（2）若m>0且n>0，则m＋n>0.
分析 依据定义分别写出否命题与命题的否定.根据不等式及方程的性质逐个判断其真假.
解
（1）否命题：
“若x2≥4，则x≥2或x≤－2”.
命题的否定：
“若x2<4，则x≥2或x≤－2”.
通过解不等式可以知道，原命题为真，否命题为真，命题的否定为假.
（2）否命题：
“若m≤0或n≤0，则m＋n≤0”.
命题的否定：
“若m>0且n>0，则m＋n≤0”.
由不等式的性质可以知道，原命题为真，否命题为假，命题的否定为假.
3 判断条件四策略
1.应用定义
如果p⇒q，那么称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件.判断时的关键是分清条件与结论.
例1 设集合M＝{x|x>2}，P＝{x|x<3}，那么“x∈M或x∈P”是“x∈P∩M”的____条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）
解析 条件p：
x∈M或x∈P；结论q：
x∈P∩M.
若x∈M，则x不一定属于P，即x不一定属于P∩M，
所以p⇏q；若x∈P∩M，则x∈M且x∈P，所以q⇒p.
综上知，“x∈M或x∈P”是“x∈P∩M”的必要不充分条件.
答案 必要不充分
2.利用传递性
充分、必要条件在推导的过程当中具有传递性，即：
若p⇒q，q⇒r，则p⇒r.
例2 如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的_____条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）
解析 依题意，有A⇐B⇔C⇐D且A⇏B⇔C⇏D，由命题的传递性可知D⇒A，但A⇏D.于是A是D的必要不充分条件.
答案 必要不充分
3.利用集合
运用集合思想来判断充分条件和必要条件是一种行之有效的方法.若p以非空集合A的形式出现，q以非空集合B的形式出现，则①若A⊆B，则p是q的充分条件；②若B⊆A，则p是q的必要条件；③若AB，则p是q的充分不必要条件；④若BA，则p是q的必要不充分条件；⑤若A＝B，则p是q的充要条件.
例3 已知p：
x2－8x－20≤0，q：
x2－2x＋1－m2≤0（m>0），若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是________.
解析 设p，q分别对应集合P，Q，
则P＝{x|－2≤x≤10}，Q＝{x|1－m≤x≤1＋m}，
由题意知，p⇒q，但q⇏p，故PQ，
所以
或
解得m≥9.
即m的取值范围是[9，＋∞）.
答案 [9，＋∞）
4.等价转化
由于互为逆否命题的两个命题同真同假，所以当由p⇒q较困难时，可利用等价转化，先判断由綈q⇒綈p，从而得到p⇒q.
例4 已知p：
x＋y≠2，q：
x，y不都是1，则p是q的____条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）
解析 因为p：
x＋y≠2，q：
x≠1或y≠1，
所以綈p：
x＋y＝2，綈q：
x＝1且y＝1.
因为綈p⇏綈q，但綈q⇒綈p，
所以綈q是綈p的充分不必要条件，
即p是q的充分不必要条件.
答案 充分不必要
4 例析逻辑用语中的常见误区
误区1 所有不等式、集合运算式都不是命题
例1 判断下列语句是不是命题，若是命题，判断其真假.
（1）x＋2>0；
（2）x2＋2>0；
（3）A∩B＝A∪B；
（4）A⊆（A∪B）.
错解
（1）
（2）（3）（4）都不是命题.
剖析
（1）中含有未知数x，且x不确定，所以x＋2的值也不确定，故无法判断x＋2>0是否成立，不能判断其真假，故
（1）不是命题.
（2）x虽为未知数，但x2≥0，所以x2＋2≥2，故可判断x2＋2>0成立，故
（2）为真命题.
（3）若A＝B，则A∩B＝A∪B＝A＝B；
若AB，则A∩B＝A（A∪B）＝B.
由于A，B的关系未知，所以不能判断其真假，故（3）不是命题.
（4）A为A∪B的子集，故A⊆（A∪B）成立，故（4）为真命题.
正解
（2）（4）是命题，且都为真命题.
误区2 原命题为真，其否命题必为假
例2 判断下列命题的否命题的真假：
（1）若a＝0，则ab＝0；
（2）若a2>b2，则a>b.
错解
（1）因为原命题为真命题，故其否命题是假命题；
（2）因为原命题为假命题，故其否命题为真命题.
剖析 否命题的真假与原命题的真假没有关系，否命题的真假不能根据原命题的真假来判断，应先写出原命题的否命题，再判断.
正解
（1）否命题为：
若a≠0，则ab≠0，是假命题；
（2）否命题为：
若a2≤b2，则a≤b，是假命题.
误区3 搞不清谁是谁的条件
例3 使不等式x－3>0成立的一个充分不必要条件是（ ）
A.x>3B.x>4C.x>2D.x∈{1，2，3}
错解 由不等式x－3>0成立，
得x>3，显然x>3⇒x>2，又x>2⇏x>3，因此选C.
剖析 若p的一个充分不必要条件是q，则q⇒p，p⇏q.本题要求使不等式x－3>0成立的一个充分不必要条件，又x>4⇒x－3>0，而x－3>0⇏x>4，所以使不等式x－3>0成立的一个充分不必要条件为x>4.
正解 B
误区4 考虑问题不周
例4 如果a，b，c∈R，那么“b2>4ac”是“方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
错解 判别式Δ＝b2－4ac>0，即方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根；若方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根，则判别式Δ＝b2－4ac>0，即b2>4ac.综上可知“b2>4ac”是“方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根”的充要条件，选C.
剖析 判别式Δ＝b2－4ac只适用于一元二次方程的实数根存在情况的判断.对于方程ax2＋bx＋c＝0，当a＝0时，原方程为一次方程bx＋c＝0（b≠0），一次方程不存在判别式，所以当b2>4ac时不能推出方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根；若方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根，则它的判别式Δ＝b2－4ac>0，即b2>4ac.由上可知，“b2>4ac”是“方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根”的必要不充分条件.
正解 B
误区5 用“且”“或”联结命题时只联结条件或结论
例5
（1）已知p：
方程（x－11）（x－2）＝0的根是x＝11；q：
方程（x－11）（x－2）＝0的根是x＝2，试写出“p∨q”.
（2）p：
四条边相等的四边形是正方形；q：
四个角相等的四边形是正方形，试写出“p∧q”.
错解
（1）p∨q：
方程（x－11）（x－2）＝0的根是x＝11或x＝2.
（2）p∧q：
四条边相等且四个角相等的四边形是正方形.
剖析
（1）
（2）两题中p，q都是假命题，所以“p∨q”，“p∧q”也都应是假命题.而上述解答中写出的两命题却都是真命题.错误原因是：
（1）只联结了两个命题的结论；
（2）只联结了两个命题的条件.
正解
（1）p∨q：
方程（x－11）（x－2）＝0的根是x＝11或方程（x－11）（x－2）＝0的根是x＝2.
（2）p∧q：
四条边相等的四边形是正方形且四个角相等的四边形是正方形.
误区6 不能正确否定结论
例6 p：
方程x2－5x＋6＝0有两个相等的实数根，试写出“綈p”.
错解 綈p：
方程x2－5x＋6＝0有两个不相等的实数根.
剖析 命题p的结论为“有两个相等的实数根”，所以“綈p”应否定“有”，而不能否定“相等”.
正解 綈p：
方程x2－5x＋6＝0没有两个相等的实数根.
误区7 对含有一个量词的命题否定不完全
例7 已知命题p：
存在一个实数x0，使得x
－x0－2<0，写出綈p.
错解一 綈p：
存在一个实数x0，使得x
－x0－2≥0.
错解二 綈p：
对任意的实数x，都有x2－x－2<0.
剖析 该命题是特称命题，其否定是全称命题，但错解一中得到的綈p仍是特称命题，显然只对结论进行了否定，而没有对存在量词进行否定；错解二中只对存在量词进行了否定，而没有对结论进行否定.
正解 綈p：
对任意的实数x，都有x2－x－2≥0.
误区8 忽略了隐含的量词
例8 写出下列命题的否定：
（1）不相交的两条直线是平行直线；
（2）奇函数的图象关于y轴对称.
错解
（1）不相交的两条直线不是平行直线；
（2）奇函数的图象不关于y轴对称.
剖析 以上错误解答在于没有看出这两个命题都是全称命题.对于一些量词不明显或不含有量词，但其实质只是在文字叙述上省略了某些量词的命题，要特别引起注意.
正解
（1）存在不相交的两条直线不是平行直线；
（2）存在一个奇函数的图象不关于y轴对称.
5 解“逻辑”问题的三意识
1.转化意识
由于互为逆否的两个命题同真假，因此，当原命题的真假不易判断或证明原命题较困难时，可以转化为逆否命题来判断或证明.
例1 证明：
若a2－b2＋2a－4b－3≠0，则a－b≠1.
分析 本题直接证明原命题是真命题，显然不太容易，可考虑转化为证明它的逆否命题是真命题.
证明 命题“若a2－b2＋2a－4b－3≠0，则a－b≠1”的逆否命题是“若a－b＝1，则a2－b2＋2a－4b－3＝0”.由a－b＝1得a2－b2＋2a－4b－3＝（a＋b）（a－b）＋2（a－b）－2b－3＝a－b－1＝0.∵原命题的逆否命题是真命题，∴原命题也是真命题.故若a2－b2＋2a－4b－3≠0，则a－b≠1.
例2 命题p：
实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a<0，命题q：
实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0，且q是p的必要不充分条件，求a的取值范围.
分析 将充分、必要条件转化为集合之间的关系，进而转化为集合运算问题.
解 设A＝{x|x2－4ax＋3a2<0（a<0）}＝{x|3aB＝{x|x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0}
＝{x|x2－x－6≤0}∪{x|x2＋2x－8>0}
＝{x|－2≤x≤3}∪{x|x<－4或x>2}
＝{x|x<－4或x≥－2}.
因为q是p的必要不充分条件，
所以p⇒q，q⇏p，由AB得
或
即a≤－4或－
≤a<0.
所以实数a的取值范围是（－∞，－4]∪[－
，0）.
2.简化意识
判断命题真假的关键：
一是识别命题的构成形式；二是分别将各命题简化，对等价的简化命题进行判断.
例3 已知命题p：
函数y＝log0.5（x2＋2x＋a）的值域为R，命题q：
函数y＝－（5－2a）x是R上的减函数.若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是________.
分析 先将命题p，q等价转化，再根据题意构建关于a的关系式，从而得到a的取值范围.
解析 函数y＝log0.5（x2＋2x＋a）的值域为R，即y＝x2＋2x＋a的值域是（0，＋∞），即在方程x2＋2x＋a＝0中，Δ＝4－4a≥0⇔a≤1，即p真⇔a≤1；
函数y＝－（5－2a）x是减函数⇔5－2a>1⇔a<2，
即q真⇔a<2.
由p或q为真命题，p且q为假命题，知命题p，q中必有一真一假.若p真q假，则无解；若p假q真，则1故满足题意的实数a的取值范围是（1，2）.
答案 （1，2）
点评 若命题“p或q”“p且q”中含有参数，求解时，可以先等价转化命题p，q，直至求出这两个命题为真时参数的取值范围，再依据“p或q”“p且q”的真假情况确定参数的取值范围.
3.反例意识
在“逻辑”中，经常要对一个命题的真假（尤其是假）作出判断，若直接从正面判断一个命题是假命题不易进行，这时可以通过举出恰当的反例来说明，这是一个简单有效的办法.
例4 设A，B为两个集合，则下列四个命题中真命题的序号是________.
①A⊈B⇔对任意x∈A，都有x∉B；
②A⊈B⇔A∩B＝∅；
③A⊈B⇔B⊈A；
④A⊈B⇔存在x0∈A，使得x0∉B.
分析 画出表示A⊈B的Venn图进行判断.
解析 画出Venn图，如图1所示，则A⊈B⇔存在x0∈A，使得x0∉B，故①②是假命题，④是真命题.
A⊈B⇒B⊈A不成立的反例如图2所示.同理可得B⊈A⇒A⊈B不成立.故③是假命题.
综上知，真命题的序号是④.
答案 ④
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