典型时间序列模型分析.docx
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典型时间序列模型分析
实验1典型时间序列模型分析
1、实验目的
熟悉三种典型的时间序列模型：
AR模型，MA模型与ARMA模型，学会运用Matlab工具对
对上述三种模型进行统计特性分析，通过对2阶模型的仿真分析，探讨几种模型的适用范围，并且通过实验分析理论分析与实验结果之间的差异。
2、实验原理
AR模型分析：
设有AR
（2）模型,
X（n）=-0.3X（n-1）-0.5X（n-2）+W（n）
其中：
W（n）是零均值正态白噪声，方差为4。
（1）用MATLAB模拟产生X（n）的500观测点的样本函数，并绘出波形
（2）用产生的500个观测点估计X（n）的均值和方差
（3）画出理论的功率谱
（4）估计X（n）的相关函数和功率谱
【分析】给定二阶的AR过程，可以用递推公式得出最终的输出序列。
或者按照一个白噪声通过线性系统的方式得到，这个系统的传递函数为：
这是一个全极点的滤波器，具有无限长的冲激响应。
对于功率谱，可以这样得到，
可以看出，FXw完全由两个极点位置决定。
对于AR模型的自相关函数，有下面的公式:
\（0）
打⑴
匚⑴…
^（0）
■1'
G2
W
0
JAP）
人9-1）…
凉0）_
这称为Yule-Walker方程，当相关长度大于p时，由递推式求出:
r（r）+-1）+-■+（7r-JJ）=0
这样，就可以求出理论的AR模型的自相关序列。
1.产生样本函数，并画出波形
2.题目中的AR过程相当于一个零均值正态白噪声通过线性系统后的输出，可以按照上面的方法进行描述。
clearall;
b=[1];a=[10.30.5];%由描述的差分方程，得到系统传递函数
h=impz（b,a,20）;%得到系统的单位冲激函数，在20点处已经可以认为值是0
randn（'state',0）;
w=normrnd（0,2,1,500）;%产生题设的白噪声随机序列，标准差为2
x=filter（b,a,w）;%通过线形系统，得到输出就是题目中要求的2阶AR过程
plot（x,'r'）;
ylabel（'x（n）'）;
title（'邹先雄——产生的AR随机序列'）;
gridon;
得到的输出序列波形为：
邹先雄——产生的AR随机序列
2.估计均值和方差
可以首先计算出理论输出的均值和方差，得到mx=0，对于方差可以先求出理论自相
关输出，然后取零点的值。
并且，」，带入有
在最大值处输出的功率，也就是方差，为
a;=r（0）=56
两者合理论值吻
对实际数据进行估计，均值为mean（x）=-0.0703，而方差为var（x）=5.2795，
合得比较好。
程序及运行结果图如下，其中y_mean表示均值，y_var表示方差。
>>clearall;
b=Lll;a=[l0.30.B];%由摒迷的差分方程，僚到索猊倍谨硒数l^i^z（bjaj20）;%得到系统的单f立冲數函数，在20点雉已经可以认为值是0randnCstate-J,0）.
2,1,500）;%产生题设的白囁声随机序別，标准差为2x=filter（bjajw）;%通过线形紊统，课到输出就是题目中要卡的2盼AR过程plot甌，r，）;
ylabelCkCn））;
生的AR龍机序貝N;
gridan;
yl_jn&an=ine3n（x）
y2_var=var（x）
yl_jnean=
-0.0703y2_var=
5.2795
3.画出理论的功率谱密度曲线
理论的功率谱为，
£92恥训丹冲）f"|h（严）「
用下面的语句产生：
delta=2*pi/1000;
w_min=-pi;
w_max=pi;
Fs=1000;
w=w_min:
delta:
w_max;%得到数字域上的频率取样点，范围是[-pi,pi]
Gx=4*（abs（1丿（1+0.3*exp（-i*w）+0.5*exp（-2*i*w）））A2）;%计算出理论值
Gx=Gx/max（Gx）;%归一化处理
f=w*Fs/（2*pi）;%转化到模拟域上的频率
plot（f,Gx）;
title（'邹先雄一一理论功率谱密度曲线'）;
gridon;
得到的图形为：
邹先雄一理论功率谱密度曲线
可以看出，这个系统是带通系统。
4•估计自相关函数和功率谱密度
用实际数据估计自相关函数和功率谱的方法前面已经讨论过，在这里仅给出最后的仿真图形。
Mlag=20;%定义最大自相关长度
Rx=xcorr（x,Mlag,'coeff'）;
m=-Mlag:
Mlag;
stem（m,Rx,'r.'）;
title（'邹先雄自相关函数’）；
最终的值为
邹先雄—自相关函数
可以看出，它和上面的理论输出值吻合程度很好。
实际的功率谱密度可以用类似于上面的方
法进行估计，
window=hamming（20）;%采用hanmming窗，长度为20
noverlap=10;%重叠的点数
Nfft=512;%做FFT的点数
Fs=1000;%采样频率，为1000Hz
b=[1];a=[10.30.5];%由描述的差分方程，得到系统传递函数
h=impz（b,a,20）;%得到系统的单位冲激函数，在20点处已经可以认为值是0
randn（'state',0）;
w=normrnd（0,2,1,500）;%产生题设的白噪声随机序列，标准差为2
x=filter（b,a,w）;%通过线形系统，得到输出就是题目中要求的2阶AR过程
[Px,f]=pwelch（x,window,noverlap,Nfft,Fs,'onesided'）;%估计功率谱密度
f=[-fliplr（f）f（1:
end）];%构造一个对称的频率，范围是[-Fs/2,Fs/2]
Py=[-fliplr（Px）Px（1:
end）];%对称的功率谱
plot（f,10*log10（Py）,'b'）;
title（'邹先雄一一实际的功率谱密度曲线'）;
估计出来的功率谱密度为，
邹先雄一实际的功率谱密度曲线
将两幅图画在一起，可以看到拟合的情况比较好（两者相位刚好相反，但是基本波形相似）
代码如下：
clearall;
delta=2*pi/1000;
w_min=-pi;
w_max=pi;
Fs=1000;
w=w_min:
delta:
w_max;%得到数字域上的频率取样点，范围是[-pi,pi]
Gx=4*（abs（1丿（1+0.3*exp（-i*w）+0.5*exp（-2*i*w）））A2）;%计算出理论值
Gx=Gx/max（Gx）;%归一化处理
f=w*Fs/（2*pi）;%转化到模拟域上的频率结束
plot（f,Gx,'r'）;
holdon;
title（'邹先雄一一理论和实际的功率谱密度曲线拟合'）;
window=hamming（20）;%采用hanmming窗，长度为20
noverlap=10;%重叠的点数
Nfft=512;%做FFT的点数
Fs=1000;%采样频率，为1000Hz
b=[1];a=[10.30.5];%由描述的差分方程，得到系统传递函数
h=impz（b,a,20）;%得到系统的单位冲激函数，在20点处已经可以认为值是0
randn（'state',0）;
w=normrnd（0,2,1,500）;%产生题设的白噪声随机序列，标准差为2
x=filter（b,a,w）;%通过线形系统，得到输出就是题目中要求的2阶AR过程
[Px,f]=pwelch（x,window,noverlap,Nfft,Fs,'onesided'）;%估计功率谱密度f=[-fliplr（f）f（1:
end）];%构造一个对称的频率，范围是[-Fs/2,Fs/2]Py=[-fliplr（Px）Px（1:
end）];%对称的功率谱Py=-10*log10（Py）;
Py=Py/max（Py）;
Py=-Py;Py=3*Py;Py=Py+2.6；%用来归一处理，使两者吻合plot（f,Py,'b'）;
legend（'实际值','理论值'）;
gridon;
ARMA模型分析
设有ARMA（2,2）模型，
X（n）+0.3X（n-1）-0.2X（n-2）=W（n）+0.5W（n-1）-0.2W（n-2）
W（n）是零均值正态白噪声，方差为4。
（1）用MATLAB模拟产生X（n）的500观测点的样本函数，并绘出波形
（2）用产生的500个观测点估计X（n）的均值和方差
（3）画出理论的功率谱
（4）估计X（n）的相关函数和功率谱
【分析】给定（2,2）的ARMA过程，也可以用递推公式得出最终的输出序列。
或者按照一个白噪声通过线性系统的方式得到，这个系统的传递函数为：
I1+0
円厂1+03^-02尹
对于功率谱，可以这样得到,
对于ARMA过程，当模型的所有极点均落在单位圆内时，才是一个渐进平稳的随机过程。
这个过程的自相关函数不能简单地写成Yule-Walker方程形式，它于模型的参数具有高度的
非线性关系。
1.产生样本函数，并画出波形
题目中的ARMA过程相当于一个零均值正态白噪声通过线性系统后的输出，可以按照上面的方法进行描述。
clearall;
b=[10.5-0.2];a=[10.3-0.2];%由描述的差分方程，得到系统传递函数
h=impz（b,a,10）;%得到系统的单位冲激函数，在10点处已经可以认为值是0
randn（'state',0）;
w=normrnd（0,2,1,500）;%产生题设的白噪声随机序列，标准差为2
x=filter（b,a,w）;%通过线形系统，得到输出就是题目中要求的（2,2）阶ARMA过程
plot（x,'r'）;
title（'邹先雄一一输出的AR随机序列'）;
得到的输出序列波形为：
邹先雄一输出的AR随机序列
2.估计均值和方差
可以首先计算出理论输出的均值和方差，得到mx=°，对于方差可以先求出理论自相
关输出，然后取零点的值。
耳（也）=A（»）*
并且，一.，带入有
人（酬）工4｛片脚）*机-册）]
在最大值处就是输出的功率，也就是方差，为
对实际数据进行估计，均值为mean（x）=-0.0547，而方差为var（x）=3.8,两者和理论值吻
合的比较好。
附代码及运行结果截图如下：
»clearall;
b=[l0.5-0.2];a=[l0,3-0.2];%由描述的差分方程，得到系统传谨函埶h=iJnpz（bJaJ10）;%得到系统的单位冲澈国数，在10点处已经可以认为值是0randn（state7j0）;
w=nor»riui（0,2,1,500）:
%产生题设的白噪声随机序列，标准差为2x^filterCb^.w）;K通过线形系统・得到输出就是题目中要求的佗,2）盼AKMA过程plot仗JF）,
Py_jnean=mean（x）
Py_var=var（x）
Pygmean=
-0.1488
Py^var=
3.rgss
3.画出理论的功率谱密度曲线
理论的功率谱为，
耳㈣三耳（如p（屮）卜屮
用下面的语句产生：
delta=2*pi/1000;w_min=-pi;w_max=pi;Fs=1000;
w=w_min:
delta:
w_max;%得到数字域上的频率取样点，范围是[-pi,pi]
NS=1+0.5*exp（-i*w）-0.2*exp（-2*i*w）;%分子
DS=1+0.3*exp（-i*w）-0.2*exp（-2*i*w）;%分母
Gx=4*（abs（NS./DS）A2）;%计算出理论值
Gx=Gx/max（Gx）;f=w*Fs/（2*pi）;%转化到模拟域上的频率
plot（f,Gx,'b'）;
title（'邹先雄一一理论的功率谱密度曲线'）;
gridon;
邹先雄一理论的功率谱密度曲线
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
O
5Q
00
O
40
4.估计相关函数和功率谱密度曲线
用实际数据估计自相关函数和功率谱的方法前面已经讨论过，在这里仅给出仿真图形。
%计算理论和实际的自相关函数序列
Mlag=20;%定义最大自相关长度
Rx=xcorr（x,Mlag,'coeff）;
m=-Mlag:
Mlag;
stem（m,Rx,'r.'）;
title（'邹先雄一一估计自相关函数’）；
最终的值为
邹先雄一估计自相关国数
03
0.6
0.4
0.2
实际的功率谱密度可以用类似于上面的方法进行估计,
window=hamming（20）;%采用hanmming窗，长度为20
noverlap=10;%重叠的点数
Nfft=512;%做FFT的点数
Fs=1OOO;%采样频率，为1000Hz
b=[10.5-0.2];a=[10.3-0.2];%由描述的差分方程，得到系统传递函数
h=impz（b,a,10）;%得到系统的单位冲激函数，在10点处已经可以认为值是0
randn（'state',0）;
w=normrnd（0,2,1,500）;%产生题设的白噪声随机序列，标准差为2
x=filter（b,a,w）;%通过线形系统，得到输出就是题目中要求的（2,2）阶ARMA过程
[Px,f]=pwelch（x,window,noverlap,Nfft,Fs,'onesided'）;%估计功率谱密度
f=[-fliplr（f）f（1:
end）];%构造一个对称的频率，范围是[-Fs/2,Fs/2]
Py=[fliplr（Px）Px（1:
end）];%对称的功率谱
plot（f,10*log10（Py）,'b'）;
title（'邹先雄一一实际的功率谱密度曲线'）;
估计出来的功率谱密度为
邹先雄一际的功率谱密度曲线
把两幅图画在一起，可以得到下面的图形，可以看出两者的吻合度比较高。
delta=2*pi/1000;w_min=-pi;w_max=pi;Fs=1000;
w=w_min:
delta:
w_max;%得到数字域上的频率取样点，范围是[-pi,pi]
NS=1+0.5*exp（-i*w）-0.2*exp（-2*i*w）;%分子
DS=1+0.3*exp（-i*w）-0.2*exp（-2*i*w）;%分母
Gx=4*（abs（NS./DS）.A2）;%计算出理论值
Gx=Gx/max（Gx）;f=w*Fs/（2*pi）;%转化到模拟域上的频率
plot（f,Gx,'r'）;
title（'邹先雄一一理论和实际的功率谱密度曲线的拟合'）;
holdon;
window=hamming（20）;%采用hanmming窗，长度为20
noverlap=10;%重叠的点数
Nfft=512;%做FFT的点数
Fs=1000;%采样频率，为1000Hz
b=[10.5-0.2];a=[10.3-0.2];%由描述的差分方程，得到系统传递函数
h=impz（b,a,10）;%得到系统的单位冲激函数，在10点处已经可以认为值是0
randn（'state',0）;
w=normrnd（0,2,1,500）;%产生题设的白噪声随机序列，标准差为2
x=filter（b,a,w）;%通过线形系统，得到输出就是题目中要求的（2,2）阶ARMA过程
[Px,f]=pwelch（x,window,noverlap,Nfft,Fs,'onesided'）;%估计功率谱密度
f=[-fliplr（f）f（1:
end）];%构造一个对称的频率，范围是[-Fs/2,Fs/2]
Py=[fliplr（Px）Px（1:
end）];%对称的功率谱
Py=10*log10（Py）;
Py=Py/max（Py）;
Py=-Py;Py=3*Py;Py=Py+4；%用来归一处理，使两者吻合plot（f,Py,'b'）;
legend（'实际值','理论值'）;
gridon;
邹先雄——理论和实际的功率谱密度曲线的拟合
-EOO-400-300-200-1000100200300400500
3、实验内容
1熟悉实验原理，将实验原理上的程序应用matlab工具实现；
2、设有MA
（2）模型，
x（n）=W（n）-03W（n-1）+0.2W（n-2）
W（n）是零均值正态白噪声，方差为4。
（1）用MATLAB模拟产生X（n）的500观测点的样本函数，并绘出波形
（2）用产生的500个观测点估计X（n）的均值和方差
（3）画出理论的功率谱
（4）估计X（n）的相关函数和功率谱完成4个问题的源代码如下
clearall;
%产生样本函数，并画出波形
b=[1-0.30.2];a=[1];%由描述的差分方程，得到系统传递函数
h=impz（b,a,10）;%得到系统的单位冲激函数，在10点处已经可以认为值是0
randn（'state',0）;
w=normrnd（0,2,1,500）;%产生题设的白噪声随机序列，标准差为2
x=filter（b,a,w）;%通过线形系统，得到输出就是题目中要求的（2,2）阶ARMA过程
figure
（1）;
plot（x,'r'）;
title（'邹先雄——样本函数'）;
Py_mean=mean（x）
Py_var=var（x）
%画出理论的功率谱密度曲线
delta=2*pi/1000;w_min=-pi;w_max=pi;Fs=1000;
w=w_min:
delta:
w_max;%得到数字域上的频率取样点，范围是[-pi,pi]
NS=1-0.3*exp（-i*w）+0.2*exp（-2*i*w）;%分子
DS=1;%分母
Gx=4*（abs（NS./DS）.A2）;%计算出理论值
Gx=Gx/max（Gx）;f=w*Fs/（2*pi）;%转化到模拟域上的频率
figure
（2）;
plot（f,Gx,'b'）;
title（'邹先雄一一理论的功率谱密度曲线'）;
%估计相关函数
Mlag=20;%定义最大自相关长度
Rx=xcorr（x,Mlag,'coeff）;
m=-Mlag:
Mlag;
figure（3）;
stem（m,Rx,'r.'）;
title（'邹先雄估计相关函数’）；
%画出估计的功率谱密度曲线
window=hamming（20）;%采用hanmming窗，长度为20
noverlap=10;%重叠的点数
Nfft=512;%做FFT的点数
Fs=1000;%采样频率，为1000Hz
[Px,f]=pwelch（x,window,noverlap,Nfft,Fs,'onesided'）;%估计功率谱密度
f=[-fliplr（f）f（1:
end）];%构造一个对称的频率，范围是[-Fs/2,Fs/2]
Py=[fliplr（Px）Px（1:
end）];%对称的功率谱
figure（4）;
plot（f,10*log10（Py）,'b'）;
title（'邹先雄一一估计的功率谱密度曲线’）；
%对实际和估计两功率谱密度曲线进行拟合
delta=2*pi/1000;w_min=-pi;w_max=pi;Fs=1000;
w=w_min:
delta:
w_max;%得到数字域上的频率取样点，范围是[-pi,pi]
NS=1-0.3*exp（-i*w）+0.2*exp（-2*i*w）;%分子
DS=1;%分母
Gx=4*（abs（NS./DS）A2）;%计算出理论值
Gx=Gx/max（Gx）;f=w*Fs/（2*pi）;%转化到模拟域上的频率
figure（5）;
plot（f,Gx,'r'）;
title（'邹先雄一一实际和估计两功率谱密度曲线的拟合'）;
holdon;
window=hamming（20）;%采用hanmming窗，长度为20
noverlap=10;%重叠的点数
Nfft=512;%做FFT的点数
Fs=1000;%采样频率，为1000Hz
b=[1-0.30.2];a=[1];%由描述的差分方程，得到系统传递函数
h=impz（b,a,10）;%得到系统的单位冲激函数，在10点处已经可以认为值是0
randn（'state',0）;
w=normrnd（0,2,1,500）;%产生题设的白噪声随机序列，标准差为2
x=filter（b,a,w）;%通过线形系统，得到输出就是题目中要求的（2,2）阶ARMA过程
[Px,f]=pwelch（x,window,noverlap,Nfft,Fs,'onesided'）;%估计功率谱密度
f=[-fliplr（f）f（1:
end）];%构造一个对称的频率，范围是[-Fs/2,Fs/2]
Py=[fliplr（Px）Px（1:
end）];%对称的功率谱
Py=10*log10（Py）;
Py=Py/max（Py）;
Py=-Py;Py=3*Py;Py=Py+4;%用来归一处理，使两者吻合
plot（f,Py,'b'）;
legend（'实际值','理论值'）;
gridon;
样本函数波形为：
邹先雄一样本函数
理论功率谱密度曲线为:
估计相关函数波形为:
邹先雄一估计相关函数
-20-15-10-505101520
估计功率谱密度曲线为:
实际和估计两功率谱密度曲线的拟合截图如下：
邹先雄——实际和估计两功率谱密度曲线的拟合
附程序运行后得到的均值与方差的截图，其中差，大小为3.9324:
y_mean为均值，大小为-0.1127;y_var为方
holdon;
window=hajiuning（20）;%采用haruiuiiirig窗*长厦为2Unoverlap=10;%重叠的点数
Nfft=512;%做FFI的点敎
Fs=lOOO;%采样频为1000Hz
b=[l-0,30.2];a=[l];%由IS述的差分方程，得到系统伎邀函数
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