矩阵在线性方程组中的应用.docx
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矩阵在线性方程组中的应用
矩阵在线性方程组中的应用
矩阵和线性方程组都是高等数学的重要教学内容。
在高等数学教学中利用矩阵解线性方程组的方法基本上是所知的固定几种：
利用矩阵初等变换、克拉默法则、高斯一若尔当消去法。
但是解一个线性方程组有时需要几种方法配合使用，有时则需要选择其中的最简单的方法。
而对于一些特殊的线性方程组的解法很少有进行归类、讲解。
我们希望可以通过对本课题的研究，总结和归纳用特殊矩阵解几类特殊线性方程组的解法。
关键词矩阵；线性方程组；齐次线性方程组；非齐次线性方程组
MATRICESNTHEAPPLICATIONSOFTHESYSTEMDFLINEAREQUATIONS
ABSTRACT
Matricesandsystemoflinearequationsareimportantcontentofadvaneedmathematics.Weoftenuseseveralfixedmethodstosolvesystemoflinearequationsinadvaneedmathematics,suchasMatrixtransformations;Cramer'sRuleand
Gauss-Jordaneliminationmethod.Butsometimes,weneedtochooseoneofthemost
simpleways,orweneedtouseseveralmethodstosolvesystemoflinearequations.Forsomespecialsolutionmethodofsystemoflinearequations,therearefewclassificationandexplanationindetail.Wehopethatwecanresearch,summarizes
andinducessolutionmethodofsomespecialsystemoflinearequationswithspecialmatrices.
KEYWORDSmatrices;systemoflinearequations;homogeneoussystemoflinearequations;nonhomogeneoussystemoflinearequations
中文摘要0
英文摘要1
目录2
引言0
1.矩阵和线性方程组的概述0
1.1矩阵的概念0
1.2线性方程组的概念1
1.3线性方程组解的情况2
2.矩阵在线性方程组中的应用2
2.1克拉默法则2
2.2高斯消元法4
2.3非齐次线性方程组新解法的解题步骤5
2.4直接通过矩阵变换及运算求出方程组的解法6
2.5利用追赶法解线性方程组8
2.5.1LU分解8
2.5.2追赶法9
2.6利用分块矩阵求解非齐次线性方程组11
2.7用加边矩阵求解非齐次线性方程组13
3•结论16
参考文献16
致谢错误!
未定义书签。
矩阵的概念最早在19世纪由英国数学家凯利提出。
在数学史上，研究过矩阵论的著名数学家有许多。
在文献［1］中介绍了英国数学家西尔维斯特于1852年对矩阵的合同发现著名的“惯性定理”。
在文献［2］中英国数学家凯莱发表了重要文章《矩阵论的研究报告》，对矩阵的基本理论进行了系统的阐述。
当然还有许多数学家对矩阵的发展做出了伟大的贡献。
随着时代的不断发展，矩阵已经在各个领域得到了广泛的运用，是一种非常常用的用
具。
在数学领域中作为解决线性方程的工具之一，前人对此已经做了大量的的研究。
1693
年，微积分的发现者之一德国数学家莱布尼茨建立了行列式论。
1750年，瑞士数学家克莱
姆其后又定下了克拉默法则（又称克莱姆法则）。
1800年，高斯和威廉•若尔当建立了人
们熟知的高斯一若尔当消去法。
线性方程组是各个方程关于未知量均为一次的方程组。
在文献［3］中了解到线性方程
组在线性代数的教学中非常重要，行列式、矩阵、向量组的线性相关性、线性空间的基变换、坐标变换等，都和线性方程组有着非常密切的联系。
矩阵和线性方程组都是高等数学的重要教学内容，矩阵和线性方程组是相辅相成的，在高等数学教学中利用矩阵解线性方程组的方法基本上是所知的固定几种。
对于一些线性方程组的特殊解法很少有进行归类、讲解。
本文主要研究用特殊矩阵解一些线性方程组的方法，通过认真阅读本课题相关文献，如陈祥云的《矩阵的初等变换及其应用》，辛奎东的《关于线性方程组新解法的探索》，刘红旭的《利用分块矩阵求解非齐次线性方程组》，
杨可的《用加边矩阵求解非齐次线性方程组的尝试》等等，分析、总结和归纳用特殊矩阵解线性方程组的解法。
1.矩阵和线性方程组的概述
1.1矩阵的概念
a11a1n
由mn个数aij（1im,1jn），排成m个横行n个竖列的数表，称为m
am1amn
行n列矩阵或mn级矩阵，简称矩阵。
数a0位矩阵的元素，矩阵常简单记为A或B或C,
或简记为Amn，Amn等。
1.2线性方程组的概念
线性方程组的一般形式如下：
a11x1
a12x2
a1nxn
b1
a21x1
a22x2
a2nxn
b2
（1-1）
am1x1
am2x2
amnxn
bm
其中x1,x2,xn表示n个未知量，m是方程组的个数，a.
j则表示方程组的系数，
bi称为常数
项。
假如所有的常数项bi都等于0，即为
a11x1
a12x2
a1nxn
0
a21x1
a22x2
a2nxn
0
（1-2）
am1x1
am2x2
amnxn
0
则方程组（1-2）称为齐次线性方程组。
否则称为非其次线性方程组。
线性方程组（1-1）的解是数域K的一个有序数组
c1,c2,,cn，
当未知量x1,x2,xn分别用c1,c2,,cn代入时，（1.1）中的每个方程都成立。
这里将方程组（1-1）记为矩阵形式
a11
a12
a1n
a21A21
a22
M
MO
M
am1
am2
b1
b2
amn
B
。
M
在此处把A称为这个线性方程组的系数矩阵，假如再将常数项B添加进去，让它称为矩阵的最后一列：
耳2
L
Cn
b
a21
a22
L
a2n
b2
M
M
O
M
M
am1
am2
L
amn
bm
称其为此线性方程组的增广矩阵，记为
入。
1.3线性方程组解的情况
在求解线性方程组时，首先需要讨论线性方程组解的情况。
它可能无解，可能存在唯一解或者可能存在无穷多组解。
在这里，我们讨论线性方程组解的情况，以及它的通解表示形式。
对于一般情况下的线性方程组（1-1），将它的增广矩阵A化为行阶梯矩阵。
这个阶梯形矩阵在适当调动前n列的顺序之后可能有两种情形：
c11
C|2
L
Gr
L
C1n
a
5
C12
L
C1r
L
Gn
d1
0
022
L
Or
L
C2n
d2
0
°22
L
C2r
L
C2n
d2
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
0
0
L
Crr
L
Crn
dr或者
0
0
L
Crr
L
Crn
dr
0
0
L
0
L
0
dr1
0
0
L
0
L
0
0
0
0
L
0
L
0
0
0
0
L
0
L
0
0
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
0
0
L
0
L
0
0
0
0
L
0
L
0
0
其中Ci
0,i
1,2,L
r,dr
1
0。
在前一种情况我们判定为原来方程组无解，
而在后一
种情形方程组有解。
我们对后面一种情况进行讨论：
a:
若rn，则原方程组（1-1）有唯一解。
b:
若且rn,则原方程组（1-1）有无穷多组解。
这无穷多组解可以用一般解来表示,其中自由变量有nr个，主变量有r个。
2.矩阵在线性方程组中的应用
2.1克拉默法则
在这里简单介绍了利用克拉默法则解线性方程组。
克拉默法则：
如果含有n个方程的n元线性方程组
则方程组（2-2）有唯一解，并且
式。
下面运用克拉默法则解一个简单的线性方程组。
解线性方程组
例2.1.1
2x1x25%x48,
3x2
6x4
9,
2x2
x3
2x4
5,
4x2
7X3
6x40
8
1
5
1
2
8
5
1
9
3
0
6
81,
detB2
1
9
0
6
5
2
1
2
0
5
1
2
0
4
7
6
1
0
7
6
detBi
108,
2
1
8
1
2
1
5
8
1
3
9
6
27
detB4
1
3
0
9
0
2
5
2
0
2
1
5
1
4
0
6
1
4
7
0
detB3
T
3,4,1,1。
例2.2.2当下述方程组有非零解时，a取何值时：
a2为2x22x30,
2为a1x24x30,
2为4x2a1x30.
解：
该齐次方程组有非零解，当且仅当其系数矩阵的行列式
0,
detA
由上可知，当齐次方程组有非零解时，a3或a6
2.2高斯消元法
高斯消元法也是一种常用的解线性方程组的方法。
对于含有m个方程，n个未知量的n元线性方程组
anX1
a12X2
3门人
th
a?
1X[
a?
2X2
a2nXn
b2
am1Xl
am2X2
amnXn
bm
首先用初等行变换先把上面方程组的增广矩阵化成阶梯形矩阵，然后写出该阶梯形矩
阵所对应的方程组，逐步回代，即可以求出方程组的解。
因为它们为同解方程组，所以也就得到了上面方程组的解。
这种方法被称为高斯消元法。
解：
先写出增广矩阵AB，再化成阶梯形矩阵，即
11211
04111
00666
00000
根据最后一个增广矩阵可以得出其表示的线性方程组为
4x2x3x41
6x36x46
将最后一个方程乘6，再将X4项移至等号的右端'得
X3X41
将其代入第二个方程，解得
1
X22
再将X2，X3代入第一个方程组，解得
X-IX4
2
因此，方程组的解为
X1
X2
X3X41
其中X4可以任意取值
2.3非齐次线性方程组新解法的解题步骤
在文献［7］中介绍了非齐次线性方程组新解法的解题步骤:
（1）约化阶梯形矩阵。
（2）写出对应的方程组。
（3）
其它缺失的变量相应的补齐。
把上面每个方程中下标最小的变量用其他变量表示，
4）写出方程组解的向量形式。
x3x4x57x3x43x522x46x52312
x1+x2
例2.4.1解线性方程组3x12x2
1
1
1
1
1
7
1
0
1
1
5
16
3
（AMb）
0
2
1
1
3
2
0
1
2
2
6
23
1
2
2
6
23
0
0
1
0
0
0
5
4
3
3
1
12
0
0
0
0
0
0
3x33x4x5
x22x35x14x2
解：
（1）首先约化阶梯形矩阵
rArAMb35,则
然后对增广矩阵（AMb）进行初等变化，化为简化的阶梯型矩阵原方程有无穷多个解。
（2）写出对应的方程组。
x1x2x45x516
x22x32x46x523
x30
（3）把上述每个方程中下标最小的变量用其它变量表示，其它缺失的变量补齐。
x11
6x2
x4
5x5
x223
2x3
2x4
6x5
x3
0
x4
x4
x5
x5
4）写出方程组的解。
16
1
5
23
2
6
x0
c1
0
c20
0
1
0
0
0
1
2.4直接通过矩阵变换及运算求出方程组的解法
下面介绍直接通过矩阵变换及运算求出方程组的解法。
首先对增广矩阵进行初等变换、零拓展矩阵和转解运算，再直接求出齐次方程组的基础解系和非齐次方程组的特解，进而求出非齐次方程组的通解。
定义1⑹对于矩阵Am,n增加q个n维行向量而生成的新矩阵称做Am,n的拓展矩阵；若增加
行向量都是零向量，则生成的新矩阵称为Am,n的零拓展矩阵，若增加的行向量组成一个单
位方阵则生成的新矩阵称为Am,n的单位拓展矩阵。
在矩阵Am,n中，若ji，有aij0，则称Am,n为广义上三角矩阵。
设Am,n是广义三角矩阵，在Am,n中，若&kk=0，而％k0，构造成一个新矩阵
Bm,nbj
m,n，当ii。
，有bjaj；当i=ig，令b°k0，b0ja』印代耳jk，则定义为
归零运算
（或称转解运算），生成的矩阵Bm,m称为归零矩阵（或转解矩阵）。
设实数域上非齐次线性方程组
Am,nXn,1Bm,1，
RARA=rn，对Am,n,Bm,1进行零拓展，使其成为Cn,n1，对Cn,n1进行初等变换,
使其成为对角线上的元素Cj只取1和0的广义上三角矩阵Cn,n1（若Gk1,而jk时Cj0,
则进行行行交换使得Cik1所在的行变为C；n1中的第k行）；令R,n1C：
n1E.」0n,1，
ik
则矩阵Pn,m中元素Pii只取0或-1值；若当Pkiki说对应的第ki列为零向量i1,2,,r，则
1说对应的第ki列向量j1,2,,nr就构成方程Am」Xn,10的基础解系，而
第n1列向量则是方程组Am,nXn,1Bm,1的特解。
定理2⑹对于方程组（2-1）说对应的增广矩阵进行拓展和初等变换，得到满足定理1
的C；,n1,Pn,n1賂0n,1；当Pii0时，而Pki0时，做转解运算生成转解矩阵
P；,m1，使得当Pi*0时，有pki0k1,2,,n，则p*j1所对应的列向量的全体即为
方程组Am,nXn,10的基础解系，P；n1矩阵中的第n1列向量乃是珞亦.,1Bm,1的特解,
Pn,n1经过若干次转解运算存在满足定理1条件的转解矩阵1。
x12x32x46
例2.5.1求解方程组2X1X23X3X0
3Xjx6X418
4为x29x313x436
解：
对增广矩阵进行变换
1
0
2
2
6
1
0
2
2
6
1
0
2
2
6
2
1
3
1
0
0
1
1
5
12
0
1
1
5
12
*
=C4,4
3
0
1
6
18
0
0
7
0
0
0
0
7
0
0
4
1
9
13
36
0
1
1
5
12
0
0
0
0
0
2.5利用追赶法解线性方程组
本小节的解法是先把线性方程组的系数矩阵
A分解成为下三角阵和上三角阵的乘积,
然后运用追赶法来求解线性方程组。
为了把系数矩阵分解为一个下三角阵和一个上三角阵的乘积，则需要运用LU分解法（也称为三角形分解法）。
2.5.1LU分解[9]
令A的前n-1个顺序主子矩阵非奇异，那么就存在单位下三角阵L，以及上三角阵U，使得
A
LU
>
并且这样的分解是唯
「的。
令矩阵A有LU分解，
即
a11
a12
L
ain
1
u
11U12
LU1n
a21
a22
L
a2n
l21
1
0
U22
LU2n
M
M
O
M
M
O
0
OM
an1
an2
L
ann
^1
K
ln,n11
Unn
将两端的第一行元素进行对比可以得出
U1ka1k,k1,2,L,n;
将两端的第一列元素进行对比可以得出
lk12,3丄，n;
将两端的第二行其余元素进行对比可以得出
将两端的第二列其余元素进行对比可以得出
则对于一般的i2,3,L,n用递推关系得出
i1
UikakljUik,ki,i1,L,n,
ji
（2-2）
i1'丿
1kiakiIkjUjiuii,ki1,i2丄，n,
即可求出U和L,从而实现A的三角分解。
这一过程就是矩阵A的LU分解。
2.5.2追赶法[9]
线性方程组的系数矩阵A，先通过公式（2-2）进行LU分解，接着利用追赶法解出该线
bihYi1
XnYJn
对于i2丄，n,计算
y
c）赶过程
对于in1丄,1,计算
Xi（%fiN1）,ri
简记成:
下面我们通过具体的例子来了解用追赶法解线性方程组的解题过程。
例2.5.1用追赶法解线性方程组
2%x23,
3x27%4x410,
2x35x42.
2100
1
0
0
0
所以L
12
1
0
0
2
U
0
2
1
0
0
0
2
1
2100
03230
0014
00013
追过程：
解LyB,即
1
0
0
0
y1
3
y1
3
12
1
0
0
y2
3
y2y
y3
92
0
2
1
0
y3
10
1
0
0
2
1
y4
2
y4
0
赶过程：
解Uxy,即
2
1
0
0
X1
3
X
2
0:
32
3
0
X2
92
X2
1
X
1
0
0
1
4
X3
1
X3
0
0
0
13
X4
0
X4
0
即得线性方程组的解。
2.6利用分块矩阵求解非齐次线性方程组
通过文献［10］可以得知，假如A是一个n阶非奇异阵Aaj,i,j1,2丄,n，把A进
AA
行分块AA1A12，其中Ai,A2A21A分别是kk,km，mk和口m矩阵。
如果A22是
A21a22
非奇异方阵，则一定可以找到一个上三角分块MIkA12A22，令MAG0，其
0ImA21A22
中GA11A2AJA21，并且G是非奇异阵。
根据上面的结论，得出用来求解n个方程的非其次线性方程组是比较方便的。
可以依
以下过程求解：
811X1
812X2
alnXn
bi
对于非齐次线性方程组a21X1
a?
2X2
a2nXn
（2-3）
an1X1
an2X2
annXn
bn
把（2-3）写成矩阵方程为AXB
此处A为系数矩阵XX2，Bb2。
假如A是非奇异阵，即A0，那么方程组（2-3）
MM
Xnbn
有唯一解
把阶阵A分块：
A
Aii
A21
A12，并注意A22为非奇异阶阵，同时把X和B进行对应的
A22
分块，可以使X
Xi
X2
1，Bi的行数等于Ai，A|2的行数，B2的行数等于A4的
B2
行数。
那么矩阵方程AXB可以写成
Bi
AiiA12
Xi
B2
把上面式子的两边分别左乘上三角分块矩阵M
Ik
0
A12A22
Im
，即可以得到
G
A2i
0
A22
Xi=BiAi2A22
X2=B2
（2-4）
其中
AiiA12A22A2iG0o
把方程（2-4）分解成为下面两个矩阵方程
GXiBiAi2A?
2
A2iXiA22X2B2
（2-5）
根据初等变换的性质我们可以知道（
2-4）和（2-5）是同解方程。
由于G
0，所以存在Gi，且Xi
GiBi人2傀拒2，再把Xi代入AiXi
A22X2
B2中,
得到a22x2dA2iXi,X2
A22B2
据此，得出
Xi
X2
例2.6.i解非齐次线性方程组
3xi
X2
X3
4x4
2x5
2
Xi
X2
2X3
2x4
4x5
0
2xi
3x2
2X3
X4
X5
6
Xi
X2
X3
X4
X53
xi
2x2
2x3
3x4
X5
5
A?
iXi
o
有
Xi
X2
解：
将方程写成矩阵方程并进行分块,
Bi
B2
这里
Aii
A2
2
3
3ii
i
42
A2i
i
i，A22
i
ii
2
24
i
2
2
3i
AiiAi2
A2iA22
1
2
1
7
7
7
12
11
9
3
1
-，计算a2a22二
7
7
7
14
14
7
9
17
2
5
11
1
7
7
7
14
14
7
先求出A22的逆矩阵Al
X1
X2
所以所求方程的解为X3
X4
X5
2.7用加边矩阵求解非齐次线性方程组
在文献［11］中主要介绍利用加边矩阵的初等变换，把非其次线性方程组解的判定和解的结构融于一体，在方程组有解的基础上，直接找出唯一解或者导出基础解系和原方程的
一个特解
m个方程n个未知数的非其次线性方程组的一般形式是:
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