%ProgramQ4_1
%FrequencyresponseofthecausalM-pointaveragerofEq.（2.13）
clear;
%Userspecifiesfilterlength
M=input（'EnterthefilterlengthM:
'）;
%ComputethefrequencysamplesoftheDTFT
w=0:
2*pi/1023:
2*pi;
num=（1/M）*ones（1,M）;
den=[1];
%ComputeandplottheDTFT
h=freqz（num,den,w）;
subplot（2,1,1）
plot（w/pi,abs（h））;grid
title（'MagnitudeSpectrum|H（e^{j\omega}）|'）
xlabel（'\omega/\pi'）;
ylabel（'Amplitude'）;
subplot（2,1,2）
plot（w/pi,angle（h））;grid
title（'PhaseSpectrumarg[H（e^{j\omega}）]'）
xlabel（'\omega/\pi'）;
ylabel（'Phaseinradians'）;
所得结果如图示：
M=2
M=7
幅度和相位谱表现出对称性的类型是由于–冲激响应是实数，因此频率响应是周期且对称的，幅度谱是周期甚至对称的，相位响应是周期奇对称。
采用移动平均滤波表示过滤器的类型–低通滤波器
Q2.1的结果可以解释为–它是一个低通滤波器，输入是一个两个正弦分量的总和，一个高频和低频。
结果依赖于过滤器的长度，但总的结果是更高频率的正弦输入分量衰减超过较低的频率正弦输入分量。
Q4.2因果LTI离散时间系统的频率响应曲线得到使用修改后的程序如下:
通过此传递函数表示的过滤器类型–带通滤波器
Q4.3对问题的因果LTI离散时间系统的频率响应图q4.3得到使用修改后的程序如下
通过此传递函数表示的过滤器类型-带通滤波器
4.2和4.3滤波器的不同在于–幅度谱两个是一样的，但是第二个相位谱不是连续的，原因是它们的极点不是一样的，4.36的极点在单位圆内，所以是稳定的，4.37的极点在单位圆外，所以不稳定。
我会选择4.36滤波器的原因是–因为4.37没有4.36稳定
Q4.4过滤器的群延迟的问题q4.4指定和使用功能如下所示:
从图像可以观察到:
这是一个窄阻带的带阻滤波器，在大多数的带通滤波器中，群延迟是恒定的。
Q4.54.2和4.3两个滤波器的前100个样本冲击响应的图像如图示：
可以得到观察:
4.36给出的滤波器是稳定的，即h[n]是可求和的，并且冲激响应呈指数型衰减，而4.37给出的是不稳定的，所以h[n]随n呈指数型增长。
Q4.6使用zplane生成式4.36和4.37确定的两个滤波器的零极点图:
从图像可以观察到:
上图的极点都在单位圆内，所以是因果稳定的，下图的极点在单位圆外，不是因果稳定。
4.2传输函数的类型
Project4.2滤波器
P4_1的代码如下：
%ProgramP4_1
%ImpulseResponseofTruncatedIdealLowpassFilter
clf;
fc=0.25;
n=[-6.5:
1:
6.5];
y=2*fc*sinc（2*fc*n）;k=n+6.5;
stem（k,y）;title（'N=13'）;axis（[013-0.20.6]）;
xlabel（'Timeindexn'）;ylabel（'Amplitude'）;grid;
回答:
Q4.7接近于理想低通滤波器的冲击响应的图像：
FIR低通滤波器的长度是-14
P4_1决定低通滤波器长度的语句是–n=[-6.5:
1:
6.5];
控制截止频率的参数是-fc=0.25;
Q4.8修改程序P4.1，计算并画出式（4.39）所示长度为20，截止频率为wc=0.45的有限冲击响应低通滤波器的冲击响应:
%ProgramQ4_8
%ImpulseResponseofTruncatedIdealLowpassFilter
clf;
9
fc=0.45;
n=[-9.5:
1:
9.5];
y=2*fc*sinc（2*fc*n）;k=n+9.5;
stem（k,y）;title（'N=20'）;axis（[019-0.20.7]）;
xlabel（'Timeindexn'）;ylabel（'Amplitude'）;grid;
得到的结果是:
Q4.9必要的修改程序p4_1计算并画出长度与15和0.65的截止频率的FIR低通滤波器的脉冲响应:
%ProgramQ4_9
%ImpulseResponseofTruncatedIdealLowpassFilter
clf;
fc=0.65;
n=[-7.0:
1:
7.0];
y=2*fc*sinc（2*fc*n）;k=n+7.0;
stem（k,y）;title（'N=14'）;axis（[014-0.41.4]）;
xlabel（'Timeindexn'）;ylabel（'Amplitude'）;grid;
得到的图像是：
Q4.10MATLAB计算程序和绘图的FIR低通滤波器的的幅度响应如下：
%ProgramQ4_10
%Computeandplottheamplituderesponse
%ofTruncatedIdealLowpassFilter
clear;
%Get"N"fromtheusercommandline
N=input（'EnterthefiltertimeshiftN:
'）;
%computethemagnitudespectrum
No2=N/2;
fc=0.25;
n=[-No2:
1:
No2];
y=2*fc*sinc（2*fc*n）;
w=0:
pi/511:
pi;
h=freqz（y,[1],w）;
plot（w/pi,abs（h））;
grid;
title（strcat（'|H（e^{j\omega}）|,N=',num2str（N）））;
xlabel（'\omega/\pi'）;
ylabel（'Amplitude'）;
低通滤波器的幅度相应（若干个n值）:
从图像可以得到观察–随着滤波器长度的增加，从通过到不通过变得更加陡峭，我们也可以看到吉布斯现象：
当滤波器增加时，幅度相应更加趋向一个理想的低通特征。
然而随着w增长，峰值是增加而不是降低。
P4_2的代码:
%ProgramP4_2
%GainResponseofaMovingAverageLowpassFilter
clf;
M=2;
num=ones（1,M）/M;
[g,w]=gain（num,1）;
plot（w/pi,g）;grid
axis（[01-500.5]）
xlabel（'\omega/\pi'）;ylabel（'GainindB'）;
title（['M=',num2str（M）]）
回答:
Q4.11长度为2的滑动平均滤波器的增益相应的图像：
从图中可以看出，3-dB截止频率是-pi/2
Q4.12必要的修改程序p4_2计算并画出一个级联的K长度为2的滑动平均滤波器的增益响应如下：
%ProgramQ4_12
%GainResponseofacascadeconnectionofK
%two-pointMovingAverageLowpassFilters
clear;
K=input（'EnterthenumberofsectionsK:
'）;
Hz=[1];
%findthenumeratorforH（z）=cascadeofKsections
fori=1:
K;
Hz=conv（Hz,[11]）;
end;
Hz=（0.5）^K*Hz;
%ConvertnumeratortodB
[g,w]=gain（Hz,1）;
%makeahorizontallineontheplotat-3dB
ThreedB=-3*ones（1,length（g））;
%makeaverticallineontheplotatthe
%theoretical3dBfrequency
t1=2*acos（（0.5）^（1/（2*K）））*ones（1,512）/pi;
t2=-50:
50.5/511:
0.5;
plot（w/pi,g,w/pi,ThreedB,t1,t2）;grid;
axis（[01-500.5]）
xlabel（'\omega/\pi'）;ylabel（'GainindB'）;
title（['K=',num2str（K）,';Theoretical\omega_{c}=',num2str（t1
（1））]）;
使用修改后的程序级联部分的增益响应曲线得到如下所示：
从图中可以看出，级联的3-dB截止频率是-0.30015pi
Q4.13必要的修改程序p4_2计算高通滤波器的增益响应（4.42）如下:
%ProgramQ4_13
%GainResponseofHighpassFilter（4.42）
clear;
M=input（'EnterthefilterlengthM:
'）;
n=0:
M-1;
num=（-1）.^n.*ones（1,M）/M;
[g,w]=gain（num,1）;
plot（w/pi,g）;grid;
axis（[01-500.5]）;
xlabel（'\omega/\pi'）;ylabel（'GainindB'）;
title（['M=',num2str（M）]）;
通过修改程序，增益响应M=5的曲线为：
我们可以得到3-dB的截止频率在–大约在0.8196pi
Q4.14从式子.（4.16）3-dB截止频率ωc在0.45我们可以得到α=0.078702
取代α在式子（4.15）和（4.17）我们得到的一阶IIR低通和高通滤波器的传递函数，分别给出了
HLP（z）=
HHP（z）=
我们得到的增益响应如图示:
从这些图中我们看到，所设计的滤波器满足规格。
幅度响应HLP（Z）＋HHP（Z）获得使用MATLAB如下：
这两个滤波器是–全通滤波器
HLP（z）和HHP（z）一个图的平方幅度响应的总和如图示：
这两个滤波器是-功率互补
Q4.15从式（4.24），我们得到K=10,B=1.8660660
在式子（4.23）替代B和c=0.3我们可以得到=-0.3107925
使用这种公式值（4.22）我们到达10IIR低通滤波器级联的传递函数
Substitutingωc=0.3inEq.（4.16）weobtainα=0.3249197
UsingthisvalueofαinEq.（4.15）wearriveatthetransferfunctionofafirst-orderIIRlowpassfilter
增益响应
and
如图示:
我们可以得到观察是-第一阶IIR低通部分串联实现比单一的第一阶滤波器设计的相同的3dB截止频率更清晰的过渡带。
Q4.16在式子（4.19）取代o=0.61我们可以得到
-0.3387
在式子（4.20）中
=0.15我们可以得到
解得=1.6319和=0.6128..
替代值和值在式子（4.18）我们得到的的IIR带通的传递函数的传递函数
HBP,1（z）=
取代值和第二个值在式子（4.18）我们得到的的IIR带通的传递函数的传递函数
HBP,2（z）=
使用zplane我们可以发现极点位置HBP,1（z）和HBP,2（z）我们可以得到稳定的传输函数HBP（z）-
稳定的传递函数的增益响应的HBP（Z）的图像如图所示：
使用等值的和在式子.（4.21）接下来我们获得一个稳定的IIR带阻滤波器的传递函数
HBS（z）=
传递函数的增益响应HBs（Z）的图像如下所示：
从这些图中我们看到，所设计的滤波器不满足规格
幅度相应之和HBP（z）+HBS（z）的图像如图示:
我们从图可以得到两个滤波器是–全通
平方幅度相应之和HBP（z）andHBS（z）的图像如图示
我们可以得到这两个滤波器是-功率互补
Q4.17一个来自原型FIR低通滤波器的梳状滤波器的传递函数方程（4.38）是由
G（z）=H0（zL）=0.5+0.5z-L
为下列值L以上的梳状滤波器的幅度响应图如下所示：
从这些图中我们看到，梳状滤波器有缺口k=（2k+1）pi/L=和k=2kpi/L,其中k=0,1,...,L-1.
Q4.18一个来自原型FIR高通滤波器的梳状滤波器的传递函数式（4.41）M＝2由下式给出
G（z）=H1（zL）=0.5+0.5z-L
为下列值L以上的梳状滤波器的幅度响应图如下所示—
我们可以得到梳状滤波器有L个缺口k=2kpi/L
并且L的峰值在k=（2k+1）pi/L.
Q4.19P4_3的代码是
%ProgramP4_3
%ZeroLocationsofLinearPhaseFIRFilters
clf;
b=[1-8.530.5-63];
num1=[b81fliplr（b）];
num2=[b8181fliplr（b）];
num3=[b0-fliplr（b）];
num4=[b81-81-fliplr（b）];
n1=0:
length（num1）-1;
n2=0:
length（num2）-1;
subplot（2,2,1）;stem（n1,num1）;
xlabel（'Timeindexn'）;ylabel（'Amplitude'）;grid;
title（'Type1FIRFilter'）;
subplot（2,2,2）;stem（n2,num2）;
xlabel（'Timeindexn'）;ylabel（'Amplitude'）;grid;
title（'Type2FIRFilter'）;
subplot（2,2,3）;stem（n1,num3）;
xlabel（'Timeindexn'）;ylabel（'Amplitude'）;grid;
title（'Type3FIRFilter'）;
subplot（2,2,4）;stem（n2,num4）;
xlabel（'Timeindexn'）;ylabel（'Amplitude'）;grid;
title（'Type4FIRFilter'）;
pause
subplot（2,2,1）;zplane（num1,1）;
title（'Type1FIRFilter'）;
subplot（2,2,2）;zplane（num2,1）;
title（'Type2FIRFilter'）;
subplot（2,2,3）;zplane（num3,1）;
title（'Type3FIRFilter'）;
subplot（2,2,4）;zplane（num4,1）;
title（'Type4FIRFilter'）;
disp（'ZerosofType1FIRFilterare'）;
disp（roots（num1））;
disp（'ZerosofType2FIRFilterare'）;
disp（roots（num2））;
disp（'ZerosofType3FIRFilterare'）;
disp（roots（num3））;
disp（'ZerosofType4FIRFilterare'）;
disp（roots（num4））;
通过运行程序的p4_3如下产生四的FIR滤波器的脉冲响应图：
我们可以从中得到观察:
滤波器#1长度9并且对称冲击响应并且类型1是线性相位滤波器。
滤波器#2长度10并且对称冲击响应并且类型2是线性相位FIR滤波器.
滤波器#3长度9并且不对称冲击响应并且类型3线性相位FIR滤波器.
滤波器#4长度10并且不对称冲击响应并且类型4线性相位FIR滤波器
从P4_3的滤波器的零点可以看出:
滤波器#1有零点z=2.9744,2.0888,0.9790+1.4110i,0.9790-1.4110i,0.3319+0.4784i,0.3319-0.4784i,0.4787,0.3362
滤波器#2有零点z=3.7585+1.5147i,3.7585-1.5147i,0.6733+2.6623i,0.6733-2.6623i,-1.0000,0.0893+0.3530i,0.0893-0.3530i,0.2289+0.0922i,0.2289-0.0922i
滤波器#3有零点z=4.7627,1.6279+3.0565i,1.6279-3.0565i,-1.0000,1.0000,0.1357+0.2549i,0.1357-0.2549i,0.2100
滤波器#4有零点z=3.4139,1.6541+1.5813i,1.6541-1.5813i,-0.0733+0.9973i,-0.0733-0.9973i,1.0000,0.3159+0.3020i,0.3159-0.3020i,0.2929
对每个这些滤波器的相位响应曲线，利用MATLAB如下所示：
我们可以得到每个滤波器都有线性相位
滤波器#1群延迟是-4
滤波器#2群延迟是–4.5
滤波器#3群延迟是-4
滤波器#4群延迟是–4.5
Q4.20通过运行程序的p4_3如下产生四的FIR滤波器的脉冲响应图：
从图像可以得到观察
滤波器#1是长度9并且对称冲击响应的类型1线性相位滤波器
滤波器#2是长度10并且对称冲击响应的类型2线性相位滤波器
滤波器#3是长度9并且不对称冲击响应的类型3线性相位滤波器
滤波器#4是长度10并且不对称冲击响应的类型4线性相位滤波器
通过观察P4_3滤波器的零点得到:
滤波器#1有零点z=
2.3273+2.0140i
2.3273-2.0140i
-1.2659+2.0135i
-1.2659-2.0135i
-0.2238+0.3559i
-0.2238-0.3559i
0.2457+0.2126i
0.2457-0.2126i
滤波器#2的零点z=
2.5270+2.0392i
2.5270-2.0392i
-1.0101+2.1930i
-1.0101-2.1930i
-1.0000
-0.1733+0.3762i
-0.1733-0.3762i
0.2397+0.1934i
0.2397-0.1934i
滤波器#3的零点z=
-1.0000
0.2602+1.2263i
0.2602-1.2263i
1.0000
0.6576+0.7534i
0.6576-0.7534i
0.1655+0.7803i
0.1655-0.7803i
滤波器#4的零点z=
2.0841+2.0565i
2.0841-2.0565i
-1.5032+1.9960i
-1.5032-1.9960i
1.0000
-0.2408+0.3197i
-0.2408-0.3197i
0.2431+0.2399i
0.2431-0.2399i
对每个这些滤波器的相位响应曲线，利用MATLAB如下所示：
从这些图像可以得出结论这些滤波器是线性相位
滤波器1的群延迟是-4
滤波器2的群延迟是–4.5
滤波器3的群延迟是-4
滤波器4的群延迟是–4.5
Answers:
Q4.21H1（z）的幅度响应如图示:
有图想知道幅度响应的最大值=0.5049pi并且value=0.3289
使用zplaneH1（z）的极点是在单位圆的外面因此是不稳定的
Q4.22幅度相应G1（z）的图像是:
我们可以得到幅度响应的最大值=1.7854
G1（z）的极点在单位圆的里面因此传输函数是稳定的
因为G1（z）幅度相应的最大值=1.7854,我们分割G1（z）1/1.7854得到一个有界实函数
G2（z）=
4.3稳定性测试
P4_4的代码：
%ProgramP4_4
%StabilityTest
clf;
den=input（'Denominatorcoefficients='）;
ki=poly2rc（den）;
disp（'Stabilitytestparametersare'）;
disp（ki）;
回答:
Q4.23H1（z）和H2（z）的零极点图:
升级会员 