九年级数学上册第二十二章二次函数222二次函数与一元二次方程同步练习.docx

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九年级数学上册第二十二章二次函数222二次函数与一元二次方程同步练习

22.2二次函数与一元二次方程

学校：

___________姓名：

___________班级：

___________

一．选择题（共12小题）

1．抛物线y=x2﹣x﹣6与x轴的交点坐标是（　　）

A．（3，0）B．（﹣2，0）

C．（﹣6，0），（1，0）D．（3，0），（﹣2，0）

2．下列二次函数中，（　　）的图象与x轴没有交点．

A．y=3x2B．y=2x2﹣4C．y=3x2﹣3x+5D．y=8x2+5x﹣3

3．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴两交点的横坐标分别为x1，x2，且x1＜0＜x2，则当ax2+bx+c≤0时，x的取值范围是（　　）

A．x1＜x＜x2B．x1≤x≤x2C．﹣x1≤x≤x2D．x≤x1或x≥x2

4．如果二次函数y=﹣x2﹣2x+c的图象在x轴的下方，则c的取值范围为（　　）

A．c＜﹣1B．c≤﹣1C．c＜0D．c＜1

5．根据抛物线y=x2+3x﹣1与x轴的交点的坐标，可以求出下列方程中哪个方程的近似解（　　）

A．x2﹣1=﹣3xB．x2+3x+1=0C．3x2+x﹣1=0D．x2﹣3x+1=0

6．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标（﹣1，﹣3.2）及部分图象（如图），由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3和x2=（　　）

A．﹣1.3B．﹣2.3C．﹣0.3D．﹣3.3

7．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0）、点B（3，0）、点C（4，y1），若点D（x2，y2）是抛物线上任意一点，有下列结论：

①二次函数y=ax2+bx+c的最小值为﹣4a；

②若﹣1≤x2≤4，则0≤y2≤5a；

③若y2＞y1，则x2＞4；

④一元二次方程cx2+bx+a=0的两个根为﹣1和

其中正确结论的个数是（　　）

A．1B．2C．3D．4

8．函数y=ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），则使函数值y＜0成立的x的取值范围是（　　）

A．x＜﹣4或x＞2B．﹣4＜x＜2C．x＜0或x＞2D．0＜x＜2

9．对于抛物线y=ax2+（2a﹣1）x+a﹣3，当x=1时，y＞0，则这条抛物线的顶点一定在（　　）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

10．已知函数y=﹣（x﹣m）（x﹣n）+3，并且a，b是方程（x﹣m）（x﹣n）=3的两个根，则实数m，n，a，b的大小关系可能是（　　）

A．m＜a＜b＜nB．m＜a＜n＜bC．a＜m＜b＜nD．a＜m＜n＜b

11．关于x的方程（x﹣3）（x﹣5）=m（m＞0）有两个实数根α，β（α＜β），则下列选项正确的是（　　）

A．3＜α＜β＜5B．3＜α＜5＜βC．α＜2＜β＜5D．α＜3且β＞5

12．若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个根分别为x1=1，x2=2，那么抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线（　　）

A．x=1B．x=2C．x=

D．x=﹣

二．填空题（共5小题）

13．若函数y=x2+2x﹣m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为　　．

14．如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则方程ax2=bx+c的解是　　．

15．已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根的和为　　．

16．已知抛物线y=x2﹣（k﹣1）x﹣3k﹣2与x轴交于A（α，0），B（β，0）两点，且α2+β2=17，则k=　　．

17．已知一元二次方程（x﹣1）（x﹣3）=5的两个实数根分别为x1，x2．则抛物线y=（x﹣x1）（x﹣x2）+5与x轴的交点坐标为　　．

三．解答题（共4小题）

18．已知关于x的一元二次方程mx2+（1﹣5m）x﹣5=0（m≠0）．

（1）求证：

无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根；

（2）若抛物线y=mx2+（1﹣5m）x﹣5=0与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且|x1﹣x2|=6，求m的值；

（3）若m＞0，点P（a，b）与Q（a+n，b）在

（2）中的抛物线上（点P、Q不重合），求代数式4a2﹣n2+8n的值．

19．设二次函数y=ax2+bx﹣（a+b）（a，b是常数，a≠0）．

（1）判断该二次函数图象与x轴的交点的个数，说明理由．

（2）若该二次函数图象经过A（﹣1，4），B（0，﹣1），C（1，1）三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式．

（3）若a+b＜0，点P（2，m）（m＞0）在该二次函数图象上，求证：

a＞0．

20．已知二次函数y=2（x﹣1）（x﹣m﹣3）（m为常数）．

（1）求证：

不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；

（2）当m取什么值时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方？

21．如图，抛物线y=﹣

x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点A（﹣1，0），点C（0，2）

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）若D是抛物线位于第一象限上的动点，求△BCD面积的最大值及此时点D的坐标．

参考答案与试题解析

一．选择题（共12小题）

1．

解：

令y=0，求出x的值为﹣2与3，故交点坐标为（3，0），（﹣2，0），

故选：

D．

2．

解：

利用△=b2﹣4ac分别判断每个二次函数，

A项函数△=0，图象与x轴一个交点；

B项函数△=32＞0，图象与x轴有两个交点；

C项函数△=﹣51＜0，图象与x轴没有交点；

D项函数△=76＞0，图象与x轴有两个交点．

故选：

C．

3．

解：

当ax2+bx+c≤0时，即y≤0，由图象可知：

x1≤x≤x2时，y≤0

∴当ax2+bx+c≤0时，x的取值范围是x1≤x≤x2．

故选：

B．

4．

解：

由题意得

，解得c＜﹣1，

故选：

A．

5．

解：

∵抛物线y=x2+3x﹣1与x轴的交点的横坐标就是方程x2+3x﹣1=0的根，

∴可以求出方程x2+3x﹣1=0的根，

方程x2﹣1=﹣3x与方程x2+3x﹣1=0等价，

∴可以求出方程x2﹣1=﹣3x的根．

故选：

A．

6．

解：

方法一：

∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标（﹣1，﹣3.2）

∴﹣

=﹣1则﹣

=﹣2

∵x1x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根

∴x1+x2=﹣

又∵x1=1.3

∴x1+x2=1.3+x2=﹣2

解得x2=﹣3.3．

方法二：

根据对称轴为；x=﹣1，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3，

则

=﹣1，即

=﹣1，

解得：

x2=﹣3.3，

故选：

D．

7．

解：

抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），

即y=ax2﹣2ax﹣3a，

∵y=a（x﹣1）2﹣4a，

∴当x=1时，二次函数有最小值﹣4a，所以①正确；

当x=4时，y=a•5•1=5a，

∴当﹣1≤x2≤4，则﹣4a≤y2≤5a，所以②错误；

∵点C（1，5a）关于直线x=1的对称点为（﹣2，﹣5a），

∴当y2＞y1，则x2＞4或x＜﹣2，所以③错误；

∵b=﹣2a，c=﹣3a，

∴方程cx2+bx+a=0化为﹣3ax2﹣2ax+a=0，

整理得3x2+2x﹣1=0，解得x1=﹣1，x2=

，所以④正确．

故选：

B．

8．

解：

抛物线y=ax2+2ax+m得对称轴为直线x=﹣

=﹣1，

而抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0），

∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣4，0），

∵a＜0，

∴抛物线开口向下，

∴当x＜﹣4或x＞2时，y＜0．

故选：

A．

9．

解：

把x=1，y＞0代入解析式可得：

a+2a﹣1+a﹣3＞0，

解得：

a＞1，

所以可得：

﹣

，

，

所以这条抛物线的顶点一定在第三象限，

故选：

C．

10．

解：

函数y=﹣（x﹣m）（x﹣n）+3，

令y=0，根据题意得到方程（x﹣m）（x﹣n）=3的两个根为a，b，

∵当x=m或n时，y=3＞0，

∴实数m，n，a，b的大小关系为a＜m＜n＜b．

故选：

D．

11．

解：

将抛物线y=（x﹣3）（x﹣5）往下平移m个单位可得出抛物线y=（x﹣3）（x﹣5）﹣m，

画出函数图象，如图所示．

∵抛物线y=（x﹣3）（x﹣5）与x轴的交点坐标为（3，0）、（5，0），抛物线y=（x﹣3）（x﹣5）﹣m与x轴的交点坐标为（α，0）、（β，0），

∴α＜3＜5＜β．

故选：

D．

12．

解：

∵方程x2+bx+c=0的两个根分别为x1=1、x2=2，

∴抛物线y=x2+bx+c与x轴的交点坐标为（1，0）、（2，0），

∴抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=

=

．

故选：

C．

二．填空题（共5小题）

13．

解：

∵函数y=x2+2x﹣m的图象与x轴有且只有一个交点，

∴△=22﹣4×1×（﹣m）=0，

解得：

m=﹣1．

故答案为：

﹣1．

14．

解：

∵抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），

∴方程组

的解为

，

，

即关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为x1=﹣2，x2=1．

所以方程ax2=bx+c的解是x1=﹣2，x2=1

故答案为x1=﹣2，x2=1．

15．

解：

∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=1，

∴﹣

=1，

∴b=﹣2a，

∴关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根的和为﹣

=2．

故答案为：

2．

16．

解：

∵抛物线y=x2﹣（k﹣1）x﹣3k﹣2与x轴交于A（α，0），B（β，0）两点，

∴α+β=k﹣1，αβ=﹣3k﹣2，

∵α2+β2=17，

∴α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=（k﹣1）2﹣2（﹣3k﹣2）=17，

解得，k=2或k=﹣6，

∵△≥0，

∴k=2．

故答案为：

2．

17．

解：

∵一元二次方程（x﹣1）（x﹣3）=5的两个实数根分别为x1、x2，

∴抛物线y=（x﹣1）（x﹣3）﹣5与x轴交于点（x1，0）、（x2，0），

∴y=（x﹣1）（x﹣3）﹣5=（x﹣x1）（x﹣x2），

∴y=（x﹣x1）（x﹣x2）+5=（x﹣1）（x﹣3），

∴抛物线y=（x﹣x1）（x﹣x2）+5与x轴的交点坐标为（1，0）、（3，0）．

故答案为：

（1，0）、（3，0）．

三．解答题（共4小题）

18．

（1）证明：

由题意可得：

△=（1﹣5m）2﹣4m×（﹣5）

=1+25m2﹣20m+20m

=25m2+1＞0，

故无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根；

（2）解：

mx2+（1﹣5m）x﹣5=0，

解得：

x1=﹣

，x2=5，

由|x1﹣x2|=6，

得|﹣

﹣5|=6，

解得：

m=1或m=﹣

；

（3）解：

由

（2）得，当m＞0时，m=1，

此时抛物线为y=x2﹣4x﹣5，其对称轴为：

x=2，

由题已知，P，Q关于x=2对称，

∴

=2，即2a=4﹣n，

∴4a2﹣n2+8n=（4﹣n）2﹣n2+8n=16．

19．

解：

（1）

由题意△=b2﹣4•a[﹣（a+b）]=b2+4ab+4a2=（2a+b）2≥0

∴二次函数图象与x轴的交点的个数有两个或一个

（2）当x=1时，y=a+b﹣（a+b）=0

∴抛物线不经过点C

把点A（﹣1，4），B（0，﹣1）分别代入得

解得

∴抛物线解析式为y=3x2﹣2x﹣1

（3）当x=2时

m=4a+2b﹣（a+b）=3a+b＞0①

∵a+b＜0

∴﹣a﹣b＞0②

①②相加得：

2a＞0

∴a＞0

20．

（1）证明：

当y=0时，2（x﹣1）（x﹣m﹣3）=0，

解得：

x1=1，x2=m+3．

当m+3=1，即m=﹣2时，方程有两个相等的实数根；

当m+3≠1，即m≠﹣2时，方程有两个不相等的实数根．

∴不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；

（2）解：

当x=0时，y=2（x﹣1）（x﹣m﹣3）=2m+6，

∴该函数的图象与y轴交点的纵坐标为2m+6，

∴当2m+6＞0，即m＞﹣3时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方．

21．

解：

（1）将A，C代入得：

，

解得：

，

则抛物线的函数解析式为y=﹣

x2+

x+2；

（2）连接OD，则有B（4，0），设D（m，﹣

m2+

m+2），

∵S四边形OCDB﹣S△OCD﹣S△OBD=

×2m+

×4（﹣

m2+

m+2）=﹣m2+4m+4，

∴S△BCD=S四边形OCDB﹣S△OBC=﹣m2+4m+4﹣

×4×2=﹣m2+4m=﹣（m﹣2）2+4，

当m=2时，S△BCD取得最大值4，

此时yD=﹣

×4+

×2+2=3，即D（2，3）．