高中数学必修4三角函数知识点归纳总结经典doc.docx
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高中数学必修4三角函数知识点归纳总结经典doc
《三角函数》
【知识网络】
应用
弧长公式
同角三角函数
诱导
应用
计算与化简
的基本关系式
公式
证明恒等式
应用
任意角的概念
角度制与
任意角的
三角函数的
应用
已知三角函
图像和性质
数值求角
弧度制
三角函数
和角公式
应用
倍角公式
应用
差角公式
应用
一、任意角的概念与弧度制
1、将沿x轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角.
逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角
2、同终边的角可表示为
k360
k
Z
g
x
o
Z
轴上角：
k180k
g
y轴上角：
90o
k180o
kZ
g
3、第一象限角：
0kg360
90o
kg360
k
Z
o
k360
o
k360
k
Z
第二象限角：
90
180
g
g
第三象限角：
o
o
180
k360
270
k360
k
Z
g
g
第四象限角：
o
o
270
k360
360
k360
k
Z
g
g
4、区分第一象限角、锐角以及小于
90o的角
第一象限角：
0kg360
90o
kg360
k
Z
锐角：
0
90o
小于90o的角：
90o
5、若
为第二象限角，那么
为第几象限角？
2
2
2k
2k
4
k
k
2
2
k0,
k
1,5
3,
4
2
4
2
所以
在第一、三象限
2
1
1rad.
6、弧度制：
弧长等于半径时，所对的圆心角为
弧度的圆心角，记作
7、角度与弧度的转化：
1
0.01745
1
180
57.30
5718
180
8、角度与弧度对应表：
角度
0
30
45
60
90o
120
135
150180360
弧度
0
2
3
5
6
4
3
2
3
4
2
6
9、弧长与面积计算公式
弧长：
l
R；面积：
S
1lR
1
R2，注意：
这里的
均为弧度制.
2
2
二、任意角的三角函数
P（x,y）
1、正弦：
sin
y
x
y
；余弦cos
；正切tan
x
r
r
r
其中x,y
为角
终边上任意点坐标，
r
x2
y2
.
2、三角函数值对应表：
度
0o
30o
45o
60o
90o
120o
135o
150o
180o
270
360o
弧度
0
2
3
5
3
2
6
4
3
2
3
4
6
2
sin
0
1
2
3
1
3
2
1
0
1
0
2
2
2
2
2
2
cos
1
3
2
1
0
1
2
3
1
0
1
2
2
2
2
2
2
tan
0
3
1
3
无
3
1
3
0
无
0
3
3
3、三角函数在各象限中的符号
口诀：
一全正，二正弦，三正切，四余弦
.（简记为“全stc
”）
sin
tan
cos
第一象限：
.x
0,y
0sin
0,cos
0,tan
0,
第二象限：
.x
0,y
0
sin
0,cos
0,tan
0,
第三象限：
.x
0,y
0
sin
0,cos
0,tan
0,
第四象限：
.x
0,y
0
sin
0,cos
0,tan
0,
4、三角函数线
设任意角
的顶点在原点O，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与P（x,y），
过P作x轴的垂线，垂足为
M；过点A（1,0）作单位圆的切线，它与角
的终边或其反向
延长线交于点T.
y
y
T
P
P
Mo
A
A
x
o
Mx
T
（Ⅰ）
（Ⅱ）
y
T
y
M
o
A
M
A
x
o
x
P
（Ⅲ）
P
T
（Ⅳ）
由四个图看出：
当角
的终边不在坐标轴上时，有向线段
OM
x,MPy，于是有
sin
y
y
MP，
cos
x
x
xOM
r
y
r
1
1
，
tan
y
MP
AT
x
AT．
OMOA
我们就分别称有向线段
MP,OM,AT为正弦线、余弦线、正切线
。
5、同角三角函数基本关系式
sin2
cos2
1
tan
sin
tan
gcot
1
cos
（sin
cos
）2
1
2sin
cos
（sin
cos
）2
1
2sin
cos
（sin
cos
，sin
cos
，sin
?
cos
，三式之间可以互相表示
）
6、诱导公式
n
中整数n的奇偶性，把看作锐角）
口诀：
奇变偶不变,符号看象限（所谓奇偶指的是
2
n
n
sin（
n
）
（
1）2sin
n为偶数
n
（
1）2cos
n为偶数
n
1
；cos（
）
n1
.
2
2
（
1）2
cos,n为奇数
（
1）2
sin
n为奇数
①.公式
（一）：
与
2k
k
Z
sin（
2k）
sin
；cos（
2k
）
cos
；tan（
2k）
tan
②.公式
（二）：
与
sinsin；coscos；tantan
③.公式（三）：
与
sinsin；coscos；tantan
④.公式（四）：
与
sin
sin
；cos
cos
；tan
tan
⑤.公式（五）：
与
2
sin
cos
；cos
sin
；
2
2
⑥.公式（六）：
与
2
sin
cos
；cos
sin
；
2
2
⑦.公式（七）：
与3
2
sin
3
cos；cos3
sin；
22
⑧.公式（八）：
与3
2
3
cos；cos
3
；
sin
sin
2
2
三、三角函数的图像与性质
1、将函数ysinx的图象上所有的点，向左（右）平移个单位长度，得到函数
ysin
x的图象；再将函数y
sin
x
的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到
原来的1
倍（纵坐标不变），得到函数
y
sin
x的图象；再将函数ysinx
的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A倍（横坐标不变），得到函数
yAsinx的图象。
2、函数yAsin
x
A
0,
0的性质：
①振幅：
A；②周期：
2
1
；④相位：
x
；⑤初相：
。
T
；③频率：
f
T
2
3、周期函数：
一般地，对于函数
f
x，如果存在一个非零常数
T，使得定义域内的每一
个x值，都满足f
x
Tf
x，那么函数fx
就叫做周期函数，T叫做该函数的周期.
4、⑴y
Asin（
x
）
k
2
对称轴：
令
x
k
，得x
k
2
对称中心：
x
，（k
0）（k
Z）；
k，得x
⑵y
Acos（
x
）
对称轴：
令
x
k
，得x
k
；
k
2
k
2
对称中心：
x
k
，得x
，（
0）（kZ）；
2
⑶周期公式:
①函数yAsin（x）及yAcos（x
2
）的周期T
（A、ω、为常数，且A
≠0）.
②函数yAtanx的周期T（A、ω、为常数，且A≠0）.
5、三角函数的图像与性质表格
性
函
ysinx
ycosx
ytanx
数
质
图
像
定
义
R
域
值
1,1
域
当x
2k
k
Z
时，
2
最
ymax
1；
值
2k
k
Z
当x
时，
2
ymin
1．
周
期
2
性
奇
偶
奇函数
性
在
2k
2k
22
单kZ上是增函数；
调
性
2k,3
2k
在
2
2
k
Z上是减函数．
R
1,1
当x2kkZ时，
ymax1；当x2k
kZ时，ymin1．
2
偶函数
在2k,2kkZ
上是增函数；
在2k,2kkZ
上是减函数．
对称中心
xxk,kZ2
R
既无最大值也无最小值
奇函数
在k,k
22
kZ上是增函数．
对
对称中心
k,0
k
Z
0
k
Z
k
称
2
性
对称轴x
k
k
Z
2
对称轴x
k
k
Z
对称中心
k,0kZ
2
无对称轴
6.五点法作yAsin（x）的简图，设tx，取0、、、3、2来求相
22
应x的值以及对应的y值再描点作图。
7.yAsin（x）的的图像
8.函数的变换：
（1）函数的平移变换
①yf（x）yf（xa）（a0）将yf（x）图像沿x轴向左（右）平移a个单位
（左加右减）
②yf（x）yf（x）b（b0）将yf（x）图像沿y轴向上（下）平移b个单位
（上加下减）
（2）函数的伸缩变换：
1
①yf（x）yf（wx）（w0）将yf（x）图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的
倍（w1缩短，0w1伸长）
w
②yf（x）yAf（x）（A0）将yf（x）图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来
的A倍（A1伸长，0A1缩短）（3）函数的对称变换：
①yf（x）yf（x））将yf（x）图像绕y轴翻折180°（整体翻折）
（对三角函数来说：
图像关于x轴对称）
②yf（x）yf（x）将yf（x）图像绕x轴翻折180°（整体翻折）
（对三角函数来说：
图像关于y轴对称）
③yf（x）yf（x）将yf（x）图像在y轴右侧保留，并把右侧图像绕y轴翻
折到左侧（偶函数局部翻折）
④yf（x）yf（x）保留yf（x）在x轴上方图像，x轴下方图像绕x轴翻折上
去（局部翻动）
四、三角恒等变换
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式：
（1）sin（
）
sin
cos
sin
cos
（2）sin（
）
sin
cos
sin
cos
（3）cos（
）
cos
cos
sin
sin
（4）cos（
）
cos
cos
sin
sin
（5）tan（
）
tan
tan
tan
tan
tan
1
tan
tan
1
tan
tan
（6）tan（
）
tan
tan
tan
tan
tan
1
tan
tan
1
tan
tan
（7）
asin
bcos
=
a2
b2sin（
）（其中,辅助角
所在象限由点（a,b）所在的象限
决定,
sin
b
b2
cos
a2
a
tan
b
，该法也叫合一变形）.
a2
b2
a
（8）
1
tan
tan（
4
）
1
tan
tan（
）
1
tan
1
tan
4
2.
二倍角公式
（1）sin2a
2sinacosa
（2）cos2a
cos2a
sin2a
12sin2a2cos2a
1
tan2a
2tana
1tan2a
（3）
3.降幂公式：
cos2a
1cos2a
（2）sin2a
1cos2a
（1）
2
2
4.升幂公式
（1）1cos2cos2
（2）1cos2sin2
2
2
（3）1sin
（sin
cos）2
（4）1sin2
cos2
2
2
（5）sin
2sincos
2
2
5.半角公式（符号的选择由
所在的象限确定）
2
a
1
cosa
，
a
1cosa
sin
2
cos
，
（1）
2
（2）2
2
tana
1
cosa
sina
1cosa
（3）
2
1
cosa
1cosa
sina
6.万能公式:
2tan
1
tan2
（1）sin
2,
（2）cos
2,
1
tan2
1
tan2
2
2
2tan
（3）tan
2.
1
tan2
2
7.三角变换：
三角变换是运算化简过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算、化简的方法技能。
（1）角的变换：
角之间的和差、倍半、互补、互余等关系对角变换，还可作添加、删除角的恒等变形
（2）函数名称变换：
三角变形中常常需要变函数名称为同名函数。
采用公式：
asin
bcos
a
2
b
2
sin（
）其中cos
a
sin
b
a2
b2
a2
b2
，比
ysinx
3cosx
12
（3）2（
12
1
sinx
12
3
cosx）
如：
（3）2
（3）2
2（1sinx
3cosx）
2（sinxcos
cosxsin
）2sin（x
）
2
2
3
3
3
（3）注意“凑角”运用：
，
，
1
2
例如：
已知、
（3,
）,sin（
）
3
，sin（
）
12
，则cos（
4
）?
4
5
4
13
（4）常数代换：
在三角函数运算、求值、证明中有时候需将常数转化为三角函数，特
别是常数“1”可转化为“sin2cos2”
（5）幂的变换：
对次数较高的三角函数式一般采用降幂处理，有时需要升幂例如：
1cosa常用升幂化为有理式。
（6）公式变形：
三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用、逆用及变形。
（7）结构变化：
在三角变换中常常对条件、结论的结构进行调整，或重新分组，或移
项，或变乘为除，或求差等等。
在形式上有时需要和差与积的互化、分解因式、配方等。
（8）消元法：
如果所要证明的式子中不含已知条件中的某些变量，可用此法
（9）思路变换：
如果一种思路无法再走下去，试着改变自己的思路，通过分析比较去选择更合适、简捷的方法去解题目。
（10）利用方程思想解三角函数。
如对于以下三个式子：
sinacosa，sinacosa
sinacosa，已知其中一个式子的值，其余二式均可求出，且必要时可以换元。
8.函数的最值（几种常见的函数及其最值的求法）：
①y
asinx
b（或acosxb）型：
利用三角函数的值域，须注意对字母的讨论
②y
asinx
bcosx型：
引进辅助角化成y
a2
b2sin（x
）再利用有界性
③y
asin2x
bsinx
c型：
配方后求二次函数的最值，应注意
sinx
1的约束
④y
asinx
b型：
反解出sinx，化归为sinx
1解决
csinx
d
⑥y
a（sinx
cosx）
bsinxcosxc型：
常用到换元法：
t
sinx
cosx，但须
注意t的取值范围：
t2
。
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