初升高初中数学与高中数学衔接紧密的知识点.docx

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初升高初中数学与高中数学衔接紧密的知识点

初中数学与高中数学衔接紧密的知识点

1绝对值：

⑴在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。

⑵正数的绝对值是他本身，负数的绝对

a（a0）

1

值是他的相反数，o的绝对值是o,即a=<0（a=0）⑶两个负数比较大小，绝对值大的反而小

_a（acO）

⑷两个绝对值不等式：

|x|：

：

：

a（a.0）：

二-a■■xa；|x|.a（a•0）：

二x”一a或x.a

2乘法公式：

⑴平方差公式：

a2-b2=（a•b）（a-b）

⑵立方差公式：

3322

a-b=（a-b）（aabb）

⑶立方和公式：

3322

ab-（ab）（a-abb）

⑷完全平方公式：

2222222

（a工b）=a工2abb，（abc）=abc2ab2ac2bc

⑸完全立方公式：

（a二b）3二a3二3a2b3ab2二b3

3分解因式：

⑴把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。

⑵方法：

①提公因式法，②运用公式法，③分组分解法，④十字相乘法。

4一元一次方程:

⑴在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次

方程。

⑵解一元一次方程的步骤：

去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为i

⑶关于方程ax=b解的讨论①当a=0时，方程有唯一解x=b；②当a=0，b=0时，方程无解

a

③当a=0，b=0时，方程有无数解；此时任一实数都是方程的解。

5二元一次方程组：

（1）两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。

（2）适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。

（3）二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。

（4）解二元一次方程组的方法：

①代入消元法，②加减消元法。

6不等式与不等式组

（1）不等式：

1用符不等号（>、工、<）连接的式子叫不等式。

2不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。

3不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。

4不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。

（2）不等式的解集：

①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

2一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

3求不等式解集的过程叫做解不等式。

（3）一元一次不等式：

左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。

（4）一元一次不等式组：

①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式

组。

②一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。

③求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。

2

7一元二次方程：

axbxc=0（a=0）①方程有两个实数根：

二

f△:

>0

=（为X2）2-2x1X2,

=（为X2）（X；-XjX?

X；）=（为x2（x1X2）2_3XjX2

8函数

（1）变量：

因变量，自变量。

在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点自变量，用竖直方向的数轴上的点表示

因变量。

（2）一次函数：

①若两个变量y,x间的关系式可以表示成y=kxub（b为常数，k不等于o）的形式，则称y是x的一次函数。

②当b=o时，称y是x的正比例函数。

（3）一次函数的图象及性质①把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标与纵坐

标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。

②正比例函数y=kx的图象是经过原点的一条直线。

③在一次函数中，当k：

：

o，b：

：

：

o,则经2、3、4象限；当k:

:

o，b.o

时，则经1、2、4象限；当ko，b：

：

：

o时，则经1、3、4象限；当ko，bo时，则经1、2、3象限。

④当ko时，y的值随x值的增大而增大，当k：

：

：

o时，y的值随x值的增大而减少。

（4）二

次函数：

b4ac_b2b

①一般式：

y=ax2bxc=a（x•——）2（a=O），对称轴是x=-——,顶

2a4a2a

4ac—b2

时，y取得最大值io平面直角坐标系

（1）在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成

4a

平面直角坐标系。

水平的数轴叫做x轴或横轴，铅直的数轴叫做y轴或纵轴，x轴与y轴统称坐标轴,

他们的公共原点0称为直角坐标系的原点。

（2）平面直角坐标系内的对称点：

设M（x],yj，M（x2,y2）是直角坐标系内的两点，

x—••x

①若M和M'关于y轴对称，则有12。

②若M和M'关于x轴对称，则有

[y1=y2

为=x?

-亠捲--x2

。

③若M和M'关于原点对称，则有1。

y1--yy--y2

洛=y2

④若M和M'关于直线y=x对称，则有1。

1%=X2

⑤若M和M'关于直线x=a对称，则有X12a他或X22aXr。

Iy^y2l*=讨2

衔接知识点的专题强化训练

★专题一数与式的运算

【要点回顾】1•绝对值

[1]绝对值的代数意义：

•即|a戶•

[2]绝对值的几何意义：

的距离.

[3]两个数的差的绝对值的几何意义：

a—b表示的距离.

[4]两个绝对值不等式

|x|：

：

a（aO）=；

2-333

，求X3+y3的值.

例7化简：

（1）

2

x3x96xx「1’

2【巩固练习】

9x-x62x

解不等式

设x=—一y=）一，求代数式,3-2，y.32

设x二5一1，求X4X2•2x—1的值.

2

计算（xyz）（-xyz）（x-yz）（xy-z）

因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形•在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用•是一种重要的基本技能.

因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式）外,

还有公式法（立方和、立方差公式）、十字相乘法和分组分解法等等.

1.公式法常用的乘法公式：

[1]平方差公式：

;[2]完全平方和公式：

[3]完全平方差公式：

[4]（abc）2二

[5]a3+b3=

（立方

33

和公式）[6]a—b

（立方差公式）

2•分组分解法

从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式•而对于四项以上的多项式，如ma■mb■na■nb既没有公式可用，也没有公因式可以提取•因此，可以先将多项式分组处理•这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法•分组分解法的关键在于如何分组.

常见题型：

（1）分组后能提取公因式

（2）分组后能直接运用公式

3•十字相乘法

2

（1）x（pq）xpq型的因式分解

这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：

①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③一次项

系数是常数项的两个因数之和.

22

丁x（pq）xpq二xpxqxpq二x（xp）q（xp）=（xp）（xq），

2

•-x（pq）xpq=（xp）（xq）

运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式.

（2）一般二次三项式ax2bx■c型的因式分解

2

由a1a2x■（a1c2'a2C|）x■GO=（印乂■c1）（a2x■c2）我们发现，二次项系数a分解成a1a2，

日1*C1

常数项c分解成dc2，把a1,a2,ci,c2写成a2C2，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到aic2a2c1，如果它正好等于axbxBC一次项系数b，那么axbx就可以分解成

（a）xci）（a2xc2），其中ai,G位于上一行，a2,c2位于下一行•这种借助画十字交叉线分解系数,从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法.

必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解.

4•其它因式分解的方法

其他常用的因式分解的方法：

（1）配方法

（2）拆、添项法【例题选讲】

例1

（公式法）分解因式：

⑴3a3b_81b4；

7.6

（2）a-ab

例2

（分组分解法）分解因式：

（1）ab（c2

-d

2）—（a2—b2）cd

222

（2）2x24xy2y-8z2

例3

（十字相乘法）把下列各式因式分解：

（1）

2

x5x-24

2

（2）x-2x-15

（3）

x2xy-6y2

（4）

（x2

x）2-8（x2x）12

例4

（十字相乘法）把下列各式因式分解：

（1）

12x2-5x-2

；

（2）5x26xy-8y2

例5（拆项法）分解因式X3-3x2•4【巩固练习】

1•把下列各式分解因式：

（1）ab（c2-d2）cd（a2-b2）

（2）x2-4mx8mn-4n2

4323223

⑶x64（选做）（4）x-11x31x-21（选做）（5）x-4xy-2xy8y

2222212

2.已知ab,ab=2，求代数式ab2abab的值.3.现给出三个多项式，x•x-1，

32

1212一一

x亠3x亠1，x—x，请你选择其中两个进行加法运算，并把结果因式分解

22

3223

4.（选做）已知abc=0，求证：

aacbc-abcb=0.

★专题三一元二次方程根与系数的关系

【要点回顾】1.一元二次方程的根的判断式

一元二次方程ax2bx•c=0（a=0），用配方法将其变形为：

.

由于可以用b2-4ac的取值情况来判定一元二次方程的根的情况.因此，把b2-4ac叫做一元二次方程

ax2bx=0（a=0）的根的判别式，表示为：

厶二b2—4ac

对于一元二次方程

ax2+bx+c=0（a^0），有

[1]

当△

0

时,

方程有两个不相等的实数根

[2]

当△

0

时,

方程有两个相等的实数根：

[3]

当△

0

时，

方程没有实数根.

2.一元二次方程的根与系数的关系定理：

如果一元二次方程ax2bx■c=0（a=0）的两个根为

x1,x2，那么：

x1x2,x1x2=

说明：

一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦

达定理”.上述定理成立的前提是厶_0.

特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2+px+q=0,若X1,X2是其两根，由韦达定理可知X1+x=-p，x1•X2=q，即p=-（X1+X2），q=X1•X2，

所以，方程X+px+q=0可化为X—（X1+X2）x+X1•X2=0，由于X1，X2是一元二次方程X+px+q=0的两根，所以，X1，X2也是一元二次方程X2—（X1+X2）X+X1•X2=0.因此有

以两个数X1，X2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2—（X1+X2）X+X1•X2=0.

【例题选讲】

2

例1已知关于X的一元二次方程3x-2x•k=0，根据下列条件，分别求出k的范围：

（1）方程有两个不相等的实数根；

（2）方程有两个相等的实数根

3）方程有实数根；（4）方程无实数根.

（选做）已知实数x、y满足x2亠y2—^xy亠2x—■y亠1=0，试求x、y的值.

2若x1,x2是方程x2x-2007二0的两个根，试求下列各式的值：

2211

（1）X]■X2;

（2）

X1x2

2

已知x1,x2是一元二次方程4kx-4kx•kT=0的两个实数根.

3

⑶（为-'5）（x2-'5）；

（1）是否存在实数k，使（2x1-x2）（x,-2x2）成立？

若存在，求出

2

k的值；若不存在，请说明

理由.

（2）

k的整数值.

求使昼•空_2的值为整数的实数

X2x1

解：

⑴假设存在实数k,使

3、

（2

2

一元二次方程

2

4kx-4kxk*1=0的两个实数根,

Xi,x2是一元二次方程4kx2「4kxk*1=0的两个实数根，二

‘420

2二k<0，又

△=（—4k）2—44k（k十1）=—16k王0

X）冷=1

k+1

XX2:

4k

222k+9

（2X|-乂2）（为一2x2）=2（x-|x2）-5x^2=2（x-|x2）-9x-|X2:

4k

3二不存在实数k，使（2为-x2）（x,-2x2）成立.

2

x1屜xj+x22（为+x2）24k4

（2）v」2「21—-21244二

x2xx-ix2x-ix2k+1k+1

X1X2

X1X2

•••要使其值是整数，只需k1能被4整除，故kT二1「2,_4,注意到k0,

要使互•邑-2

X2X1

的值为整数的实数k的整数值为-2,-3,-5.

【巩固练习】1.若X1,X2是方程2x2-6x•3=0的两个根,

则丄•丄的值为（）

X1X2

c.1

2

2

2.若t是一元二次方程ax■bx，c=0（a=0）的根，

2

M=（2atb）的关系是（）

a.厶=Mb.=「Mc.—MD.

22

A.2

B.-2

D.

则判别式厶=b2

9

2

-4ac和完全平方式

大小关系不能确定

•p=0的两实

3.设x-i,x2是方程xpx0的两实根，x11,x21是关于x的方程xqx

根，贝寸p=-,q=.

4•已知实数a,b,c满足a=6—b,c2=ab—9，则a=,b=,c=_

5.已知关于x的方程X23^^^0的两个实数根的平方和等于11,求证：

关于x的方程

22

（k-3）xkmx6m-4=0有实数根.

6•若x1,x2是关于x的方程x-（2k1）xk，1=0的两个实数根，且x1,x2都大于1.

1

⑴求实数k的取值范围；⑵若二，求k的值.

x22

专题四平面直角坐标系、一次函数、反比例函数【要点回顾】

1.平面直角坐标系

[1]组成平面直角坐标系。

叫做x轴或横

轴，叫做y轴或纵轴，x轴与y轴统称坐标轴，他们的公共原点o称为直角坐标系的原点。

[2]平面直角坐标系内的对称点：

对称点或对称直线方程

对称点的坐标

x轴

y轴

原点

点（a,b）

直线x=a

直线y=b

直线y=X

直线y=—x

2.函数图象

[1]一次函数：

称y是x的一次函数，记为：

y=kx■b（k、b是常数，k工o）

特别的，当b=o时，称y是x的正比例函数。

[2]正比例函数的图象与性质：

函数y=kx（k是常数，k^0）的图象是的一条直线，当时，

图象过原点及第一、第三象限，y随x的增大而；当时，图象过原点及第二、第四象限，

y随x的增大而.

[3]一次函数的图象与性质：

函数y二kxb（k、b是常数，k工0）的图象是过点（0，b）且与直线y=kx平

行的一条直线.设y=kxb（k^0），则当时，y随x的增大而;当时，y随x的增大

而.

k

[4]反比例函数的图象与性质：

函数y（k工0）是双曲线，当时，图象在第一、第三象限，在每个

x

象限中，y随x的增大而；当时，图象在第二、第四象限.，在每个象限中，y随x的增大

而.双曲线是轴对称图形，对称轴是直线y=x与yx；又是中心对称图形，对称中心是原

点.【例题选讲】

例1已知A2,y1、BX2,-3，根据下列条件，求出A、B点坐标.

（1）A、B关于x轴对称；

（2）A、B关于y轴对称；（3）A、B关于原点对称.

例2已知一次函数y=kx+2的图象过第一、二、三象限且与x、y轴分别交于A、B两点，O为原点，若△AOB的面积为2，求此一次函数的表达式。

k

例3如图，反比例函数y的图象与一次函数y=mx，b的图象交于A（1,3），B（n1）两点.

x

（1）求反比例函数与一次函数的解析式；

（2）根据图象回答：

当x取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值.解：

【巩固练习】

图（12）

2.如图，平行四边形ABCDhA在坐标原点,求B,C,D点的坐标.

=2.2,

3.（选做）如图，已知直线

y=〔x与双曲线y（k■0）交于A,B两点，且点A的横

2x

坐标为4.

（1）求k的值;

y*

k

（k0）于P,Q两点（P点在第一象限）

x

顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标.专题五二次函数

（2）过原点0的另一条直线

l交双曲线y

，若由点P为

【要点回顾】

1.二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质问题[1]函数y=ax?

与y=x的图象之间存在怎样的关系?

问题[2]函数y=a（x+h）2+k与y=ax

的图象之间存在怎样的关系?

由上面的结论，我们可以得到研究二次函数

由于y=ax'+bx+c=a（x+

y=ax2+bx+c（a^0）的图象的方法：

b、,2bb2、

x）+c=a（x+x+2）+

aa4a

b2bb2_4ac

——=a（x■——）2-—,所以，y=ax2+bx+c（a^0）的图象可以看作是将函数

4a2a4a

作左右平移、上下平移得到的，二次函数y=ax?

+bx+c（a工0）具有下列性质：

[1]当a>0时，函数y=ax2+bx+c图象开口方向；顶点坐标为

线;当时，y随着x的增大而；当时,y随着7而曾大而

时，函数取最小值.

[2]当a<0时，函数y=ax?

+bx+c图象开口方向

线;当时，y随着x的增大而;当

函数取最大值—

）

上述二次函数的性质可以分别通过上图直观地表示岀来.于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题.

2.二次函数的三种表示方式

[1]二次函数的三种表示方式：

（1）.一般式：

;

（2）.顶点式：

;

（3）.交点式：

.

说明：

确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法,

y=ax2的图象

，对称轴为直

;当

顶点坐标为，对称轴为直

时，y随着x的增大而;当时,

可以借助

在选择把二次函数的关系式设成什么形式时,

可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则•二次函数的关系式可设如下三种形式：

1给出三点坐标可利用一般式来求；

2给出两点，且其中一点为顶点时可利用顶点式来求.

3给出三点，其中两点为与x轴的两个交点（x1,0）.（x2,0）时可利用交点式来求.

3•分段函数

一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数.

【例题选讲】

例1求二次函数y=—3x2-6x+1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当

x取何值时，y随x的增大而增大（或减小）？

并画出该函数的图象.

例2某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表所示：

x/元

130

150

165

y/件

70

50

35

若日销售量y是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？

此时每天的销售利润是多少？

2

例3已知函数y=x,-2_x_a，其中a_-2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值.

例4根据下列条件，分别求岀对应的二次函数的关系式.

（1）已知某二次函数的最大值为2,图像的顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-1）;

（2）已知二次函数的图象过点（一3，0），（1，0），且顶点到x轴的距离等于2;

（3）已知二次函数的图象过点（一1，-22），（0，-8），（2，8）.

例5在国内投递外埠平信，每封信不超过20g付邮资80分,超过20g不超过40g付邮资160分,超过40g不超过60g付邮资240分，依此类推，每封xg（0

分）？

写出函数表达式，作岀函数图象.

分析：

由于当自变量x在各个不同的范围内时，应付邮资的数量是不同的•所以，可以用分段函数给

出其对应的函数解析式•在解题时，需要注意的是，当x在各个小范围内（如20

对应的函数值（邮资）并不变化（都是160分）.

解：

设每封信的邮资为y（单位：

分），则y是x的函数.这个函数的解析式为

80,x运（0,20]

160x^（20,40]

y£40,x（40,60]

320x（60,80]

400,x（80,100]

y（分）i

400

320

oV

240

I-rt-a

jV

160

Q*

80（

\——•

O20406080100x（克）

图2.2-9

由上述的函数解析式，可以得到其图象如图所示.

【巩固练习】1•选择题:

（1）

（）

（D）（1，4）

（）

把函数y=-（x-1）°+4的图象的顶点坐标是

（A）（-1,4）（B）（-1，-4）（C）（1，-4）

（2）函数y=-x2+4x+6的最值情况是

（A）有最大值6（B）有最小值6

（C）有最大值10（D）有最大值2

（3）函数y=2x2+4x-5中，当一3