版高考数学新增分大一轮复习第五章三角函数解三角形专题突破三高考中的三角函数与解三角形问题讲义含解.docx

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版高考数学新增分大一轮复习第五章三角函数解三角形专题突破三高考中的三角函数与解三角形问题讲义含解

高考专题突破三　高考中的三角函数与解三角形问题

题型一　三角函数的图象和性质

例1已知函数f（x）＝5sinxcosx－5cos2x＋（其中x∈R），求：

（1）函数f（x）的最小正周期；

（2）函数f（x）的单调区间；

（3）函数f（x）图象的对称轴和对称中心．

解　

（1）因为f（x）＝sin2x－（1＋cos2x）＋

＝5＝5sin，

所以函数的最小正周期T＝＝π.

（2）由2kπ－≤2x－≤2kπ＋（k∈Z），

得kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z），

所以函数f（x）的单调递增区间为

（k∈Z）．

由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋（k∈Z），

得kπ＋≤x≤kπ＋（k∈Z），

所以函数f（x）的单调递减区间为

（k∈Z）．

（3）由2x－＝kπ＋（k∈Z），

得x＝＋（k∈Z），

所以函数f（x）的对称轴方程为x＝＋（k∈Z）．

由2x－＝kπ（k∈Z），得x＝＋（k∈Z），

所以函数f（x）的对称中心为（k∈Z）．

思维升华三角函数的图象与性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为y＝Asin（ωx＋φ）＋k的形式，然后将t＝ωx＋φ视为一个整体，结合y＝sint的图象求解．

跟踪训练1（2018·“七彩阳光联盟”期初联考）已知f（x）＝2cos2x＋sin2x－＋1（x∈R），求：

（1）f（x）的单调递增区间；

（2）当x∈时，求f（x）的值域．

解　由题意得f（x）＝sin2x＋（2cos2x－1）＋1＝sin2x＋cos2x＋1＝2sin＋1.

（1）由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋（k∈Z），

得2kπ－≤2x≤2kπ＋（k∈Z），

∴kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z），

∴函数f（x）的单调递增区间为，k∈Z.

（2）∵x∈，∴2x＋∈，

∴sin∈，∴f（x）∈[0,3]．

故f（x）的值域为[0,3]．

题型二　解三角形

例2△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA＋cosA＝0，a＝2，b＝2.

（1）求角A和边长c；

（2）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．

解　

（1）∵sinA＋cosA＝0，

∴tanA＝－，

又0

由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccosA，

即28＝4＋c2－2×2c×，

即c2＋2c－24＝0，

解得c＝－6（舍去）或c＝4，故c＝4.

（2）∵c2＝a2＋b2－2abcosC，

∴16＝28＋4－2×2×2×cosC，

∴cosC＝，

∴CD＝＝＝，

∴CD＝BC，

∴S△ABC＝AB·AC·sin∠BAC

＝×4×2×＝2，

∴S△ABD＝S△ABC＝.

思维升华根据三角形中的已知条件，选择正弦定理或余弦定理求解；在解决有关角的范围问题时，要注意挖掘题目中隐含的条件，对结果进行正确的取舍．

跟踪训练2（2018·浙江省第二次联盟校联考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bsinB＝asinA＋（c－a）sinC.

（1）求B；

（2）若3sinC＝2sinA，且△ABC的面积为6，求b.

解　

（1）由bsinB＝asinA＋（c－a）sinC及正弦定理，得b2＝a2＋（c－a）c，即a2＋c2－b2＝ac.

由余弦定理，得cosB＝＝＝，

因为B∈（0，π），所以B＝.

（2）由

（1）得B＝，

所以△ABC的面积为acsinB＝ac＝6，得ac＝24.

由3sinC＝2sinA及正弦定理，得3c＝2a，

所以a＝6，c＝4.

由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝36＋16－24＝28.

所以b＝2.

题型三　三角函数和解三角形的综合应用

例3已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且tanB（tanC－1）＝＋tanC.

（1）求角A的大小；

（2）若a＝，a≤b，求b－c的取值范围．

解　

（1）由tanB（tanC－1）＝＋tanC

得tanB＋tanC＝（tanBtanC－1），

∴tan（B＋C）＝＝－，tanA＝，

∵0

（2）由正弦定理得＝＝＝＝2，

得b＝2sinB，c＝2sinC，

b－c＝2sinB－sinC

＝2sinB－sin＝sinB－cosB

＝sin.

∵a≤b，∴≤B<，≤B－<，

∴b－c＝sin∈.

思维升华三角函数和解三角形的综合问题要利用正弦定理、余弦定理进行转化，结合三角函数的性质，要注意角的范围对变形过程的影响．

跟踪训练3（2018·嘉兴市教学测试）已知函数f（x）＝cos＋（sinx＋cosx）2.

（1）求函数f（x）的最大值和最小正周期；

（2）设△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若a＝2，c＝，f＝，求b的值．

解　

（1）f（x）＝cos2x－sin2x＋（1＋sin2x）

＝sin＋，

所以f（x）的最大值为1＋，最小正周期T＝π.

（2）因为f＝sin＋

＝cos＋＝，

所以cos＝0，

又C∈（0，π），所以C＝.

由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC

可得b2－2b－3＝0，

因为b>0，所以b＝3.

1．在△ABC中，∠A＝60°，c＝a.

（1）求sinC的值；

（2）若a＝7，求△ABC的面积．

解　

（1）在△ABC中，因为∠A＝60°，c＝a，

所以由正弦定理得

sinC＝＝×＝.

（2）因为a＝7，所以c＝×7＝3.

由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得

72＝b2＋32－2b×3×，

解得b＝8或b＝－5（舍去）．

所以△ABC的面积S＝bcsinA＝×8×3×＝6.

2．（2018·温州适应性测试）已知函数f（x）＝4cosx·cos＋1.

（1）求f的值；

（2）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．

解　

（1）f＝4coscos＋1

＝4coscos＋1

＝4××＋1＝－2.

（2）f（x）＝4cosxcos＋1

＝4cosx＋1

＝－2cos2x－sin2x＋1

＝－sin2x－cos2x

＝－2sin.

所以f（x）的最小正周期为π，

当＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ（k∈Z），

即＋kπ≤x≤＋kπ，（k∈Z）时，f（x）单调递增，

即f（x）的单调递增区间为（k∈Z）．

3．（2018·浙江省金华市名校第二次统练）已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，S为△ABC的面积，且2S＝c2.

（1）证明：

＋＝；

（2）若＝，求tanB.

（1）证明　根据三角形的面积公式及2S＝c2得，

absinC＝c2，

∴根据正弦定理得，sinAsinB＝sinC.

又在△ABC中，A＋B＋C＝π，

∴sin（A＋B）＝sin（π－C）＝sinC，

∴sinAsinB＝sinC＝sin（A＋B）＝sinAcosB＋cosAsinB，

两边同时除以sinAsinB，得＋＝1.①

根据正弦定理＝＝，

得sinA＝，sinB＝，代入①化简得，

＋＝.

（2）解　由＝，得c2－a2＝bc－b2，根据余弦定理得，cosA＝＝，

又A∈（0，π），∴sinA＝，

又由

（1）知sinAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，

∴sinB＝cosB＋sinB，

故tanB＝.

4．（2018·浙江省六校协作体期末联考）已知f（x）＝cosx·sin＋1.

（1）求f（x）在[0，π]上的单调递增区间；

（2）在△ABC中，若角A，B，C的对边分别是a，b，c，且f（B）＝，sinAsinC＝sin2B，求a－c的值．

解　f（x）＝cosxsin＋1

＝cosx＋1

＝sin2x－×＋1

＝sin2x－cos2x＋

＝sin＋.

（1）由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，

得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，

又x∈[0，π]，

∴f（x）在[0，π]上的单调递增区间是和.

（2）由f（B）＝sin＋＝，

得sin＝1.

又B是△ABC的内角，∴2B－＝，B＝，

由sinAsinC＝sin2B及正弦定理可得ac＝b2.

在△ABC中，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，

得ac＝（a－c）2＋2ac－ac，则a－c＝0.

5.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acosC＋asinC－b－c＝0.

（1）求A；

（2）若AD为BC边上的中线，cosB＝，AD＝，求△ABC的面积．

解　

（1）acosC＋asinC－b－c＝0，

由正弦定理得sinAcosC＋sinAsinC＝sinB＋sinC，

即sinAcosC＋sinAsinC＝sin（A＋C）＋sinC，

亦即sinAcosC＋sinAsinC

＝sinAcosC＋cosAsinC＋sinC，

则sinAsinC－cosAsinC＝sinC.

又sinC≠0，所以sinA－cosA＝1，所以sin（A－30°）＝.

在△ABC中，0°

所以A－30°＝30°，得A＝60°.

（2）在△ABC中，因为cosB＝，所以sinB＝.

所以sinC＝sin（A＋B）＝×＋×＝.

由正弦定理，得＝＝.

设a＝7x，c＝5x（x>0），

则在△ABD中，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcosB，

即＝25x2＋×49x2－2×5x××7x×，

解得x＝1（负值舍去），所以a＝7，c＝5，

故S△ABC＝acsinB＝10.

6．已知函数f（x）＝cos2ωx＋sin2ωx＋t（ω>0），若f（x）的图象上相邻两条对称轴的距离为，图象过点（0,0）．

（1）求f（x）的表达式和f（x）的单调增区间；

（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象，若函数F（x）＝g（x）＋k在区间上有且只有一个零点，求实数k的取值范围．

解　

（1）f（x）＝cos2ωx＋sin2ωx＋t

＝2sin＋t，

f（x）的最小正周期为＝，∴ω＝2，

∵f（x）的图象过点（0,0），

∴2sin＋t＝0，

∴t＝－1，即f（x）＝2sin－1.

令2kπ－≤4x＋≤2kπ＋，k∈Z，

求得－≤x≤＋，k∈Z，

故f（x）的单调增区间为，k∈Z.

（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，可得

y＝2sin－1＝2sin－1的图象，

再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g（x）＝2sin－1的图象．

∵x∈，∴2x－∈，

∴sin∈，

故g（x）＝2sin－1在区间上的值域为.

若函数F（x）＝g（x）＋k在区间上有且只有一个零点，

由题意可知，函数g（x）＝2sin－1的图象和直线y＝－k有且只有一个交点，

根据图象（图略）可知，k＝－1或1－

故实数k的取值范围是{－1}∪（1－，＋1]．