广义逆矩阵和在线性方程组中的应用Word格式.docx
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matrixisimportant
in
manyarea,suchasData
analysis,Multivariateanalysis,Signalprocessing,Systemtheory,
Moderncontroltheory,Networktheoryandsoon.Thispaperstudiesthe
definition,properties,calculationofthegeneralizedinversematrix,
andtheapplications
insoluting
equations.Utilizing
thegeneralizedinversematrix,westudythesolutingofthegeneral
systemoflinearequationsandtheminimumnormsolution.
Keywords:
generalizedinversematrix;
Moore-Penroseeqations;
linearequations;
fullrankdecomposition
目
录
1
2
§
2.1
2.2
3
12
3.1
3.2Moore-Penrose
19
24
4.1
25
4.2
28
33
34
35
第一章前言
逆矩阵的概念只对非奇异矩阵才有意义，但在实际问题中，遇到的矩阵不一定是
方阵，即使是方阵也不一定非奇异，这就需要将逆矩阵的概念进行推广。
为此，人们
提出了下述关于逆矩阵的推广：
（1）该矩阵对于奇异矩阵甚至长方矩阵都存在；
（2）它具有通常逆矩阵的一些性质；
（3）当矩阵非奇异时，它即为原来的逆矩阵。
满足上面三点的矩阵称之为广义逆矩阵。
1903年，瑞典数学家弗雷德霍姆开始了对广义逆矩阵的研究，他讨论了关于积
分算子的一种广义逆。
1904年，德国数学家希尔伯特在广义格林函数的讨论中，含
蓄地提出了微分算子的广义逆。
美国芝加哥的穆尔（Moore）教授在1920年提出了任意
矩阵广义逆的定义，他以抽象的形式发表在美国数学会会刊上。
我国数学家曾远荣和
美籍匈牙利数学家·
诺伊曼及其弟子默里分别在1933年和1936年对希尔伯特空间中
线性算子的广义逆也作过讨论和研究。
1951年瑞典人布耶尔哈梅尔重新给出了穆尔
（Moore）广义逆矩阵的定义，并注意到广义逆矩阵与线性方程组的关系。
1955年，英
国数学物理学家罗斯（Penrose）以更明确的形式给出了与穆尔（Moore）等价的广义逆
矩阵定义，因此通称为Moore-Penrose广义逆矩阵，从此广义逆矩阵的研究进入了一
个新阶段。
现如今，Moore-Penrose广义逆矩阵在数据分析、多元分析、信号处理、
系统理论、现代控制理论、网络理论等许多领域中有着重要的应用，使这一学科得到
迅速发展，并成为矩阵论的一个重要分支。
第二章广义逆矩阵
2.1广义逆矩阵的定义
一、Penrose广义逆矩阵的定义
为了推广逆矩阵的概念，我们引进了广义逆矩阵的定义，下面给出广义逆矩阵的
Moore-Penrose定义。
定义2.1
设矩阵A
Cmn，若矩阵X
Cnm满足如下四个Penrose方程
AXA
A
（ⅰ）
XAX
X
（ⅱ）
（AX）H
AX
（ⅲ）
（XA）H
XA
（ⅳ）
中的一部分或全部方程，则称
X为A的一个广义逆矩阵。
若X只满足（ⅰ）式，则X成为A的一个{1}-逆，可记为A1，所有满足{1}-逆
的X构成的集合记为A1。
若X满足四个方程中的第i,j,
k个方程，则称X为A的
一个i,j,,k-逆，记为Ai,
j,,k，所有满足i,j,,k-逆的X构成的集合记为
Ai,j,,k。
二、常见广义逆定义
按照广义逆定义，分别满足一个、两个、三个和四个方程的广义逆矩阵一共有
C41
C42C43
C44=15类，其中常见的有A1，A1,2，A1,3，A1,4，A1,2,3,4。
定义2.2
设有复矩阵ACmn。
若有一个n
m复矩阵X存在，使下式成立，则
称X为A的减号逆：
AXAA
（2.1）
当A1存在时，显然A1满足上式，可见减号逆X是普通逆矩阵A1的推广；
另外，由AXAA得
（AXA）HAH，
即
AHXHAHAH
可见，当X为A的一个减号逆时，XH就是AH的一个减号逆。
定义2.3设复矩阵ACmn，若有一个nm矩阵X，满足：
A且XAX
称X
为A的一个自反逆矩阵，记作为
Ar
，Ar
满足
Penrose
方程的（ⅰ），（ⅱ）式，
所以
A{1,2}
。
显然，自反广义逆为减号逆的子集。
对矩阵X是矩阵A的1-逆，即X
A1,若
矩阵A也是矩阵X的1-逆，即AX1
，则X为A的一个自反逆矩阵。
定义2.4设复矩阵ACmn，若有一个nm矩阵X，满足：
AXAA及（AX）H
AX，
则称X为A的最小二乘广义逆，记作Al
，Al满足Penrose方程的（ⅰ），（ⅲ）式，
所以AmA{1,3}。
最小二乘广义逆是用条件（AX）H
AX对减号逆进行约束后所得到的子集。
定义2.5设复矩阵ACmn，若有一个nm矩阵X，满足：
AXAA及（XA）HXA，
则称X为A的最小数广义逆，记作Am，Am满足Penrose方程的（ⅰ），（ⅳ）式，
所以AlA{1,4}。
显然，最小数广义逆也是减号逆的子集。
若X满足全部四个方程，则称X为A的Moore-Penrose广义逆矩阵，记为A。
2.2广义逆矩阵的性质
将一个非零矩阵分解为一个列满秩矩阵与一个行满秩矩阵的乘积，是矩阵分解理
论中的常见问题。
特别是在广义逆矩阵的计算与研究中有着重要的应用。
定义2.6
Crmn（r＞0），如果存在一个列满秩矩阵F
Crmr与一个行
满秩矩阵G
Crrn使得
AFG，
则称上式为A的一个满秩分解。
定理2.1[12]对任意矩阵ACrmn（r＞0），必存在着矩阵FCrmr和GCrrn使
AFG。
证明：
由rankAr，对A进行若干次初等行变换后，可将A化为行阶梯矩阵B，
G
B，
其中rankGr。
故存在若干个m阶初等矩阵的乘积P，使得
PAB，
即AP1B，
将P1分块为
P1
F,M
FCrmr
，MCm（mr），
便有
FG。
因F是可逆矩阵P1的前r列，所以F是一个mr列满秩矩阵，G是rn行满秩
矩阵，故A
FG是A的一个满秩分解。
上式A
FG是A的一个满秩分解，但是
A的满秩分解并不是唯一的。
任意取一
个r阶非奇异矩阵B,若A
FG是一个满秩分解，则显然AFB
B1G也是A的一个
满秩分解。
一、{1}-
逆的性质
定理2.2[1]
设ACmn，则A的Moore-Penrose逆存在且唯一。
证设
rankAr.若
r，则A是
m
n
零矩阵，可以验证
零矩阵满足四个
=0
Penrose方程。
若r>
0，则A有满秩分解分解AFG,
取XGH
GGH
FH
FFH，则X满足4个Penrose方程，所以，X是
Moore-Penrose广义逆矩阵。
设X，Y均满足四个Penrose方程，则
XXAXHXXHAHXXHAYAHXXHAHYHAHXAXHAYH
XAYXAHYAHYAHYHYYAHYY
综上所诉，A存在且唯一。
A满足四个Penrose方程的所有方程，所以，A属于15类广义逆矩阵中的任意一类。
上面我们证明了A的存在性，所以，任意的类广义逆矩阵都是存在的。
对任意的C，定义为
1,0
0,0
下面给出{1}-逆的一些性质。
（2.4）
定理2.3[1]
设A
Cmn，B
Cmn，
C，则
（1）（A
（1））H
AH{1}；
（2）
A
（1）
（
；
）{1}
（3）若S和T非奇异，则T1A
（1）S1
（SAT）{1}；
（4）rankA
rankA
（5）AA1
和A1A均为幂等矩阵且与A同秩；
（6）
（1））
（）,
（1）
）
）,
（（
）H）
H）；
RAA
RAN
N
RA
（7）A1A
In的充要条件是rankA
n，
AA1
Im的充要条件是rankA
m；
（）ABAB
A的充要条件是rank（AB）
rankA，
8
BAB1AB
B的充要条件是rank（AB）
rankB。
证
（1）由A1
A{1}，有AA1A
A，
两边同时求共轭转置得
H
AH，
即AH（A1）HAH
由定义知A1
AH{1}。
A1
AA1A
A,由{1}-逆定义得，
A{1}。
（3）SATT
1A1S1
SATSATT1A1S1SAT
SAT,由{1}-
逆定义得，
T1A1S1
SAT{1}。
（4）rankA1
rankAA1
rankAA1A
rankA,
故rankA1
rankA.。
AA1AA1
AA1，
故AA1为幂等矩阵，又由
A1AA
A1A，
故A1
A为幂等矩阵，
A1A
rank（AA
（1）A）rank（AA
（1））
也即rank（AA
（1））
rankA。
同理，rank（A
（1）A）rankA。
（）
得R（AA
）R（A），
（6）由RA
AA
，得NA
AN（A）。
类似的，由NA
H）
H（
（1））H
R
（1））H
，
又因为，RA
所以RA1
ARAHA。
（7）充分性：
rankA
n，所以，rankAA1
n，由
A为幂等矩阵且非奇异，
易
知A1
In
必要性：
由A1AIn，rankAA1n，故rankAn。
另一式同理可证明。
（8）充分性：
R（AB）R（A），rank（AB）rankA，所以，R（AB）R（A）。
所以存在矩阵X，使AABX，从而AB（AB）
（1）AAB（AB）
（1）ABXABXA。
rankArank[AB（AB）1A]rank（ab）rankA，故rank（AB）rankA。
性质（5）逆命题仍然成立，即
定理2.4设mn复矩阵A，若存在nm矩阵X，使AX为幂等矩阵，且
rank（AX）rankA，则矩阵XA{1}。
AX幂等，则AXAX
AX，而R（AX）R（A）,又rank（AX）
所以，R（AX）R（A），存在矩阵Y,
使得AAXY，有
AXAAXAXYAXYA，
即XA1。
二、1,2-逆的性质
因为在Penrose方程
（1）
（2）中，A和X的位置是对称的，所以XA{1,2}与
AX{1,2}是等价的，即A和X总是互为1,2-逆。
这与通常矩阵A的逆的逆是A本
身是一样的。
定理2.5[3]设矩阵Y,ZA1,又设XYAZ，则
XA1,2。
Y,ZA1，则AYAA，AZAA，
AXAAYAZA（AYA）ZAAZAA，
XAXYAZAYAZY（AZA）YAZYAYAZYAZX，
由上2式得，XA1,2。
定理2.6[1]给定矩阵A，若XA1，则XA1,2的充要条件是rankXrankA。
充分性：
若XA1，则AXAA，且AX和XA幂等，
rank（AX）rank（XA）rankA，
又rankXrankA，所以，rankXArankArankX。
由定理2.3得AX1，所以，XA1,2。
XA1，则rankXrankA，
又XA1,2，根据X为自反广义逆，有AX{1}，则rankArankX
所以，rankArankX。
三、Moore-Penrose广义逆矩阵A
定理2.2已证明对任意矩阵ACmn，Moore-Penrose广义逆矩阵A存在且唯
一。
Moore-Penrose广义逆矩阵是满足全部Penrose条件的广义逆矩阵，其必然有其
特殊性，下面给出Moore-Penrose广义逆矩阵A的一些性质：
定理2.7[9]设矩阵ACmn，则有
（1）（A）A；
（2）（AH）（A）H；
（3）（AAH）（AH）A；
（AHA）A（AH）；
（4）AAH（AAH）；
A（AHA）AH；
（5）rankArankA。
（1）由定义，A和A的位置是对称的，即A是A的Moore-Penrose广义逆矩
阵，那么A就是A
的Moore-Penrose
广义逆矩阵，又因为
（A）唯一，所以，
（A）
A。
（2）令X（A
）H，则有
AHXAHAHAAH
AAA
XAH
XAAHA
AAA
X，
AH
AAAA
AHA
AHX，
XAHH
HAH
XAH，
根据定义，（AH）X（A）H。
（3）令XAHA,则有
AAH
XAAH
AAA
AAAAAAH
AAH，
AAAH
XAAHXAH
AAAA
AAAAA
A,
AAAHX,
AAAAAAAAAAAAHAH
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