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完整版相遇问题整理
应用题—行程问题(相遇、流水行船)
知识点:
1.相遇问题是行程问题中的一种情况。
这类应用题的特点是:
两个运动的物体,同时从两地相对而行,越行越近,到一定的时候二者可以相遇。
2.相遇问题的数量关系:
速度和X相遇时间二两地路程
两地路程+速度和二相遇时间
两地路程+相遇时间二速度和
3.解题时,除掌握数量关系外,还要根据题意想象实际情景,画线段图来帮助理解和分析题意,突破题目的难点。
4.流水行船问题
船速:
船在静水中的速度;
水速:
水流速度;
顺水速度:
船顺水航行的实际速度;
逆水速度:
船逆水航行的实际速度;行船问题中也反映了行程问题的路程、速度与时间的关系。
顺水路程二顺水速度X时间
逆水路程=逆水速度X时间
行船问题中的两个基本关系式:
顺水速度=船速+水速
逆水速度=船速-水速由以上两个基本关系式还可以得到以下两个关系式:
船速二(顺水速度+逆水速度)宁2
水速二(顺水速度-逆水速度)宁2
一辆车从甲地开往乙地.如果车速提高20%,可以比原定时间提前
一小时到达;如果以原速行驶120千米后,再将速度提高25%,则
可提前40分钟到达.那么甲、乙两地相距多少千米?
解:
设原速度是1.
原吋间=甲乙讐,加速后时间=甲七距离乜乳就得岀,加速2。
]°
1_5
后,所用时间缩短到原时间的^20%=?
这是具体地反映:
距离固
定,时间与速度成反比
用原速行驶需要
1+C1-—)—6(小时)
o
同样道理,车速提高25%,所用时间缩短到原来的
1
-4
1+25%
25%,可少时间
360X1=72(分钟〉
现在只少了40分钟,72-40=32(分钟)•说明有一段路程未加
速而没有少这个32分钟,它应是这段路程所用时间
(分钟),原速的行程与加速的行程所用时间一样.因此全程长
120X〔1+”=270〔千氷〕.
答:
甲、乙两地相距270千米.
练习:
1.一辆汽车从甲地开往乙地,如果车速提高20%,可以提前1小时到达。
如果按原速行驶一段距离后,再将速度提高30%,也可以提前1小时到达,那么按原速行驶了全部路程的几分之几?
解:
设原速度是1.后来速度为1+20%=1.2
1_5
速度比值:
1+20%6
这是具体地反映:
距离固定,时间与速度成反比.
时间比值:
6:
5
这样可以把原来时间看成6份,后来就是5份,这样就节省1份,节省1个小时。
原来时间就是=1X6=6小时。
同样道理,车速提高30%,速度比值:
1:
(1+30%=1:
1.3时间比值:
1.3:
1
这样也节省了0.3份,节省1小时,可以推出行驶一段时间后那
段路程的原时间为1.3-0.3=13/3
所以前后的时间比值为(6-13/3):
13/3=5:
13。
所以总共行驶
了全程的5/(5+13)=5/18
2.兄妹两人同时离家去上学。
哥哥每分钟走90米,妹妹每分钟
走60米,哥哥到校门时,发现忘带课本,立即沿原路回家去取,行至离校180米处和妹妹相遇。
问他们家离学校多远?
答案:
180X2+(90-60)=12(分钟)
12X60+180=900(米)答:
他们家离学校900米。
例2
甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发,相向而行,他们第一次相遇地点离A地4千米,相遇后二人继续前进,走到对方出发点后立即返回,在距B地3千米处第二次相遇,求两次相遇地点之间的距离.
答案:
第二次相遇两人总共走了3个全程,所以甲一个全程里走了4千米,三个全程里应该走4*3=12千米,
通过画图,我们发现甲走了一个全程多了回来那一段,就是距B地的3千米,所以全程是12-3=9千米,
所以两次相遇点相距9-(3+4)=2千米。
练习:
1.甲乙两地的公路长195千米,两辆汽车同时从两地出发,相向而行,甲车每小时行45千米,乙车每小时30千米,途中乙车出现故障,修车用了1小时,两车从出发到相遇经过了几小时?
答案3(小时)
乙车出故障修车1小时看成是甲车先走1小时
解:
甲车1小时行的路程=45X仁45千米
路程和=195-45=150千米
速度和=45+30=75(千米每小时)
相遇时间=150-75
=2(小时)
2+1=3(小时)
答:
两车从出发到相遇经过了3小时。
2.从A城到B城,甲汽车用6小时,从B城到A城,乙汽车用
4小时。
现在甲、乙两车分别从A、B两城同时出发相对而行,相遇
时甲汽车行驶了96千米,A、B两城相距多远?
答案:
240千米
速度比:
4:
6=2:
3.路程比:
2:
3.962(23)240千米
例3
甲、乙、丙三人行路,甲每分钟走60米,乙每分钟走67.5米,丙每分钟走75米,甲乙从东镇去西镇,丙从西镇去东镇,三人同时出发,丙与乙相遇后,又经过2分钟与甲相遇,求东西两镇间的路程有多少米?
答案:
解:
那2分钟是甲和丙相遇,所以距离是(60+75)X2=270米,这距离是乙丙相遇时间里甲乙的路程差
所以乙丙相遇时间=270+(67.5-60)=36分钟,所以路程=36X(60+75)=4860米。
练习:
1.甲每分钟走50米,乙每分钟走60米,丙每分钟走70米,甲乙两人从A地,丙一人从B地同事相向出发,丙遇到乙后两分钟又遇到甲,AB两地相距多少米?
答案:
甲
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丙遇到乙后2分钟再遇到甲,
2分钟甲、丙两人的相遇路程二甲乙两人的追及路程
=(50+70)X2=240(米),甲乙的追及时间二甲丙的相遇时间=240+
(60-50)=24(分)两地距离二甲丙相遇路程
=(60+70)X24=3120(米)
2.甲乙丙三人的行走速度分别为每分钟80米,60米,50米.甲,乙两人从A地,丙一人从B地相向出发,如果在两地同时而行,乙丙比甲丙迟2分钟相遇.AB两地的距离是多少米?
答案:
设AB两地的距离是x米
x/(60+50)-x/(80+50)=2
x/110-x/130=2
130x-110x=28600
20x=28600
x=1430
AB两地的距离是1430米
例4
如图,有一个圆,两只小虫分别从直径的两端
A与C同时出发,绕圆周相向而行。
它们第一次相
遇在离A点8厘米处的B点,第二次相遇在离c点处6厘米的D点,问,这个圆周的长是多少?
解:
如上图所示,第一次相遇,两只小虫共爬
行了半个圆周,其中从A点出发的小虫爬了8厘米,第二次相遇,两
只小虫从出发共爬行了1个半圆周,其中从A点出发的应爬行8X3=24(厘米),比半个圆周多6厘米,半个圆周长为8X3—6=18(厘米),一个圆周长就是:
(8X3—6)X2=36(厘米)
答:
这个圆周的长是36厘米。
练习:
1.某体育场的环形跑道长400m,甲、乙二人在跑道上练习跑步,已知甲的速度为250m/min,乙的速度为290m/min,在两人同时从同一地点同向出发,经过多长时间两人才能再次相遇?
答案:
乙的速度比甲快,所以再次相遇的时候情况是乙正好比甲
多跑一圈,也就是400m,
设Xmin后两人再次相遇,列式:
乙跑的路程-甲跑的路程=400米290X-250X=400
X=10min
答:
10分钟后两人再次相遇.
2.甲乙两人骑自行车从一环形公路的同一地点同时出发,背向
行驶,甲行一圈要60分钟,在出发45分钟后两人相遇,甲立即调转车头,与乙再次相遇需要多少分?
解;乙的速助转■糸击,
相遇时胃=1+需需八
2
=1■■-■
ISO
=90(甘钟)!
甲乙再次相遏第姜汕分钟.
故昔秦荚:
郭+
例5
甲乙两人同时从相距1000米的两地相向而行,甲每分钟行120米,乙每分钟行80米。
如果有一只狗与甲车同时同向而行,每分钟行500米,遇到乙后,立即回头向甲跑去,遇到甲后又立即回头向乙跑去,这样不断来回,直到两人相遇为止,这时狗共跑了多少米?
【答案】2500米。
【解析】狗行驶的时间就是甲乙两人的相遇时间,抓住相遇时间二路程和—速度和。
解:
路程和=1000米
速度和=120+80=200(米每分)
相遇时间=1000宁200
=5(分钟)
这5分钟狗一直在跑所以狗行驶的路程=500X5=2500米
答:
狗共跑了2500米
练习:
1.甲乙两辆汽车冋时从东站开往西站。
甲车每小时比乙
车多行12千米。
甲车行驶4.5小时到达西站后,没有停留,立即从
原路返回,在距西站31.5千米的地方和乙车相遇,甲车每小时行多少千米?
答案
31.5X2-12=5.25(小时)
5.25-4.5=0.75(小时)
31.5-0.75=42(千米)
答:
甲车每小时行42千米。
从图上可以看出,两车相遇时,甲车比乙车多行了两个31.5千
米,即63千米,由题意可知,甲车每小时比乙车多行12千米,就可
求出两车的相遇时间,即63-12=5.25(小时),已知甲车行驶4.5
小时到达西站,可求出甲车从西站返回到与乙车相遇共用了5.25-4.5=0.75(小时),共行了31.5千米,进而运用公式“路程+时间二速度”求出甲车每小时行31.5-0.75=42(千米)。
2.甲乙两人相向而行,甲以每小时8千米的速度由A地出发到B地走了15千米后,乙以每小时10千米的速度由B地出发,结果在两地中点相遇,A、B两地相距多少千米?
答案:
甲每小时8千米,乙每小时10千米,说明乙比甲每小时多行
2千米,
甲乙两人在两地中点相遇,说明甲乙两人所行路程相同,
甲先出发,走了15千米,乙比甲每小时多行2千米,
所以乙要用时间15/2=7.5小时才能将所行路程补上,
从而AB两地相距:
10*7.5*2=150千米.
例6
一只轮船的速度是每小时3600米,船在水的流速为30米/分钟的河里航行,从下游的一个港口到上游的某地,再返回到原港口,共用了3小时20分,则这条船从下游港口到上游某地共航行了多少米?
【答案】3600米/小时=60米/分钟一一静水速度;60+30=90(米/分钟)一一顺水速度;60-30=30(米/分钟)一一逆水速度;顺水速度:
逆水速
度=90:
30=3:
1说明顺水航行的时间与逆水航行的时间比为:
1:
3往返总共用时3小时20分=200分钟
200丄50
那么顺水航行所用的时间为13(分钟)全程:
(60+30)
X50=4500(米)答:
这条船从下游港口到上游某地共航行4500
米。
练习:
1•一艘小船在河中航行,第一次顺流航行33千米,逆流航行11千米,共用11小时;第二次用同样的时间,顺流航行了24千米,逆流航行了14千米。
求这艘小船的静水速度和水流速度。
【答案】两次航行顺流的路程差:
33-24=9(千米);逆流的路程差:
14-1仁3(千米);顺流速度:
逆流速度=9:
3=3:
1;顺流航行33千米与逆流航行33宁3=11(千米)时间相同则逆流速度:
(11+11)宁
11=2(千米/小时);顺流速度:
2X3=6(千米/小时);静水速度:
(6+2)宁2=4千米/小时);水流速度:
(6-2)宁2=2(千米/小时)答:
小船在静水中的速度为4千米/小时,水流速度为2千米/小时。
2.游船顺流而下,每小时前进7公里,逆流而上,每小时前进5公里.两条游船同时从同一个地方出发,一条顺水而下,然后返回;一条逆流而上,然后返回.结果,1小时以后它们同时回到出发点,忽略船头掉头时间.在这1小时内有多少分钟这两条船的前进方向相同?
【答案】解:
设1小时顺流时间为x分钟,则逆流时间为(60-x)分钟,故x:
(60-x)=5:
7.
解得x=25,
所以60-x=35.
35-25=10(分钟).
答:
有10分钟这两条船的前进方向相同.
课后作业:
1、甲、乙两人同时从相距39千米的两地相向而行,甲步行每小时行3千米,乙骑自行车每小时行10千米。
多少小时后他们在途中相遇?
答案:
39+(3+10)=3(小时)
2、小李和小刘在周长为400米的环形跑道上跑步,小李每秒钟跑5米,小刘每秒钟跑3米,他们从同一地点同时出发,反向而跑,那么,二人从出发到第二次相遇需多长时间?
答案:
行程问题中的环形相遇问题,抓住相遇时间二路程和+速度和
解:
路程和400X2
速度和(5+3)米每秒
相遇时间=(400X2)+(5+3)=100秒
3、小明从甲地向乙地走,小强同时从乙地向甲地走,当各自到达终
点后,又迅速返回,行走过程中,各自速度不变,两人第一次相遇在距甲地40米处,第二次相遇在距乙地15米处。
问甲、乙两地之间相距多少米?
【答案】40X3=120(米)
120-15=105(米)
答:
甲、乙两地之间相距105米。
4、甲、乙两车的速度比是3:
5,两车同时从东、西两站相向而行,
在离中点20千米处相遇。
相遇后分别按原速继续行驶,当乙车到达东站时,甲车距西站还有多少千米?
【答案】64千米
速度比3:
5,那么时间一定时,路程比是3:
5.全长为
3
202(53)(53)160(千米)160(15)64(千米)
5、甲、乙两辆汽车同时从东、西两地相向开出,甲车每小时行
56千米,乙车每小时行48千米,两车在离中点32千米处相遇。
求东西两地的距离是多少千米?
=104X8=832(千米)
答:
东西两地间的距离是832千米
6、甲车与乙车同时从AB两地相对开出,经过12小时相遇。
相遇
后甲车又行了8小时到达B地。
乙车还要行多少小时到达A地?
【答案】12-8=1.5
12X1.5=18(小时)
18-8=10(小时)
答:
乙车还要行10小时到达A地。
7、甲、乙、丙三人步行的速度分别是每分钟100米、90米、75米。
甲在公路上A处,乙、丙同时在公路上B处,三人同时出发,甲与乙、丙相向而行。
甲、乙相遇3分钟后,甲和丙又相遇了。
求A、B之间的距离。
【答案】6650米
8、一列快车从甲站到乙站要5小时,一列慢车从乙站到甲站要8小
时,两车同时出发,相遇时离两站中点84千米。
求甲乙两站的路程。
【答案】728千米
速度比:
8:
5.路程比:
8:
5.
842(8-5)(85)728千米
9、一条河上有甲、乙两个码头,甲在乙的上游50千米处。
客船和货船分别从甲、乙两码头同时出发向上游行驶,两船的静水速度相同且始终保持不变,客船出发时有一物品从船上落入水中,10分钟后此物品距客船5千米,客船在行驶20千米后折向下游追赶此物,追上时恰好和货船相遇,求水流的速度。
【答案】0.1千米
船在静水中的速度为每分钟5^10=0.5(千米)。
客船、货船与物品从出发到共同相遇所需的时间为50^0.5=100(分钟)。
客船掉头时,它与货船相距50千米。
随后两船作相向运动,速度之和为船速的2倍,因此从调头到相遇所用的时间为50-(0.5+0.5)=50(分钟)。
于是客船逆水行驶20千米所用的时间为100-50=50分钟,从而船的逆水速度是每分钟20-50=0.4(千米),水流速度为每分钟0.5-0.4=0.1(千米)
10、一只木船第一次顺流航行56千米,逆流航行20千米,共用去12小时,第二次用同样的时间顺水航行40千米,逆流航行28千米,求船在静水中的速度。
答案】6千米
(56-40)-(28-20)=2逆流航行20千米的时间,顺水可航行40千米,所以12小时顺水可航行(56+20X2)千米,顺水速度:
(56+20^2)勻2=8(千米/时)逆水速度:
8吃二4(千米/时)船在静水中的速度:
(8+4)吃=6(千米/时)