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数量关系题解题技巧大全
数量关系题解题技巧大全
数学运算是公务员考试中绝大部分考生花费时间长、正确率低的一个部分，而时间和正确率往往取决于解题方法是否简便、有效。
今天我将就解题方法才能突破数学运算低分、耗时长的瓶颈，实现对数学运算的明确把握和合理运用为大家做出详细讲解。
下面我通过列举具体解题方法，剖析方法中蕴含的数学思想，使考生了解为什么要用这种方法，以及具体题目适合用什么样的方法，加深对数学思想的理解，强化对数学方法的掌握。
希望借助本文，更多的考生能够更加合理有效地运用数学运算方法，早日突破数学运算得分低、耗时多的瓶颈。
一、特值法
所谓特值法，就是在某一范围内取一个特殊值，将繁杂的问题简单化，这对于解有关不需整个解题思维过程的客观题十分有效。
我们常常会用到特殊值、特殊数列、特殊函数、特殊点、特殊方程等方法来找到特殊值，直接带入，或者考察特例、检验特例、举反例等等，总之就是把这个题目用特殊的问题进行检验，然后进行猜想，这是特殊化猜想。
例题:
2009年行测真题
某村的一块试验田，去年种植普通水稻，今年该试验田的1/3种上超级水稻，收割时发现该试验田的水稻总产量是去年总产量的1.5倍。
如果普通水稻的产量不变，则超级水稻的平均产量与普通水稻的平均产量之比是:
A.5:
2B.4:
3C.3:
1D.2:
1
【答案】A。
解析:
取特殊值。
设普通水稻的产量是1，则去年的总产量是1，今年的总产量就是1.5，今年普通水稻产量为2/3，超级水稻产量为1.5-2/3，而超级水稻只占1/3，所以如果都种超级水稻的产量就是3×（1.5-2/3），那么超级水稻的平均产量与普通水稻的平均产量之比是3×（1.5-2/3）:
1=2.5:
1=5:
2。
所以选A。
二、归纳法
数学归纳法也是解决数学运算问题的一个基本的方法，它是一种从已知条件入手，通过分析简单情况，归纳出解决此类题的规律的一种方法，对于解决那些不容易入手或表述复杂的问题十分有效。
注意，这种方法只是猜测而不是证明，有时候可能会得出不正确的答案，需要大家注意多加验证。
例题:
2008年行测真题
一对成熟的兔子每月繁殖一对小兔子，而每对小兔子一个月后就变成一对成熟的兔子，那么从一对刚出生的兔子开始，一年后可变成（）对兔子?
A.55B.89C.144D.233
【答案】C。
解析:
先列举出经过六个月兔子的对数是1，1，2，3，5，8。
很容易发现这个数列的特点:
即从第三项起，每一项都等于前两项之和。
所以按这个规律写下去，便可得出一年内兔子繁殖的对数:
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144。
可见一年内兔子
1
共有144对。
数学思想剖析:
以上两种方法数学思想依据是猜证结合思想。
很多时候，有些题目好像可以直接得到答案，可是写出解题过程却不那么容易，这时候我们可以对问题做出大胆的猜想，然后根据已知来证明猜想的正确性，这就是猜证结合思想。
在公务员行测考试中，我们常常用特值法、归纳法这两种方法来提出猜想，然后用综合法、分析法、穷举法、反证法等四种方法来证明我们提出的猜想。
三、推导法
我们处理事情或是解题的习惯思维是从事情的起始状态，根据将要发生的变化，推断结束时的状态;递推法是利用问题本身所具有的一种递推关系求解问题的一种方法。
用递推法解题，首先是要列出符合题意的递归关系式——递归方程，再解方程。
通常办法是按某一元素（或位置）或某一方式进行分类讨论，从而得出问题间的递推关系。
例题:
2009年行测真题
一个边长为80厘米的正方形，依次连接四边中点得到第二个正方形，这样继续下去可得到第三个、第四个、第五个、第六个正方形，问第六个正方形的面积是多少平方厘米?
A.128平方厘米B.162平方厘米
C.200平方厘米D.242平方厘米
【答案】C。
数学思想剖析:
推导法数学思想依据是化归思想。
所谓“化归”，就是转化和归结。
在解决数学问题时，人们常常将待解决的问题甲，通过某种转化过程，归结为一个已经解决或者比较容易解决的问题乙，然后通过问题乙的解答返回去求得原问题甲的解答，这就是化归方法的基本思想。
总而言之，化归就是要化复杂为简单，化陌生为熟悉。
推导法是最常用的化归方法。
化归方法还有分解与组合、构造法、定义回归法和升降维（立体化归）等。
四、分合法
分合法主要包括分类讨论法和分步讨论法两种。
在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。
而分步讨论法则是指有时候有些问题我们一步是无法解决的，此时需要把问题进行分步，按步骤一步一步地解决。
例题1:
2009年行测真题
有一批长度分别为3、4、5、6和7厘米的细木条，它们的数量足够多，从中适当选取3根木条作为三角形的三条边，可能围成多少个不同的三角形?
A.25个B.28个C.30个D.32个
【答案】D。
解析:
分情况讨论，
（1）等边三角形，有5种;
（2）等腰三角形，3为腰时，4，5可为底;4为腰时，3，5，6，7可为底;5为腰时，3，4，6，7可为底;6为腰时，3，4，5，7可为底;7为腰时，3，4，5，6可为底。
（3）三边互不相等时，3，4，7不能构成三角形，共有-1=9种。
综上所述，共有5+2+4+4+4+4+9=32个。
2
例题2:
2009年国考行测真题（分步解决）
用六位数字表示日期，如980716表示的是1998年7月16日。
如果用这种方法表示2009年的日期，则全年中六个数字都不相同的日期有多少天?
A.12B.29C.0D.1
【答案】C。
解析:
由于6个数各不相同，那么年份是09，月份只可能是12，而如果这样，具体的日期必须以“3”开头，一个月不可能超过31天，故没有符合要求的日期。
数学思想剖析:
分合法数学思想依据是分合思想。
在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。
分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。
同时，有时候有些问题我们一步是无法解决的，此时需要把问题进行分步，按步骤一步一步地解决，这就是分步讨论法。
分步思想也是一种重要的解题策略，它使大家把未知的问题转化成一个个简单的问题，体现了化复杂为简单的思想与分步整理的方法。
分合思想除了常用的分类讨论法、分步讨论法，还包括整体解决法和直解法。
五、方程法
方程法是指将题目中未知的数用变量（如x，y）表示，根据题目中所含的等量关系，列出含有未知数的等式，通过求解未知数的值，来解应用题的方法。
方程法应用较为广泛，公务员考试数学运算部分有相当一部分的题目都可以通过方程法来求解。
应用广泛，思维要求不高，易于理解掌握。
六、换元法
解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
换元的方法有:
局部换元、三角换元、均值换元等。
七、图解法
有些问题条件比较多，数量关系比较复杂，但如果使用适当的图形来表示和区分这些数量，会给人很直观的印象。
常用的图形有文氏图、线段图等。
例题:
2008年行测真题
台风中心从A地以每小时20公里的速度向东北方向移动，离台风中心30公里内的地区为危险区，城市B在A的正东40公里处。
B城处于危险区内的时间为:
A.1.5小时B.1小时C.0.5小时D.2小时
【答案】B。
数字推理篇:
（1）特殊数列:
特殊数列包含多重数列，因式分解数列，数位组合数列等，近三年来
3
一直作为广东省考的考查重点，三年一共考察了7道，可见其重要性，下面列出试题及其分析供广大考生参考。
1.1、2、0、3、-1、4、（）
A.-2B.0C.5D.6
解析:
首先观察数列的个数>=7，所以优先考虑多重数列。
可以交叉或者分组考察，不妨先交叉考察，分别观察数列的奇数项和偶数项，容易看出偶数项是2，3，4组成的等差数列，那么奇数项1，0，-1是公差为-1的等差数列，所要答案为-1-1=-2.
2.4、5、8、10、16、19、32、（）
A.35B.36C.37D.38
解析:
首先观察数列的个数>=7，所以优先考虑多重数列。
可以交叉或者分组考察，不妨先交叉考察，分别观察数列的奇数项和偶数项，容易看出偶数项是4，8，16,32组成的等比数列，奇数项是5,10，19
难以看出规律，所以考虑两两分组，（4,5）（8,10）（16，19）（32，（））看出每组两项的差为1,2,3所以要求答案的两个数字差值为4，那么答案就是32+4=36.
3.4，5，15，6，7，35，8，9，（）
A.27B.15C.72D.63
解析:
首先观察数列的个数>=7，所以优先考虑多重数列。
可以交叉或者分组考察，但是都没有明显规律，此时要考虑三三分组，（4,5,15）（6,7,35）（8,9，（）），不难看出15=（4-1）*5，35=（6-1）*7，所以结果为（8-1）*9=63
总结:
对于数列个数大于等于7的数列，优先考虑是多重数列，不妨简单分组或者交叉，一般规律都不难看出，但是如果规律不明显，记住要考虑三三分组。
4.1526，4769，2154，5397，（）
A.2317B.1545C.1469D.5213
解析:
首先观察数列特征，发现数列中的数字都长的比较像，数值比较大，所以考虑是数位组合题型，对于四位数字的数位组合问题，首先可以考虑中间分开，也就是两两一组，（15,26）（47,69）（21,54）（53,97）观察每组的差分别是11,22,33,44，所以要求答案的分组差为55，所以观察选项选C。
5.168，183，195，210，（）
A.213B.222C.223D.225
解析:
首先观察数列特征，发现数列中的数字都长的比较像，数值比较大，所以考虑是数位组合题型，对于三位数字的数位组合问题，首先可以考虑一二分或者二一分，然后看看数位间的和或者商，对于此题，发现168+1+6+8=183，183+1+8+3=195，195+1+9+5=210，答案是210+0+1+2=213.
6.2，3，6，8，8，4，（）
A.2B.3
C.4D.5
4
解析:
首先观察数列特征，数字比较小，都是一位，并且做差没有明显规律，这道题考察数位关系中的尾数关系，不难看出2*3=6，3*6=18取尾数为86*8=48取尾数8。
同理答案就是8*4=32取尾数2.
（2）递推数列
递推数列也是广东省考重点考察的题型之一，近三年考察了4道，考生朋友也要引起相当的重视。
递推数列一般分为和递推，倍递推，积递推，方递推，其中倍递推是省考近三年的考查重点。
1.2，1，5，7，17，（）
A.26B.31C.32D.37
解析:
首先观察数列特征，无明显特征，可以做差试探，无规律，考虑递推数列，采用圈三数法，圈到1,5,7可以看出1*2+5=7验证
2*2+1=5那么答案就是7*2+17=31.
2.1，2，6，16，44，（）
A.66B.84C.88D.120
解析:
首先观察数列特征，无明显特征，可以做差试探，无规律，考虑递推数列，采用圈三数法，圈到2,6,16很容易看出（2+6）*2=16验证
（2+1）*2=6那么答案就是（16+44）*2=120.
3.3，4，12，18，44，（）
A.44B.56C.78D.79
解析:
首先观察数列特征，无明显特征，可以做差试探，无规律，考虑递推数列，采用圈三数法，圈到4,12,18
二推一很难操作，那么大胆考虑一推一，12*2-6=18,4*2+4=12,3*2-2=4,18*2+8=44，可以看出原来邻项间有2倍的关系，并且修正项是等差震荡修正，那么最后的答案是44*2-10=78.
可以看出省考对于递推数列的考察还是有点难度的，希望广大考生朋友要多练，多想，同时要大胆的猜测并且验证，规律往往就会显现出来。
（3）幂次数列
幂次数列是对数字敏感度要求最高的一类数列，要求考生对常见幂次数以及其2以内修正项非常敏感，所以幂次数列也是广东省考的重点，近三年也是考察了2次，对于幂次数列广大考生一定要特别注意，在平时的训练中不断的培养自己的数字敏感度，只有这样，才能在紧张的考试时间内迅速做出判断，识别出幂次数列。
1.4、3、1、1/5、1/36、（）
A.1/92B.1/124C.1/262D.1/343
解析:
首先观察数列特征，发现两个分数，但是分数占少数，不考虑分数数列，发现1/36可以转化为6^（-2），1/5转化为5^（-1），3转化为3^1，4转化为2^2这时候看出1转化为4^0，底数等差，指数也是等差，那么答案就是7^（-3）=1/343
5
一、普通递推倍数数列
这类题目一般符合递增的特点，且相邻项变化适中，一般在两倍到五倍之间。
例1、5，6，16，28，60，（）
A.72B.84C.92D.116
解析:
递推规律为:
5×2-4=6，6×2+4=16，16×2-4=28，28×2+4=60，所以下一项应该是60×2-4=116。
选D。
例2、3，5，10，25，75，（），875
A.125B.250C.275D.350
解析:
an+2=（an+1-an）×5，（5-3）×5=10，（10-5）×5=25，（25-10）×5=75，（75-25）×5=250，（250-75）×5=875，选B。
二、双项倍数递推数列
这一类数列不再是一项的倍数加上另一项推出下一项，或者两项的加减后乘以一个倍数推出下一项，而是两项各自都有变化后再相加得到下一项。
例3、1,2,8,28,100,（）。
A.196B.248C.324D.356
解析:
an+2=3an+1+2an;1×2+2×3=8;2×2+8×3=28;8×2+28×3=100。
由此可知第一项的2倍加第二项的3倍的和为第三项，即28×2+100×3=356。
故选D。
三、其他特殊递推数列
例4、0.5，l，2，5，17，107，（）
A.1947B.1945C.1943D.1941
解析:
选A。
原数列递推关系为an-1×（an+1）+an=an+1，n>1。
例5、-2，1/2，4，2，16，（）
A.32B.64C.128D.256
解析:
选D，推理特点为
四、递推倍数数列新题型预测
以上介绍了联考考过的一些递推倍数的题型，联考尚未考察过，却又十分重要的一种新型递推倍数数列——隔项递推，需要引起大家的注意。
例6、12，,4，8，,32，,24，768，（）
A.432B.516C.744D.,1268
解析:
选C。
我们容易看出规律6+（-4）=8、-4×8=-32、8+（-32）=-24、-32×（-24）=768，所以答案为-24+768=744。
整除判定基本法则
2，4，8整除（余数问题相同）
一个数能被2（或者5）整除，当且仅当末一位数字能被2（或者5）整除;
一个数能被4（或者25）整除，当且仅当末两位数字能被4（或者25）整除;
一个数能被8（或者125）整除，当且仅当末三位数字能被8（或者125）整除
6
3，9整除判定基本法则
一个数字能被3整除，当且仅当其各位数字之和能被3整除;
一个数字能被9整除，当且仅当其各位数字之和能被9整除;
11整除判定法则
一个数是11的倍数，当且仅当其奇数位之和与偶数位之和的差为11的倍数
奇偶运算基本法则
一、任意两个数的和如果是奇数，那么差也是奇数;如果和是偶数，那么差也是偶数。
二、任意两个数的和或差是奇数，则两数奇偶相反;和或差是偶数，则两数奇偶相同
倍数关系核心判定特征
如果，则
a是m的倍数;b是n的倍数。
如果，则a是m的倍数;b是n的倍数。
如果，则应该是m?
n
的倍数。
以上几个特性是数字特征法经常运用到的特性，那么通过几个例题来阐述以上特征的具体用法。
【例题1】某次测验有50道判断题，每做对一题得3分，不做或做错一题倒扣1分，某学生共得82分，问答对题数和答错题数（包括不做）相差多少,
A.33B.39C.17D.16
[答案]D
[解析]答对的题目+答错的题目=50，是偶数，所以答对的题目与答错的题目的差也应是偶数，但选项A、B、C都是奇数，所以选择D。
利用奇偶特性，两数之和是偶数，那么两数之差也是偶数。
【例题2】两个数的差是2345，两数相除的商是8，求这两个数之和,
A.2353B.2896C.3015D.3456
[答案]C
[解析]两个数的差是2345，所以这两个数的和应该是奇数，排除B、D。
两数相除得8，说明这两个数之和应该是9的倍数，所以答案选择C。
利用奇偶特性和倍数特征求解（应该是m?
n的倍数）
【例题3】某剧场共有100个座位，如果当票价为10元时，票能售完，当票价超过10元时，每升高2元，就会少卖出5张票。
那么当总的售票收入为1360元时，票价为多少元,
A.12元B.14元C.16元D.18元
[答案]C
[解析]根据票价和票数的关系可知票价×票数=1360，而票价在选项中已经告诉了，票数不能是分数和小数，也就是说1360能够整除票价，选项中只有16能够被1360整除。
7
利用整除特性解题很简单就能得到答案。
【例题4】甲、乙两人共有260本书，其中甲的书有13%是专业书，乙的书有12.5%是专业书，问甲有多少非专业书,
A.75B.87C.174D.67
[答案]B
[解析]甲的书中，专业书占13%,13/100;乙的书中，专业书占12.5%,1/8。
书的本数只能是整数，不会出现分数或是小数，所以说甲的书的总数是100的倍数，而在小于260的书中能被100整除的只有100和200。
而乙的书的总数能够被8整除。
若甲有200本书，则乙有60本，不能被8整除，排除。
故甲有100本书，得到甲的专业书为87本。
利用整除特性解题。
（一）尾数法
尾数法是指在不直接计算算式各项值的情况下，只计算算式各项的尾数，从而得到结果的尾数，以确定选项中符合条件的答案的方法。
尾数法一般适用于加、减、乘（方）这三种情况的运算。
一般选项中四个数的尾数各不相同时，可以优先考虑尾数法。
两个数的尾数之和等于和的尾数，两个数的尾数之差等于差的尾数，两个数的尾数之积等于积的尾数。
尾数本质上是原数除以10的余数，尾数法本质上是同余的性质。
中公特别提示:
算式中如果出现了除法，请尽量不要使用尾数法。
【例题】
173×173×173,162×162×162=（）。
A.926183
B.936185
C.926187
D.926189
【思路点拨】此题直接计算，计算量很大，而且容易算错。
考虑到选项中各项尾数均不相同，因此考虑使用尾数法。
【解析】选项四个数的尾数各不相同，直接计算各项尾数，3×3×3-2×2×2=27-8=19;可知，计算结果的尾数应该是9，因此只能选D。
（二）弃九法
与尾数法类似的方法还有“弃九法”。
把一个数的各位数字相加，直到和是一个一位数（和是9，要减去9得0），这个数就叫做原数的弃九数，如1+4+6+3+5+7=26，2+6=8，则146357的弃九数是8。
当尾数法不能使用的时候，可以考虑采用“弃九法”来得到答案。
与尾数法类似，两个数的弃九数之和等于和的弃九数，两个数的弃九数之差等于差的弃九数，两个数的弃九数之积等于积的弃九数。
弃九数本质上是原数除以9的余数，弃九法本质上也是同余的性质。
中公教育专家特别提示:
弃九法同样不适用于除法。
8
【例题】
11338×25593的值为:
A.290133434B.290173434C.290163434
D.290153434
【思路点拨】此题数据很大，直接计算相当耗时;各项答案尾数相同，无法使用尾数法。
此时可以考虑弃九法。
【解析】1+1+3+3+8=16，1+6=7，11338的弃九数为7
2+5+5+9+3=24，2+4=6，25593的弃九数为6
7×6=42，4+2=6，则答案的弃九数为6。
经计算，只有选项B的弃九数是6。
（三）提取公因式法
运用提取公因式法进行简化计算是一个最基本的四则运算方法，在公务员考试中往往可以通过提取公因式法，降低运算量，从而直接得出答案。
一、数字推理备考
1.和差积幂数列应全面系统的掌握。
变式数列，如分数数列，长数列等是由基础数列变形得到的。
所以重点放在基础数列的学习上。
例:
1，2，4，4，9，6，16，（），（）
A.25，8B.8，25C.9，26D.7，24
【京佳解析】本题属于长数列中的奇偶类，是由两个基础数列变形得到的。
奇数项为:
1，4，9，16。
分别为1，2，3，4的平方数，故下一个奇数项应为25。
偶数项为:
2，4，6。
为一个公差为2的等差数列，故下一个偶数项应为8。
所以两个括号应依次填8，25。
故选B。
2.平时应训练多角度思考。
有许多题可以做积、做幂，但做多级差也能做出来。
所以，在没有找到思路的情况下，可以尝试做多能差。
例:
13，26，40，56，76，（）。
A.104B.128C.94D.112
【京佳解析】本题可以做积:
13,2×6，1，26,4×6，2，40,6×6，4，56,8×6，8，76,10×6，16，2，4，6，8，10成等差数列;1，2，4，8，16成等比数列。
故空缺处应为12×6，32,104。
故选A。
若看不出这个规律，可以做多积差，第一次后项减前项依次得到13，14，16，20。
第二次后项减前项依次得到1，2，4。
故空缺处应为（20，8），76,104。
同样得出A选项。
3.培养数字敏感性。
要把数字推理做好，必须对数字要敏感。
建议考生背诵25以内数字的平方数、10以内数字的立方数、6以内数字的四次方，2的10次方以内的数。
例如:
见到数字62，你应该想到它可能是4的3次方减2，或是8的平方减2。
4.多做习题，找到做题的感觉。
在经过一定练习题的训练之后，看到一个题后，应能够在最短的时间内判断出该用什么方法去做。
9
二、数学运算备考
数学运算部分题型很多，解题方法也很丰富。
常考题型包括:
计算问题、比例问题、工程问题、路程问题、时间问题，集合问题，几何问题等题型。
1.考生要学会运用解题技巧，比如尾数法、代入排除法、整除特性等，从而快速定位答案，节省解题时间，提高解题速度。
例:
已知甲、乙两人共有260本书，其中甲的书有13%是专业书，乙的书有12.5%是专业书，问甲有多少本非专业书（）。
A.67B.75C.87D.174
【京佳解析】本题可以按常规方法来解，但麻烦，必然浪费时间。
可用整除特性法来解。
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