利用三角函数线画出x满足条件的终边范围（如图阴影部分所示），
∴x∈（k∈Z）．
答案：
（k∈Z）
[通法在握]
定义法求三角函数的3种情况
（1）已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值．先求P到原点的距离，再用三角函数的定义求解．
（2）已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．
（3）已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．
[演练冲关]
1．
如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cosα的值为（ ）
A．B．－
C．D．－
解析：
选D 因为点A的纵坐标yA＝，且点A在第二象限，又因为圆O为单位圆，所以A点横坐标xA＝－，由三角函数的定义可得cosα＝－．
2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝（ ）
A．－B．－
C．D．
解析：
选B 设P（t,2t）（t≠0）为角θ终边上任意一点，则cosθ＝．
当t>0时，cosθ＝；当t<0时，cosθ＝－．
因此cos2θ＝2cos2θ－1＝－1＝－．
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．已知点P（tanα，cosα）在第三象限，则角α的终边在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
解析：
选B 因为点P在第三象限，所以所以α的终边在第二象限，故选B．
2．设角α终边上一点P（－4a,3a）（a<0），则sinα的值为（ ）
A． B．－
C． D．－
解析：
选B 设点P与原点间的距离为r，
∵P（－4a,3a），a<0，
∴r＝＝|5a|＝－5a．
∴sinα＝＝－．
3．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α（0<α<π）的弧度数为（ ）
A．B．
C．D．2
解析：
选C 设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为r，所以r＝αr，
所以α＝．
4．在直角坐标系中，O是原点，A（，1），将点A绕O逆时针旋转90°到B点，则B点坐标为__________．
解析：
依题意知OA＝OB＝2，∠AOx＝30°，∠BOx＝120°，
设点B坐标为（x，y），所以x＝2cos120°＝－1，y＝2sin120°＝，即B（－1，）．
答案：
（－1，）
5．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P（4，y）是角θ终边上一点，且sinθ＝－，则y＝________．
解析：
因为sinθ＝＝－，
所以y＜0，且y2＝64，所以y＝－8．
答案：
－8
二保高考，全练题型做到高考达标
1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是（ ）
A．B．
C．－D．－
解析：
选C 将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．故A、B不正确，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的，即为－×2π＝－．
2．（2016·福州一模）设α是第二象限角，P（x,4）为其终边上的一点，且cosα＝x，则tanα＝（ ）
A．B．
C．－D．－
解析：
选D 因为α是第二象限角，所以cosα＝x＜0，
即x＜0．又cosα＝x＝．
解得x＝－3，所以tanα＝＝－．
3．已知角α终边上一点P的坐标是（2sin2，－2cos2），则sinα等于（ ）
A．sin2B．－sin2
C．cos2D．－cos2
解析：
选D 因为r＝＝2，由任意三角函数的定义，得sinα＝＝－cos2．
4．设θ是第三象限角，且＝－cos，则是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
解析：
选B 由θ是第三象限角，知为第二或第四象限角，∵＝－cos，∴cos<0，综上知为第二象限角．
5．集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（ ）
解析：
选C 当k＝2n（n∈Z）时，2nπ＋≤α≤2nπ＋，此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样；当k＝2n＋1（n∈Z）时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋，此时α表示的范围与π＋≤α≤π＋表示的范围一样．
6．与2017°的终边相同，且在0°～360°内的角是________．
解析：
∵2017°＝217°＋5×360°，
∴在0°～360°内终边与2017°的终边相同的角是217°．
答案：
217°
7．已知α是第二象限的角，则180°－α是第________象限的角．
解析：
由α是第二象限的角可得90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°（k∈Z），则180°－（180°＋k·360°）＜180°－α＜180°－（90°＋k·360°）（k∈Z），即－k·360°＜180°－α＜90°－k·360°（k∈Z），所以180°－α是第一象限的角．
答案：
一
8．一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的，面积等于圆面积的，则扇形的弧长与圆周长之比为________．
解析：
设圆的半径为r，则扇形的半径为，记扇形的圆心角为α，
则＝，
∴α＝．
∴扇形的弧长与圆周长之比为＝＝．
答案：
9．在（0,2π）内，使sinx>cosx成立的x的取值范围为____________________．
解析：
如图所示，找出在（0,2π）内，使sinx＝cosx的x值，sin＝cos＝，sin＝cos＝－．根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角x∈．
答案：
10．已知扇形AOB的周长为8．
（1）若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；
（2）求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB．
解：
设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α，
（1）由题意可得
解得或
∴α＝＝或α＝＝6．
（2）法一：
∵2r＋l＝8，
∴S扇＝lr＝l·2r≤2＝×2＝4，
当且仅当2r＝l，即α＝＝2时，扇形面积取得最大值4．
∴圆心角α＝2，弦长AB＝2sin1×2＝4sin1．
法二：
∵2r＋l＝8，
∴S扇＝lr＝r（8－2r）＝r（4－r）＝－（r－2）2＋4≤4，
当且仅当r＝2，即α＝＝2时，扇形面积取得最大值4．
∴弦长AB＝2sin1×2＝4sin1．
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是（ ）
A．sinα＋cosα＜0B．tanα－sinα＜0
C．cosα－tanα＜0D．tanαsinα＜0
解析：
选B ∵α是第三象限角，∴sinα＜0，cosα＜0，tanα＞0，则可排除A、C、D．
2．已知角α＝2kπ－（k∈Z），若角θ与角α的终边相同，则y＝＋＋的值为（ ）
A．1 B．－1
C．3 D．－3
解析：
选B 由α＝2kπ－（k∈Z）及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sinθ＜0，cosθ＞0，tanθ＜0．
所以y＝－1＋1－1＝－1．
3．已知sinα＜0，tanα＞0．
（1）求α角的集合；
（2）求终边所在的象限；
（3）试判断tansincos的符号．
解：
（1）由sinα＜0，知α在第三、四象限或y轴的负半轴上；
由tanα＞0,知α在第一、三象限，故α角在第三象限，
其集合为．
（2）由2kπ＋π＜α＜2kπ＋，k∈Z，
得kπ＋＜＜kπ＋，k∈Z，
故终边在第二、四象限．
（3）当在第二象限时，tan＜0，
sin＞0,cos＜0，
所以tansincos取正号；
当在第四象限时，tan＜0，
sin＜0,cos＞0，
所以tansincos也取正号．
因此，tansincos取正号．
第二节
同角三角函数的基本关系与诱导公式_
1．同角三角函数的基本关系式
（1）平方关系：
sin2α＋cos2α＝1；
（2）商数关系：
tanα＝．
2．诱导公式
组序
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋
α（k∈Z）
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sinα
－sinα
－sinα
sinα
cosα
cos_α
余弦
cosα
－cosα
cosα
－cos_α
sinα
－sinα
组序
一
二
三
四
五
六
正切
tanα
tanα
－tanα
－tan_α
口诀
函数名不变
符号看象限
函数名改变
符号看象限
记忆
规律
奇变偶不变，符号看象限
[小题体验]
1．已知sin＝，α∈，则sin（π＋α）＝______．
答案：
－
2．若sinθcosθ＝，则tanθ＋的值为________．
答案：
2
1．利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：
去负—脱周—化锐．
特别注意函数名称和符号的确定．
2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．
3．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．
[小题纠偏]
1．已知α是第二象限角，sinα＝，则cosα＝________．
答案：
－
2．
（1）sin＝________，
（2）tan＝________．
答案：
（1）
（2）
[题组练透]
1．化简sin（－1071°）sin99°＋sin（－171°）sin（－261°）的结果为（ ）
A．1 B．－1
C．0D．2
解析：
选C 原式＝（－sin1071°）·sin99°＋sin171°·sin261°
＝－sin（3×360°－9°）sin（90°＋9°）＋sin（180°－9°）·sin（270°－9°）＝sin9°cos9°－sin9°cos9°＝0．
2．已知A＝＋（k∈Z），则A的值构成的集合是（ ）
A．{1，－1,2，－2} B．{－1,1}
C．{2，－2}D．{1，－1,0,2，－2}
解析：
选C 当k为偶数时，A＝＋＝2；
k为奇数时，A＝－＝－2．
3．已知tan＝，则tan＝________．
解析：
tan＝tan
＝tan
＝－tan＝－．
答案：
－
4．（易错题）设f（α）＝，则f＝________．
解析：
∵f（α）＝
＝＝
＝，
∴f＝＝＝＝．
答案：
[谨记通法]
1．利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤
也就是：
“负化正，大化小，化到锐角就好了．”
2．利用诱导公式化简三角函数的要求
（1）化简过程是恒等变形；
（2）结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值，如“题组练透”第4题．
[典例引领]
1．已知＝5，则sin2α－sinαcosα的值为（ ）
A．－ B．－
C．D．
解析：
选D 依题意得：
＝5，
∴tanα＝2．
∴sin2α－sinαcosα
＝
＝＝＝．
2．若α是三角形的内角，且tanα＝－，则sinα＋cosα的值为________．
解析：
由tanα＝－，得sinα＝－cosα，
将其代入sin2α＋cos2α＝1，
得cos2α＝1，∴cos2α＝，易知cosα<0，
∴cosα＝－，sinα＝，
故sinα＋cosα＝－．
答案：
－
[由题悟法]
同角三角函数基本关系式的应用技巧
技巧
解读
适合题型
切弦
互化
主要利用公式tanθ＝化成正弦、余弦，或者利用公式＝tanθ化成正切
表达式中含有sinθ，cosθ与tanθ
“1”的
变换
1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ（1＋tan2θ）＝tan＝（sinθ±cosθ）2∓2sinθcosθ
表达式中需要利用“1”转化
和积
转换
利用（sinθ±cosθ）2＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化
表达式中含有sinθ±cosθ或sinθcosθ
[即时应用]
1．若sinα＝－，且α为第四象限角，则tanα的值等于（ ）
A．B．－
C．D．－
解析：
选D 法一：
因为α为第四象限的角，故cosα＝＝＝，
所以tanα＝＝＝－．
法二：
因为α是第四象限角，且sinα＝－，所以可在α的终边上取一点P（12，－5），则tanα＝＝－．故选D．
2．已知sinθ＋cosθ＝，θ∈，则sinθ－cosθ的值为（ ）
A．B．－
C．D．－
解析：
选B 因为（sinθ＋cosθ）2＝sin2θ＋cos2θ＋2sinθ·cosθ＝1＋2sinθcosθ＝，所以2sinθcosθ＝，则（sinθ－cosθ）2＝sin2θ＋cos2θ－2sinθ·cosθ＝1－2sinθcosθ＝．
又因为θ∈，所以sinθ所以sinθ－cosθ＝－．
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．若α∈，sinα＝－，则cos（－α）＝（ ）
A．－ B．
C．D．－
解析：
选B 因为α∈，sinα＝－，所以cosα＝，即cos（－α）＝．
2．已知sin（π＋θ）＝－cos（2π－θ），|θ|＜，则θ等于（ ）
A．－B．－
C．D．
解析：
选D ∵sin（π＋θ）＝－cos（2π－θ），
∴－sinθ＝－cosθ，∴tanθ＝．∵|θ|＜，∴θ＝．
3．（2017·赣中南五校联考）已知倾斜角为α的直线l与直线x＋2y－3＝0垂直，则cos的值为（ ）
A．B．－
C．2D．－
解析：
选A 由题意可得tanα＝2，
所以cos＝sin2α＝＝＝．故选A．
4．已知α∈，sinα＝，则tanα＝________．
解析：
∵α∈，∴cosα＝－＝－，
∴tanα＝＝－．
答案：
－
5．如果sin（π＋A）＝，那么cos的值是________．
解析：
∵sin（π＋A）＝，∴－sinA＝．
∴cos＝－sinA＝．
答案：
二保高考，全练题型做到高考达标
1．已知tan（α－π）＝，且α∈，则sin＝（ ）
A．B．－
C．D．－
解析：
选B 因为tan（α－π）＝，所以tanα＝．
又因为α∈，所以α为第三象限的角，
sin＝cosα＝－．
2．已知sin＝，则cos＝（ ）
A．B．－
C．D．－
解析：
选D ∵cos＝sin
＝sin＝－sin＝－．
3．已知f（x）＝asin（πx＋α）＋bcos（πx＋β）＋4，若f（2016）＝5，则f（2017）的值是（ ）
A．2B．3
C．4D．5
解析：
选B ∵f（2016）＝5，
∴asin（2016π＋α）＋bcos（2016π＋β）＋4＝5，
即asinα＋bcosβ＝1．
∴f（2017）＝asin（2017π＋α）＋bcos（2017π＋β）＋4＝－asinα－bcosβ＋4＝－1＋4＝3．
4．（2017·广州模拟）当θ为第二象限角，且sin＝时，的值是（ ）
A．1B．－1
C．±1D．0
解析：
选B ∵s
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