角形（右1）

2．三边长都是有理数2．只有两边长是有理数

3．只有一边长是有理数4．三边长都不是有理数

【仿一仿】：

例：

在数轴上表示满足

的

解：

（右2）

仿：

在数轴上表示满足

的

【赛一赛】：

右3是由五个单位正方形组成的纸片，请你把

它剪成三块，然后拼成一个正方形，你会吗？

试试看！

（右3）

目的：

进一步感受“新数”的存在，而且能把“新数”表示在数轴上

效果：

加深了对“新知”的理解，巩固了本课所学知识．

第五环节：

课堂小结

内容：

1．通过本课学习，感受有理数又不够用了，请问你有什么收获与体会？

2．客观世界中，的确存在不是有理数的数，你能列举几个吗？

3．除了本课所认识的非有理数的数以外，你还能找到吗？

目的：

引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，使知识系统化．

效果：

学生总结、相互补充，学会进行概括总结．

第六环节：

布置作业

习题2.1

教学设计反思

（一）生活是数学的源泉，兴趣是学习的动力

大量事实都证明一点，与生活贴得越近的东西最容易引起学习者的浓厚兴趣，才能激发学习者的学习积极性，学习才可能是主动的．本节课中教师首先用拼图游戏引发学生学习的欲望，把课程内容通过学生的生活经验呈现出来，然后进行大胆置疑，生活中的数并不都是有理数，那它们究竟是什么数呢？

从而引发了学生的好奇心，为获取新知，创设了积极的氛围．在教学中，不要盲目的抢时间，让学生能够充分的思考与操作．

（二）化抽象为具体

常言道：

“数学是锻炼思维的体操”，数学教师应通过一系列数学活动开启学生的思维，因此对新数的学习不能仅仅停留于感性认识，还应要求学生充分理解，并能用恰当数学语言进行解释．正是基于这个原因，在教学过程中，刻意安排了一些环节，加深对新数的理解，充分感受新数的客观存在，让学生觉得新数并不抽象．

（三）强化知识间联系，注意纠错

既然称之为“新数”，那它当然不是有理数，亦即不是整数，也不是分数，所以“新数”不可以用分数来表示，这为进一步学习“新数”，即第二课时教学埋下了伏笔，在教学中，要着重强调这一点：

“新数”不能表示成分数，为无理数的教学奠好基．4．4　一次函数的应用

第1课时　确定一次函数的表达式

1．会确定正比例函数的表达式；（重点）

2．会确定一次函数的表达式．（重点）

一、情境导入

某农场租用播种机播种小麦，在甲播种机播种2天后，又调来乙播种机参与播种，直至完成800亩的播种任务，播种亩数与天数之间的函数关系如图．你能通过图象提供的信息求出y与x之间的关系式吗？

你知道乙播种机参与播种的天数是多少呢？

学习了本节的内容，你就知道了．

二、合作探究

探究点一：

确定正比例函数的表达式

求正比例函数y＝（m－4）m2－15的表达式．

解析：

本题是利用正比例函数的定义来确定表达式的，即自变量的指数为1，系数不为0，这种类型简称为定义式．

解：

由正比例函数的定义知m2－15＝1且m－4≠0，∴m＝－4，∴y＝－8x.

方法总结：

利用正比例函数的定义确定表达式：

自变量的指数为1，系数不为0.

探究点二：

确定一次函数的表达式

【类型一】根据给定的点确定一次函数的表达式

已知一次函数的图象经过（0，5）、（2，－5）两点，求一次函数的表达式．

解析：

先设一次函数的表达式为y＝kx＋b，因为它的图象经过（0，5）、（2，－5）两点，所以当x＝0时，y＝5；当x＝2时，y＝－5.由此可以得到两个关于k、b的方程，通过解方程即可求出待定系数k和b的值，再代回原设即可．

解：

设一次函数的表达式为y＝kx＋b，根据题意得，

∴

解得

∴一次函数的表达式为y＝－5x＋5.

方法总结：

“两点式”是求一次函数表达式的基本题型．二次函数y＝kx＋b中有两个待定系数k、b，因而需要知道两个点的坐标才能确定函数的关系式．

【类型二】根据图象确定一次函数的表达式

正比例函数与一次函数的图象如图所示，它们的交点为A（4，3），B为一次函数的图象与y轴的交点，且OA＝2OB.求正比例函数与一次函数的表达式．

解析：

根据A（4，3）可以求出正比例函数表达式，利用勾股定理可以求出OA的长，从而可以求出点B的坐标，根据A、B两点的坐标可以求出一次函数的表达式．

解：

设正比例函数的表达式为y1＝k1x，一次函数的表达式为y2＝k2x＋b.∵点A（4，3）是它们的交点，∴代入上述表达式中，得3＝4k1，3＝4k2＋b.∴k1＝

，即正比例函数的表达式为y＝

x.∵OA＝

＝5，且OA＝2OB，∴OB＝

.∵点B在y轴的负半轴上，∴B点的坐标为（0，－

）．又∵点B在一次函数y2＝k2x＋b的图象上，∴－

＝b，代入3＝4k2＋b中，得k2＝

.∴一次函数的表达式为y2＝

x－

.

方法总结：

根据图象确定一次函数的表达式的方法：

从图象上选取两个已知点的坐标，然后运用待定系数法将两点的横、纵坐标代入所设表达式中求出待定系数，从而求出函数的表达式．

【类型三】根据实际问题确定一次函数的表达式

某商店售货时，在进价的基础上加一定利润，其数量x与售价y的关系如下表所示，请你根据表中所提供的信息，列出售价y（元）与数量x（千克）的函数关系式，并求出当数量是2.5千克时的售价.

数量x/千克

售价y/元

1

8＋0.4

2

16＋0.8

3

24＋1.2

4

32＋1.6

5

40＋2.0

　　…

　　…

解析：

从图表中可以看出售价由8＋0.4依次向下扩大到2倍、3倍、……

解：

由表中信息，得y＝（8＋0.4）x＝8.4x，即售价y与数量x的函数关系式为y＝8.4x.当x＝2.5时，y＝8.4×2.5＝21.所以数量是2.5千克时的售价是21元．

方法总结：

解此类题要根据所给的条件建立数学模型，得出变化关系，并求出函数的表达式，根据函数的表达式作答．

三、板书设计

确定一次函数表达式

经历对正比例函数及一次函数表达式的探求过程，掌握用待定系数法求一次函数的表达式，进一步使用数形结合的思想方法；经历从不同信息中获取一次函数表达式的过程，体会到解决问题的多样性，拓展学生的思维．

2．2　平方根

第1课时　算术平方根

1．了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根；（重点）

2．根据算术平方根的概念求出非负数的算术平方根；（重点）

3．了解算术平方根的性质．（难点）

一、情境导入

上一节课我们做过：

由两个边长为1的小正方形，通过剪一剪，拼一拼，得到一个边长为a的大正方形，那么有a2＝2，a＝________，2是有理数，而a是无理数．在前面我们学过若x2＝a，则a叫做x的平方，反过来x叫做a的什么呢？

二、合作探究

探究点一：

算术平方根的概念

【类型一】求一个数的算术平方根

求下列各数的算术平方根：

（1）64；

（2）2

；（3）0.36；（4）

.

解析：

根据算术平方根的定义求非负数的算术平方根，只要找到一个非负数的平方等于这个非负数即可．

解：

（1）∵82＝64，∴64的算术平方根是8；

（2）∵（

）2＝

＝2

，∴2

的算术平方根是

；

（3）∵0.62＝0.36，∴0.36的算术平方根是0.6；

（4）∵

＝

，又92＝81，∴

＝9，而32＝9，∴

的算术平方根是3.

方法总结：

（1）求一个数的算术平方根时，首先要弄清是求哪个数的算术平方根，分清求

与81的算术平方根的不同意义，不要被表面现象迷惑．

（2）求一个非负数的算术平方根常借助平方运算，因此熟记常用平方数对求一个数的算术平方根十分有用．

【类型二】利用算术平方根的定义求值

3＋a的算术平方根是5，求a的值．

解析：

先根据算术平方根的定义，求出3＋a的值，再求a.

解：

因为52＝25，所以25的算术平方根是5，即3＋a＝25，所以a＝22.

方法总结：

已知一个数的算术平方根，可以根据平方运算来解题．

探究点二：

算术平方根的性质

【类型一】含算术平方根式子的运算

计算：

＋

－

.

解析：

首先根据算术平方根的定义进行开方运算，再进行加减运算．

解：

＋

－

＝7＋5－15＝－3.

方法总结：

解题时容易出现如

＝

＋

的错误．

【类型二】算术平方根的非负性

已知x，y为有理数，且

＋3（y－2）2＝0，求x－y的值．

解析：

算术平方根和完全平方式都具有非负性，即

≥0，a2≥0，由几个非负数相加和为0，可得每一个非负数都为0，由此可求出x和y的值，进而求得答案．

解：

由题意可得x－1＝0，y－2＝0，所以x＝1，y＝2.所以x－y＝1－2＝－1.

方法总结：

算术平方根、绝对值和完全平方式都具有非负性，即

≥0，|a|≥0，a2≥0，当几个非负数的和为0时，各数均为0.

三、板书设计

算术平方根

让学生正确、深刻地理解算术平方根的概念，需要由浅入深、不断深化．概念的形成过程也是思维过程，加强概念形成过程的教学，对提高学生的思维水平是很有帮助的．概念教学过程中要做到：

讲清概念，加强训练，逐步深化．

4．4　一次函数的应用

第1课时　确定一次函数的表达式

1．会确定正比例函数的表达式；（重点）

2．会确定一次函数的表达式．（重点）

一、情境导入

某农场租用播种机播种小麦，在甲播种机播种2天后，又调来乙播种机参与播种，直至完成800亩的播种任务，播种亩数与天数之间的函数关系如图．你能通过图象提供的信息求出y与x之间的关系式吗？

你知道乙播种机参与播种的天数是多少呢？

学习了本节的内容，你就知道了．

二、合作探究

探究点一：

确定正比例函数的表达式

求正比例函数y＝（m－4）m2－15的表达式．

解析：

本题是利用正比例函数的定义来确定表达式的，即自变量的指数为1，系数不为0，这种类型简称为定义式．

解：

由正比例函数的定义知m2－15＝1且m－4≠0，∴m＝－4，∴y＝－8x.

方法总结：

利用正比例函数的定义确定表达式：

自变量的指数为1，系数不为0.

探究点二：

确定一次函数的表达式

【类型一】根据给定的点确定一次函数的表达式

已知一次函数的图象经过（0，5）、（2，－5）两点，求一次函数的表达式．

解析：

先设一次函数的表达式为y＝kx＋b，因为它的图象经过（0，5）、（2，－5）两点，所以当x＝0时，y＝5；当x＝2时，y＝－5.由此可以得到两个关于k、b的方程，通过解方程即可求出待定系数k和b的值，再代回原设即可．

解：

设一次函数的表达式为y＝kx＋b，根据题意得，

∴

解得

∴一次函数的表达式为y＝－5x＋5.

方法总结：

“两点式”是求一次函数表达式的基本题型．二次函数y＝kx＋b中有两个待定系数k、b，因而需要知道两个点的坐标才能确定函数的关系式．

【类型二】根据图象确定一次函数的表达式

正比例函数与一次函数的图象如图所示，它们的交点为A（4，3），B为一次函数的图象与y轴的交点，且OA＝2OB.求正比例函数与一次函数的表达式．

解析：

根据A（4，3）可以求出正比例函数表达式，利用勾股定理可以求出OA的长，从而可以求出点B的坐标，根据A、B两点的坐标可以求出一次函数的表达式．

解：

设正比例函数的表达式为y1＝k1x，一次函数的表达式为y2＝k2x＋b.∵点A（4，3）是它们的交点，∴代入上述表达式中，得3＝4k1，3＝4k2＋b.∴k1＝

，即正比例函数的表达式为y＝

x.∵OA＝

＝5，且OA＝2OB，∴OB＝

.∵点B在y轴的负半轴上，∴B点的坐标为（0，－

）．又∵点B在一次函数y2＝k2x＋b的图象上，∴－

＝b，代入3＝4k2＋b中，得k2＝

.∴一次函数的表达式为y2＝

x－

.

方法总结：

根据图象确定一次函数的表达式的方法：

从图象上选取两个已知点的坐标，然后运用待定系数法将两点的横、纵坐标代入所设表达式中求出待定系数，从而求出函数的表达式．

【类型三】根据实际问题确定一次函数的表达式

某商店售货时，在进价的基础上加一定利润，其数量x与售价y的关系如下表所示，请你根据表中所提供的信息，列出售价y（元）与数量x（千克）的函数关系式，并求出当数量是2.5千克时的售价.

数量x/千克

售价y/元

1

8＋0.4

2

16＋0.8

3

24＋1.2

4

32＋1.6

5

40＋2.0

　　…

　　…

解析：

从图表中可以看出售价由8＋0.4依次向下扩大到2倍、3倍、……

解：

由表中信息，得y＝（8＋0.4）x＝8.4x，即售价y与数量x的函数关系式为y＝8.4x.当x＝2.5时，y＝8.4×2.5＝21.所以数量是2.5千克时的售价是21元．

方法总结：

解此类题要根据所给的条件建立数学模型，得出变化关系，并求出函数的表达式，根据函数的表达式作答．

三、板书设计

确定一次函数表达式

经历对正比例函数及一次函数表达式的探求过程，掌握用待定系数法求一次函数的表达式，进一步使用数形结合的思想方法；经历从不同信息中获取一次函数表达式的过程，体会到解决问题的多样性，拓展学生的思维．