北师大版高中数学必修一第四章测试题doc.docx
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北师大版高中数学必修一第四章测试题doc
第四章测试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分．考试时间120分钟．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．方程lgx＋x＝0的根所在区间是（ ）
A．（－∞，0） B．（0,1）
C．（1,2）D．（2,4）
2．函数f（x）的图像如图所示，则函数f（x）的零点个数为（ ）
A．1B．2
C．3D．4
3．若函数f（x）＝x2－2x－a没有零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．a>－1B．a<－1
C．a≥－1D．a≤－1
4．已知一次函数f（x）＝ax＋b的一个零点为1，则f（x）＝bx2＋ax的零点为（ ）
A．0B．1
C．0,1D．0，－1
5．夏季高山温度从山脚起每升高100米，降低0.7摄氏度，已知山顶的温度是14.1摄氏度，山脚的温度是26摄氏度，则山的相对高度为（ ）
A．1750米B．1730米
C．1700米D．1680米
6．用二分法求函数f（x）＝x3＋5的零点可以取的初始区间是（ ）
A．[－2,1]B．[－1,0]
C．[0,1]D．[1,2]
7．已知函数f（x）的图像是连续不断的，x、f（x）的对应关系如下表：
x
1
2
3
4
5
6
f（x）
136.136
15.552
－3.92
10.88
－52.488
－232.064
则函数f（x）存在零点的区间为（ ）
A．区间[1,2]和[2,3]
B．区间[2,3]和[3,4]
C．区间[2,3]和[3,4]和[4,5]
D．区间[3,4]和[4,5]和[5,6]
8．某商品零售价2011年比2010年上涨25%，欲控制2012年比2010年只上涨10%，则2012年应比2011年降价（ ）
A．15%B．12%
C．10%D．50%
9．三次方程x3＋x2－2x－1＝0的根不可能在的区间为（ ）
A．（－2，－1） B．（－1,0）
C．（0,1）D．（1,2）
10．设二次函数f（x）＝x2－x＋a，若f（－t）<0，则f（t＋1）的值（ ）
A．是正数B．是负数
C．是非负数D．正负与t有关
第Ⅱ二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上）
11．已知函数f（x）＝x2－1，则函数f（x－1）的零点是________．
12．用一根长为12m的细铁丝弯折成一个矩形的铁框架，则能弯成的框架的最大面积是________．
13．已知f（x）是定义域为R的奇函数，且在（－∞，0）内的零点有2012个，则f（x）的零点的个数为________．
14．设函数f（x）＝
，若f（－4）＝2，f（－2）＝－2，则关于x的方程f（x）＝x的解的个数是________．
15．某商人购货，进价已按原价a扣去25%，他希望对货物订一新价，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的纯利，则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系式是________．
三、解答题（本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（本小题满分12分）求函数y＝x3－3x2－2x＋6的零点个数．
17．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝x2－x＋m的零点都在区间（0,2）内，求实数m的范围．
18．（本小题满分12分）有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次为Q1万元和Q2万元，它们与投入资金的关系是Q1＝
x，Q2＝
.今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入应分别为多少？
19．（本小题满分12分）确定函数f（x）＝log
x＋x－4的零点个数．
[分析] 解答本题可先在同一个平面直角坐标系内画出函数y1＝log
x与y2＝4－x的图像，然后通过观察与分析图像的情况，最后得出结论．
20．（本小题满分13分）已知关于x的函数y＝（m＋6）x2＋2（m－1）x＋m＋1恒有零点．
（1）求m的范围；
（2）若函数有两个不同零点，且其倒数之和为－4，求m的值．
21．（本小题满分14分）
某房地产公司要在荒地ABCDE（如图所示）上划出一块长方形地面建造一幢公寓，问：
如何设计才能使公寓占地面积最大？
求出最大面积（尺寸单位：
m）．
[分析] 解答本题可先进行分类讨论，在各种情况下列出函数关系式并求最值，然后比较得到所求解的情况．
1[答案] B
[解析] 若lgx有意义，∴x>0，故A不正确，
又当x>1时，lgx>0，lgx＋x>0，C、D不正确，故选B.
2[答案] D
[解析] 因为f（x）与x轴有4个交点，所以共有4个零点．
3[答案] B
[解析] ∵函数没有零点，∴x2－2x－a＝0无实数解．
∴Δ<0，即4＋4a<0，∴a<－1，故选B.
4[答案] C
[解析] 由题意知：
a＋b＝0，
∴f（x）＝bx2＋ax＝x（bx＋a）＝x（bx－b）＝0，
解得x＝0或1，故选C.
5[答案] C
[解析] 设从山脚起每升高x百米时，温度为y摄氏度，根据题意得y＝26－0.7x，山顶温度是14.1摄氏度，代入得14.1＝26－0.7x.∴x＝17（百米），
∴山的相对高度是1700米．
6[答案] A
[解析] 二分法求变号零点时所取初始区间[a，b]，使f（a）·f（b）<0.
显然：
f（－2）＝－3，f
（1）＝6，
∴f（－2）·f
（1）<0.故选A.
7[答案] C
[解析] 由图表可知，f
（2）>0，f（3）<0，f（4）>0，f（5）<0.故选C.
8[答案] B
[解析] 1＋10%＝（1＋25%）（1－x%），解得x＝12.
9[答案] C
[解析] ∵f（－2）＝－1<0，f（－1）＝1>0，
f（0）＝－1<0，f
（1）＝－1<0，f
（2）＝7>0，
∴三次方程x3＋x2－2x－1＝0的三个根分别在区间（－2，－1）、（－1,0）、（1,2）内，故选C.
10[答案] B
[解析] 因为f（t＋1）＝（t＋1）2－（t＋1）＋a＝t2＋t＋a，f（－t）＝t2＋t＋a，
又∵f（－t）<0，所以f（t＋1）为负数．
11[答案] 0和2
[解析] 由f（x－1）＝（x－1）2－1＝x2－2x＝0，
得x＝0或x＝2.
12[答案] 9m2
[解析] 设框架的一边长为xm，则另一边长为（6－x）m.
设框架面积为ym2，则y＝x（6－x）＝－x2＋6x＝－（x－3）2＋9（013[答案] 4025
[解析] 因为f（x）为奇函数，且在（－∞，0）内有2012个零点，由奇函数的对称性知，在（0，＋∞）内也有2012个零点，又x∈R，所以f（0）＝0，因此共4025个零点．
14[答案] 3
[解析] 由已知
得
，
∴f（x）＝
，作图像如图所示．
由图像可知f（x）＝x的解的个数为3.
15[答案] y＝
x（x∈N＋）
[解析] 依题意，有b（1－20%）－a（1－25%）＝b（1－20%）·25%，化简得b＝
a，∴y＝b·20%·x＝
a·20%·x，
即y＝
x（x∈N＋）．
16[解析] y＝x3－3x2－2x＋6
＝x2（x－3）－2（x－3）
＝（x2－2）（x－3），
令y＝0则x＝±
或x＝3，
显然有三个零点．
17[解析] 由题意可得
即
，
解得0.所以实数m的取值范围是（0，
]．
18[解析] 设投入甲x万元，则投入乙（3－x）万元，
利润Q1＋Q2＝
x＋
，
令
＝t（0≤t≤
），则x＝3－t2，
∴Q＝
（3－t2）＋
t＝－
t2＋
t＋
＝－
（t－
）2＋
，
∴当t＝
，即x＝
时，Q取得最大值
，
此时，3－x＝
.
∴为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入应分别为
万元和
万元．
19[解析] 设y1＝log
x，y2＝4－x，则f（x）的零点个数即y1与y2的交点个数，
作出两函数图像，如图．
由图知，y1与y2在区间（0,1）内有一个交点，
当x＝4时，y1＝－2，y2＝0，
当x＝8时，y1＝－3，y2＝－4，
∴在（4,8）内两曲线又有一个交点，
∴两曲线只有两个交点，
即函数f（x）＝log
x＋x－4有两个零点．
20[解析]
（1）当m＋6＝0时，m＝－6，
函数为y＝－14x－5显然有零点，
当m＋6≠0时，m≠－6，
由Δ＝4（m－1）2－4（m＋6）（m＋1）
＝－36m－20≥0，得m≤－
.
∴当m≤－
且m≠－6时，二次函数有零点．
综上，m≤－
.
（2）设x1，x2是函数的两个零点，则有
x1＋x2＝－
，x1x2＝
.
∵
＋
＝－4，即
＝－4，
∴－
＝－4，解得m＝－3.
且当m＝－3时，m＋6≠0，Δ>0符合题意，
∴m的值为－3.
21[解析] 如图所示，设计长方形公寓分三种情况：
（1）当一端点在BC上时，只有在B点时长方形BCDB1面积最大，
∴S1＝SBCDB1＝5600m2.
（2）当一端点在EA边上时，只有在A点时长方形AA1DE的面积最大，
∴S2＝SAA1DE＝6000m2.
（3）当一端点在AB边上时，设该点为M，则可构造长方形MNDP，并补出长方形OCDE.
设MQ＝x（0≤x≤20），∴MP＝PQ－MQ＝80－x.
又OA＝20，OB＝30，则
＝
，
∴
＝
，∴QB＝
x，
∴MN＝QC＝QB＋BC＝
x＋70，
∴S3＝SMNDP＝MN·MP＝（70＋
x）·（80－x）
＝－
（x－
）2＋
，
当x＝
时，S3＝
.比较S1，S2，S3，得S3最大，
此时MQ＝
m，BM＝
m，
故当长方形一端点落在AB边上离B点
m处时公寓占地面积最大，最大面积为
m2.
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