第一章 四边形性质探索.docx

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第一章四边形性质探索

第一章四边形性质探索

一、四边形的相关概念

1、四边形：

在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形。

2、四边形具有不稳定性

3、四边形的内角和定理及外角和定理

四边形的内角和定理：

四边形的内角和等于360°。

四边形的外角和定理：

四边形的外角和等于360°。

推论：

多边形的内角和定理：

n边形的内角和等于（n-2）*180°；

多边形的外角和定理：

任意多边形的外角和等于360°。

6、设多边形的边数为n，从n边形的一个顶点出发能引（n-3）条对角线，将n边形分成（n-2）个三角形。

多边形的对角线共有

条。

二、平行四边形

1、平行四边形的定义

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2、平行四边形的性质

（1）平行四边形的对边平行且相等。

（2）平行四边形相邻的角互补，对角相等

（3）平行四边形的对角线互相平分。

（4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。

常用点：

（1）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对角线的交点，并且这条直线二等分此平行四边形的面积。

（2）推论：

夹在两条平行线间的平行线段相等。

3、平行四边形的判定

（1）定义：

两组对边分别平行的四边形是平行四边形

（2）定理1：

两组对角分别相等的四边形是平行四边形

（3）定理2：

两组对边分别相等的四边形是平行四边形

（4）定理3：

对角线互相平分的四边形是平行四边形

（5）定理4：

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

4、两条平行线之间的距离（平行线间的距离处处相等）

两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。

5、平行四边形的面积：

S平行四边形=底边长×高=ah

三、菱形

1、菱形的定义

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形

2、菱形的性质

（1）菱形的四条边相等，对边平行

（2）菱形的相邻的角互补，对角相等

（3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角

（4）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点（对称中心到菱形四条边的距离相等）；对称轴有两条，是对角线所在的直线。

3、菱形的判定

（1）定义：

有一组邻边相等的平行四边形是菱形

（2）定理1：

四边都相等的四边形是菱形

（3）定理2：

对角线互相垂直的平行四边形是菱形

4、菱形的面积

S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半

例1．已知：

如图，在

ABCD中，AE平分∠BAD，与BC相交于点E，EF∥AB，与AD相交于点F，求证：

四边形ABEF是菱形．

解析：

先证四边形ABEF是平行四边形，再由AE平分∠BAF，得∠FAE=∠BAE．

又由∠FAE=∠AEB，得∠BAE=∠BEA，所以AB=BE，所以

ABEF是菱形．

例2．已知：

如图，在

ABCD中，O为AC的中点，过点O作AC的垂线，与AD、BC相交于点E、F，求证：

四边形AFCE是菱形．

解析：

可证出△AEO≌△CFO，得AE=CF．再由AC是EF的垂直平分线，得EC=EA，AF=CF．

由此得EC=AF=CF，所以四边形AFCE是菱形．

四、矩形

1、矩形的定义

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

2、矩形的性质

（1）矩形的对边平行且相等

（2）矩形的四个角相等，都是直角

（3）矩形的对角线相等且互相平分

（4）矩形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点（对称中心到矩形四个顶点的距离相等）；对称轴有两条，是对边中点连线所在的直线。

3、矩形的判定

（1）定义：

有一个角是直角的平行四边形是矩形

（2）定理1：

有三个角是直角的四边形是矩形

（3）定理2：

对角线相等的平行四边形是矩形

4、矩形的面积：

S矩形=长×宽=ab

五、正方形

1、正方形的定义

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

2、正方形的性质

（1）正方形四条边都相等，对边平行

（2）正方形的四个角都是直角

（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角

（4）正方形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点；对称轴有四条，是对角线所在的直线和对边中点连线所在的直线。

3、正方形的判定

判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：

先证它是矩形，再证它是菱形。

先证它是菱形，再证它是矩形。

4、正方形的面积

设正方形边长为a，对角线长为b

S正方形=

例1.菱形的周长为20cm，相邻两内角的比为1：

2，求菱形的面积？

解：

如图所示，菱形ABCD，由于周长为20cm，∴AB=5cm

过点A作BC的垂线，垂足为E，则∠BAE=30°

另一种解法：

如图所示，连结AC、BD，相交于点O。

∴△ABC是等边三角形，∴AC=5

点拨：

菱形的两种求面积的方法都比较常用，注意根据题中所给的条件灵活选择。

有时要与一些特殊角，比如30°、60°角的特殊性质联系起来。

六、梯形

（一）1、梯形的相关概念

一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

梯形中平行的两边叫做梯形的底，通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底。

梯形中不平行的两边叫做梯形的腰。

梯形的两底的距离叫做梯形的高。

2、梯形的判定

（1）定义法：

一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形。

（2）一组对边平行且不相等的四边形是梯形。

（二）直角梯形的定义：

一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。

一般地，梯形的分类如下：

一般梯形

梯形直角梯形

特殊梯形

等腰梯形

（三）等腰梯形

1、等腰梯形的定义

两腰相等的梯形叫做等腰梯形。

2、等腰梯形的性质

（1）等腰梯形的两腰相等，两底平行。

（2）等腰梯形同一底上的两个角相等，同一腰上的两个角互补,不同底的两个角互补。

（3）等腰梯形的对角线相等。

（4）等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，即两底的垂直平分线。

3、等腰梯形的判定

（1）定义：

两腰相等的梯形是等腰梯形

（2）定理：

在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

（3）对角线相等的梯形是等腰梯形。

（选择题和填空题可直接用）

（四）梯形的面积

（1）如图，

（2）梯形中有关图形的面积：

①

；

②

；

③

七、有关中点四边形问题的知识点：

（1）顺次连接任意四边形的四边中点所得的四边形是平行四边形；

（2）顺次连接矩形的四边中点所得的四边形是菱形；

（3）顺次连接菱形的四边中点所得的四边形是矩形；

（4）顺次连接等腰梯形的四边中点所得的四边形是菱形；

（5）顺次连接对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是菱形；

（6）顺次连接对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形；

（7）顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形四边中点所得的四边形是正方形；

八、中心对称图形

1、定义

在平面内，一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。

2、性质

（1）关于中心对称的两个图形是全等形。

（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。

（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。

3、判定

如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。

例.作图，作出△ABC绕O点旋转180°后的图形。

解：

作法：

（1）连结AO并延长在延长线上截取A’O=AO

（2）连结BO并延长在延长线上截取B’O=BO

（3）连结CO并延长在延长线上截取C’O=CO

（4）顺次连结A’B’，B’C’，C’A’。

△A’B’C’即为所求。

九、四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形、直角梯形的关系：

例.如图所示，梯形ABCD，AC=BD，这个梯形是等腰梯形吗？

说明理由。

解：

是等腰梯形，理由如下：

把AC平移到DE的位置，则四边形ACED是平行四边形

∵DE=BD，∠1=∠2

∴∠2=∠3，∴∠1=∠3

在△DBC和△ACB中，DB=AC，∠1=∠3，BC=CB

∴△DBC≌△ACB（SAS）

∴DC=AB

∴梯形ABCD是等腰梯形。

例1.如图所示，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，将矩形沿AC折叠，点D落在点D’处，则重叠部分△AEC的面积为多少？

解：

∵CD’=CD=AB，∠CED’=∠AEB，∠D’=∠B=90°

点拨：

设未知数列方程有时是解决几何问题的重要方法。

第四章四边形性质探索单元测试卷

班级:

座位:

姓名:

成绩:

____________

一、细心填一填（答案写在本试卷指定横线内，每小题3分，共30分）

1、如图1，在□ABCD中，∠BAC=34°，∠ACB=26°，∠DAC=；∠ACD=；∠B=_____；∠D=______。

2、平行四形相等；相等；互相平分。

3、如图2，在□ABCD中，已知∠ADO=90°，OA=6cm；OB=3cm，那么AD=_____cm，AC=______cm。

4、如图3，四边形ABCD，AC、BD相交于点O，若OA=OC，要使四边形ABCD是平行四边形，需要增加条件是。

5、如图4，□ABCD中，E、F分别为边AB、DC的中点，则图中共有个平行四边形。

6、若菱形的对角线长分别是6、8，则其周长是，面积是。

7、如图5，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于O点，且AB=OA=2cm，则BD的长为________cm，BC的长为_______cm。

8、正n边形的内角和等于1080°，那么这个正n边形的边数n=_____。

9、如图6，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC=DC，∠A=45°，

DE⊥AB于E，且DE=1，那么梯形ABCD的周长为_______，面积为_______。

10、中心对称图形的对应点连线经过，并且被平分。

二、精心选一选，答案字母填在括号里（每小题3分，共24分）：

11、下列美丽的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（）

A、1个B、2个C、3个D、4个

12、不能进行密铺的图形是（）

A、正三边形B、正四边形C、正五边形D、正六边形

13、下列命题中，正确命题是（）

A、两条对角线相等的四边形是平行四边形；

B、两条对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；

C、两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形；

D、两条对角线平分且相等的四边形是正方形。

14、下列条件中不能确定四边形ABCD是平行四边形的是（）

A、AB=CD，AD∥BCB、AB=CD，AB∥CD

C、AB∥CD，AD∥BCD、AB=CD，AD=BC

15、小明用两根同样长的竹棒做对角线，制作四边形的风筝，则该风筝的形状一定是

（）A、矩形B、正方形C、等腰梯形D、无法确定

16、菱形的边长为5，一条对角线长为8，另一条对角线长为（）

A、4B、6C．、8D、10

17、关于四边形ABCD：

①两组对边分别平行；②两组对边分别相等；③有两组角相等；④对角线AC和BD相等；以上四个条件中，可以判定四边形ABCD是平行四边形的有（）

A、1个B、2个C、3个D、4个

18、若正方形的对角线长为2

，则这个正方形的面积为（）

A、4

B、2

C、

D、

三、解答下列各题（共46分）

19、（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形AD=12、AB=13，BD⊥AD，求BC，CD及OB的长。

20、（8分）如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F。

（1）写出图中每一对你认为全等的三角形；

（2）选择

（1）中的任意一对进行证明。

21、（8分）在□ABCD中，E、F分别在DC、AB上，且DE=BF，四边形AFCE是平行四边形吗？

说说你的理由。

22、（10分）如图，在□ABCD中，E、F分别是BC、AD上的点，且AE∥CF，AE与CF相等吗？

说明理由.

23、（12分）矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥DB，DE、CE交于E，那么四边形DOCE是菱形，请你写出说明过程．

答案

一、1、

，

。

2、对边、对角、对角线。

3、

。

4、略。

5、4。

6、20，24。

7、4，

。

8、8。

9、

，

。

10、对称中心。

二、11、C．12、C。

13、C。

14、A。

15、D。

16、B。

17、C。

18、B

三、19、解20、解；

、

、

21、证明：

22、证明：

23证明：