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《密码学数学基础》习题集

 

北京电子科技学院

 

《密码学数学基础》习题集

 

信息安全系密码教研室

 

2015年10月

 

 

第一章带余除法...................................................................................................3

一、整数的最大公因子及其表示..................................................................3

二、多项式的最大公因子及其表示..............................................................7

三、标准分解和最小公倍数..........................................................................9

四、其他类型题............................................................................................11

第二章

同余方程...............................................................................................12

一、同余性质(剩余系)............................................................................12

二、模幂运算................................................................................................14

三、模逆运算................................................................................................16

四、一次同余方程求解................................................................................18

第三章原根计算.................................................................................................26

一、阶、原根、指数....................................................................................26

二、阶的计算................................................................................................30

三、原根的计算............................................................................................32

四、综合........................................................................................................36

第四章二次剩余.................................................................................................38

第五讲

群...........................................................................................................49

一、群的概念................................................................................................49

二、循环群的生成元求解(可求原根).........................................................49

三、子群及其陪集........................................................................................50

四、置换群上的计算....................................................................................53

五、群同态....................................................................................................54

第六章

环的性质...............................................................................................55

一、环的概念................................................................................................55

二、商环........................................................................................................57

第七章

域上计算...............................................................................................58

 

第一章带余除法

 

重点概念:

最大公因子、辗转相除法、标准分解式

重点内容:

用辗转相除法求解最大公因子及其表示。

 

一、整数的最大公因子及其表示

 

1.(288,392)=

8

2.设a=1435,b=3371,计算(a,b)。

答:

3371=2⨯1435+501

1435=2⨯501+433

501=433+68

433=6⨯68+25

68=2⨯25+18

25=18+7

18=2⨯7+4

7=4+3

4=3+1

3=3⨯1

所以(1435,3371)=1

3.用辗转相除法求整数x,y,使得1387x-162y=(1387,162)。

答:

用辗转相除法,如下表计算:

x

-y

q

1387

1

0

162

0

1

8

91

1

-8

1

71

-1

9

1

20

2

-17

3

11

-7

60

1

9

9

-77

1

2

-16

137

4

1

73

-625

 

x=73,y=625,(1387,162)=1.

4.计算:

(27090,21672,11352)。

答:

(27090,21672,11352)=(4386,10320,11352)=(4386,1548,2580)

=(1290,1548,1032)=(258,516,1032)=(258,0,0)=258。

5.用辗转相除法计算以下数组的最大公因子。

(1)(1046,697)

 

(2)(20301044)

解:

(1)10461697349

6971349348

349=1⨯348+1

348=348⨯1

因此(1046,697)=1

(2)

2030=1⨯1044+986

1044=1⨯986+58

986=17⨯58

因此(20301044)=58

6.用辗转相除法计算以下数组的最大公因子

(1)(2104,2720,1046)

 

(2)(27090,21672,11352)

解:

(1)先求出(2104,2720)的公因子d1,再求(d1,1046)的公因子d2,d2即为最

终要求的公因子。

因此:

2720=1⨯2104+616

2104=3⨯616+256

616=2⨯256+104

256=2⨯104+48

104=2⨯48+8

48=6⨯8

因此(2104,2720)=8,再求(8,1046),

1046=130⨯8+6

 

8=1⨯6+2

6=3⨯2

因此(2104,2720,1046)=2

(2)先求出(27090,21672)的公因子d1,再求(d1,11352)的公因子d2,d2即为

最终要求的公因子。

因此:

27090=1⨯21672+5418

21672=4⨯5418

因此(27090,21672)=5418,再求(5418,11352),

11352=2⨯5418+516

5418=10⨯516+258

516=2⨯258

因此(27090,21672,11352)=258

7.用辗转相除法求以下数组的最大公因子,并把它表示为这些数的整系数线性组

合。

(1)1387,162

(2)2046,1620

解:

(1)用列表法可求出(1387,162)的公因子及相应的系数组合,如表1所示:

表1求(1387,162)的公因子及相应系数

u

v

q

1387

1

0

162

91

71

20

11

9

2

0

1

-1

2

-7

9

-16

1

-8

9

-17

60

-77

137

8

1

1

3

1

1

4

 

1

 

73

 

-625

 

2

0

由上表可得:

(1387,162)=1=1387⨯73+162⨯(-625)。

(2)用列表法可求出(2046,1620)的公因子及相应的系数组合,如表2所示:

表2求(2046,1620)的公因子及相应的系数组合

u

v

q

2046

1

0

1620

426

342

84

6

0

1

-3

4

-19

1

-1

4

-5

24

1

3

1

4

14

0

由上表可得:

(2046,1620)=6=1387⨯(-19)+162⨯24。

8.计算4389,5313,399的最大公因子,并把它表示为这些数的整系数线性组

合。

解:

先求4389与5313的最大公因子,如下表3,公因子为213。

再求213

与399的最大公因子,如表4,公因子为21。

表3求4389与5313的最大公因子

表4求213与399的最大公因子

u

v

q

u

v

q

5313

1

0

399

1

0

4389

924

693

231

0

1

-4

5

1

-1

5

-6

1

4

1

3

231

168

63

42

0

1

-1

3

1

-1

2

-5

1

1

2

1

0

21

-4

7

2

0

 

又由表3、4可分别得到如下两式:

231=5313⨯5+4389⨯(-6)

21=399⨯(-4)+231⨯7

(1)

(2)

(2)式的231用

(1)式等式右边代替并化解可得如下式:

21=399⨯(-4)+5313⨯35+4389⨯(-42)

所以得到4389,5313,399的最大公因子为21,及其相应系数组合为-42,35,

-4。

 

二、多项式的最大公因子及其表示

 

1、求有理数域上多项式的最大公因式(f(x),g(x)),其中

f(x)=x5+x4+x2+2x+1,

g(x)=x4+x3+x2+2x+1.

答:

用辗转相除法计算如下

x5+x4+x2+2x+1=x(x4+x3+x2+2x+1)-x3-x2+x+1

x4+x3+x2+2x+1=-x(-x3-x2+x+1)+(2x2+3x+1)

-x3-x2+x+1=

1

2

x(2x2+3x+1)+

3x3

44

843x3

3344

因此(f(x),g(x))=x+1

2、求有理数域上多项式的最大公因式(f(x),g(x)),并计算u(x),v(x),使得

(f(x),g(x))=u(x)f(x)+v(x)g(x),其中

f(x)=x5+x3+x2+1,

g(x)=x4+x2+x-1.

答:

由列表法可求出(f(x),g(x))的公因子及相应系数组合,如表5所示:

表5求(f(x),g(x))的公因子及相应的系数组合

u(x)

v(x)

q

+

2x2+3x+1=(x+)(

+)=(2x+1)(x+1)

 

x5+x3+x2+1

 

1

 

0

 

x4+x2+x-1

 

x+1

0

 

1

1

 

-x

x

 

x3-x2+2x-1

 

0

 

因此(f(x),g(x))=x+1=

(1)(x5+x3+x2+1)+(-x)(x4+x2+x-1)

μ(x)=1

v(x)=-x

3、求二元域上多项式的最大公因式(f(x),g(x)),其中

f(x)=x5+x3+x2+1,

g(x)=x4+x2+1.

答:

用辗转相除法计算如下

x5+x3+x2+1=x(x4+x2+1)+x2+x+1

x4+x2+1=(x2+x+1)(x2+x+1)

因此(f(x),g(x))=x2+x+1

4、f(x),g(x)∈F2[x]且有

f(x)=x6+x5+x4+x3,

g(x)=x5+x2+x+1.

求μ(x)和ν(x),使得(f(x),g(x))=μ(x)f(x)+g(x)ν(x)。

答:

由列表法可求出(f(x),g(x))的公因子及相应系数组合,如表6所示:

表6求(f(x),g(x))的公因子及相应的系数组合

 

u(x)

v(x)

q

 

x6+x5+x4+x3

1

0

 

x5+x2+x+1

0

1

x+1

 

x4+1

 

x2+1

 

1

 

x

 

x+1

 

x2+x+1

 

x

 

x2+1

 

0

 

因此(f(x),g(x))=x2+1=x(x6+x5+x4+x3)+(x2+x+1)(x5+x2+x+1)

μ(x)=x

v(x)=x2+x+1

5.求有理数域上多项式的最大公因式(f(x),g(x)),其中

f(x)=x5+x4+x2+2x+1,

g(x)=x4+x3+x2+2x+1.

答:

(f(x),g(x))=x+1。

6.求有理数域上多项式的最大公因式(f(x),g(x)),并计算u(x),v(x),使得

(f(x),g(x))=u(x)f(x)+v(x)g(x),其中

f(x)=x5+x3+x2+1,

g(x)=x4+x2+x-1.

答:

x+1=f(x)-xg(x)。

 

三、标准分解和最小公倍数

 

1.[288,392]=14112

2.12600的标准分解式是_

2332527

3.547是_

___.(填“素数”或“合数”)。

3528的标准分解式是_2^3*3^2*7^2___。

4.计算以下数组的最小公倍数。

(1)[1046,697]

 

(2)[20301044]

(3)[195,72,90]

 

(4)[2104,2720,1046]

 

解:

(1)由第2题计算得(1046,697)=1,因此[1046,697]=1046⨯697=729062。

(2)由第2题计算得(20301044)=58,因此[20301044]=2030⨯1044÷58=36540。

(3)由辗转相除法可计算得(195,72,90)=3,因此

[195,72,90]=195⨯72⨯90÷3=4680

(4)由第3题计算得(2104,2720,1046)=2,因此

[2104,2720,1046]=2104⨯2720⨯1046÷2=374133280。

5.求正整数a,b,使得a+b=120,(a,b)=24,[a,b]=144。

答:

由a+b=120及ab=(a,b)[a,b]=24⨯144=3456解得a=48b,=

a=72,b=48。

6.设a,b是正整数,证明:

(a+b)[a,b]=a[b,a+b]。

7或2

 

答:

只须证(a+b)

abb(a+b)

(a,b)(b,a+b)

,即只须证(b,a+b)=(a,b)此式显然。

7.写出下列数的的标准分解式。

(1)

22345680

(2)166896912

(3)22345680

解:

(1)

22345680=24⨯3⨯5⨯7⨯47⨯283。

4

4

8.判断561与967是否为素数。

解:

由3|561,所以561不是素数,由2,3,

是素数。

967

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