《用数对确定位置》张齐华 课堂 实录 1.docx

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《用数对确定位置》张齐华课堂实录1

“用数对确定位置”教学实录

一、谈话引入

师：

看来，二年级掌握的方法，还真能帮助我们很快确定一个人的位置。

不过，换个角度看看，除了第4组第3个以外，还可以怎么确定他的位置？

生：

第3排第4个。

师：

既然这样的方式已经能够确定位置了，那我们今天还来研究什么呢？

生：

我觉得是不是有比像“第3排第4个，第4组第3个“更简洁的方法，也可以用来确定位置。

师：

是呀，真和数学们想一块儿去了！

那你们觉得，会不会有比它更简洁的确定位置的方法呢？

如果有，那又会是什么样的呢？

下面的时间，我把这一任务留给四人小组，看看能不能集中大家的智慧，创造出一种更简洁，同时也很准确的方法。

别忘了，把研究出的方法，记录在自己的作业本上。

如能找到不同的方法，都可以记录下来！

（学生以小组为单位展开研究，时间是5分钟。

教师巡视，并将学生中出现的典型方法记录下来，然后板书如下：

①4排3个②43③4.3④竖4横3⑤↑4→3⑥4-3⑦4，3）

三、交流建构

师：

这些方法似乎都挺简洁，到底该选哪一种呢？

还是请大家来作评判吧。

（生觉得前三种方法都不好。

听了半天，老师听到的似乎都是批评的声音）

师：

难道，刚才被批评的方法，一点值得肯定的地方都没有吗？

生：

不对，它们好歹都比原来要简洁一些。

师：

这就是一种进步！

不过，除了简洁，难道就没有别的什么共同的地方？

生：

哦，它们都有4和3这两个数。

师：

多善于观察！

那剩下的几种方法呢？

生：

也都有这两个数。

师：

既然每一个小组都不约而同地保留了这两个数，说明——

生：

这两个数一定很重要。

生：

缺一不可！

师：

说得好！

那这里的4和3究竟各表示什么意思呢？

为了便于观察和思考，我们可以把这里的每个人都看做一个小圆圈。

（出示下图）

生：

就里的4应该表示第4竖排。

师：

数学上，我们把竖着的排叫做列。

从左往右起，这里第1列，这是——

（生答略）

师：

原来，4表示张老师的儿子在第4列。

那3呢？

生：

3表示第3横排。

生：

3表示第3行。

师：

是的，数学上，横着的排就叫行。

确定行，通常都是从前往后，从下往上。

这是第1行，这是——

（生答略）

师：

现在，确定了第4列，又确定了第3行，能最终确定他的位置吗？

（师利用课件，用两条直线表示相应的行和列，并相交于一眯，以确定相应的位置。

如下图）

师：

试想，如果只给你第4列，行吗？

只给第3行呢？

（生答略）

师：

看来，行数和列数还真的缺一不可，少了谁，都无法确定他的位置。

既然如此，我觉得剩下的几种方法似乎都不错呀。

哪种更好呢？

生：

我觉得第4种肯定不行，既有数字又有汉字，看起来就不简洁。

师：

不过，老师很好奇：

他们小组明知加上汉字不够简洁，为什么还非得要添上这两个字呢？

生：

我知道！

不添上这两个字，那就不知道这里的４和３哪个是行，哪个是列了。

生：

如果这样，那我觉得第６和第７种也都不行。

虽然它们都保留了４和３，并且也很简洁，但是，由于它没有说清楚哪个是行，哪个是列，所以很容易混淆。

（该生的观点得到了全班多数同学的支持）所以，我觉得还是第５种方法比较好。

竖着的箭头表示列，横着的箭头表示行。

连在一起就是第４列第３行，而且也很简洁。

师：

同意这位同学观点的请举手。

（绝大多数举手表示同意）这么多同学都同意啊？

那你们不是成心要为难老师嘛！

生：

为什么？

师：

因为数学家们最终的方法，已经被你们给否定掉了！

生：

啊？

师：

猜猜看，他们最终采纳的可能是其中的哪种方法？

生：

不会是最后一种吧？

师：

真被你给猜中了。

那现在，你们觉得这种方法怎么样？

生：

我还是觉得不行，你不说清楚哪个表示列，哪个表示行，别人还是要混淆的。

师：

这么说，连数学家们的观点你们也反驳？

生：

当然了，因为他们的观点是错的！

师：

那你们说该怎么办？

数学家就这么定的，你们又不同意。

别的方法，你们又觉得不行。

生：

我觉得就可以用第５种，既简洁又准确。

生：

用第７种也行，但必须得加个规定。

师：

什么规定？

生：

得规定哪个数是行数，哪个数是列数，以后遇到这样的情况，都按照这样的规定。

师：

真是太棒了。

你绝对和数学家们心有灵犀！

告诉大家，其实数学家们选择第７种方法时，也发现了它的漏洞。

怎么办呢？

后来一讨论，干脆一不做、二不休，给它来个规定：

以后凡是像这样用行数和列数来确定一个点的位置的，我们通常都将列数写前面，行数写后面。

现在，还会引起误会吗？

生：

不会了。

师：

按照这样的规定，哪个数写前面？

生：

4。

师：

后面呢？

生：

可以写上3。

师：

中间还得加上个逗号。

后来，为了进一步作出区分，他们干脆又在列数和行数外面加上了一个小括号。

（边介绍边板书）像这样，用列数和行数所组成的一个数对来确定位置，就是我们今天要研究的内容。

四、练习巩固

（师出示图片）

师：

小邓和小白是张老师儿子最好的朋友，你能用数对表示他们的位置吗？

（生答略）

师：

真不错。

儿子还有一个要好的朋友叫小中，他的位置如果也用数对表示的话，应该是（5，3）。

你知道他在哪儿吗？

生：

他在第5列第3行。

师：

你是怎么找到的？

生：

因为数对前一个数表示列数，后一个数表示行数。

师：

掌握得确实不错。

瞧，今天，咱们的座位也排得整整齐齐的，如果让你用数对来表示你自己的位置，行吗？

……

师：

看来，自我介绍并不难。

能用这样的方式介绍一下你最好的朋友吗？

生：

我最好的朋友，她的数对是（4，2）。

师：

让我也来认识一下你的朋友，第２列，第４个。

认识你很高兴。

生：

不对，弄错了，我说的是（４，２），不是（２，４）。

师：

（4，2），（2，4），不都是这两个数吗？

怎么就不对了呢？

生：

前面的表示列数，后面的表示行数，所以谁在前谁在后很重要。

交换位置后，相应的点就不同了。

师：

看来，以后用数对确定位置时，这一点一定要弄清楚。

[师重新找到（4，2）处]真正的朋友原来是你啊！

下面，我想再提高要求，我直接报数对，请符合要求的同学迅速起立。

看谁的反应最快。

（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）。

（相应的五名学生一一起立）

师：

奇怪，怎么就齐刷刷地站起来一队？

生：

因为你报的数对有规律。

师：

是吗，说来听听。

生：

这五个数对列数都是3，说明他们都在第3列，当然就站起来一队了。

师：

说起来挺容易，如果也让你来出几个数队，你有本事也让一队同学站起来吗？

谁来试试？

生：

（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）。

师：

发现了什么？

生：

这次站起来的是一行。

师：

有变化了。

能说说为什么吗？

生：

这次的五个数对虽然列数变了，但行数没变，所以站起来的自然就在同一行了。

师：

真不错！

不对，张老师觉得这还不算什么。

说五个数对，站起来一排。

要是我说，我只给一个数对，就可以请一队同学站起来，你们信吗？

生：

不信！

师：

口说无凭，要不试试？

【屏幕显示数对：

（4，x）】符合要求的同学请站起来。

（第4列同学陆陆续续站起来。

教师面对第一名学生）

师：

奇怪，我上面写（4，1）了没？

生：

没有。

师：

那你站起来干吗？

还不坐下去。

生：

不对，（4，x）中的x是一个未知数，既可以表示1，也可以表示2，3.4等，所以我们都站起来了。

师：

瞧老师厉害吧，一个数对，就让一排同学站起来。

生：

不厉害。

我也会！

师：

是吗？

谁来试试。

生：

（x,4）。

……

生：

老师，我还可以让全班同学都站起来。

师：

是吗？

越来越厉害了。

试试！

生：

（x,x）。

师：

来，符合要求的请起立（全班学生都站了起来）。

嗯，让我来看看，当x等于1时，谁谁站起来？

【数对为（1，1）的同学举手示意了一下】不错！

当x等于2呢？

【数对为（2，2）的学生也示意了一下，此时，有部分学生开始犹豫，也有学生重新坐了下来】

师：

奇怪，有人开始坐下去了。

采访一下，你为什么又不站了？

生：

一开始我觉得（x,x）应该包含所有人，但现在看来，我不算。

师：

不是说字母可以表示任何数吗？

你怎么就不算了呢？

生：

字母是可以表示任何数，但我发现，当x等于1时，只有（1，1）可以站，同样，当x等于2、3、4……时，只有（2，2）（3，3）（4，4）……可以站，所以其他人都不能站。

师：

说得有没有道理啊？

生：

有！

生：

我还有补充。

虽然字母可以表示任何数，但两个相同的字母只能表示两个相同的数，这样的话，就不是所有人都能站起来了。

（此时，剩下的同学陆陆续续都坐了下去，只有符合要求的六名学生站着）

生：

我知道了，可以用（x,y）。

师：

这一次，符合要求的请站起来。

（所有学生都站了起来）其实，有错误并不重要，重要的是要从错误中吸取教训，并对问题获得更深入的认识。

五、拓展延伸

师：

其实，除了教室里同学们的座位可以用数对来表示，平面图上的点有时也可以用数对来表示。

（师出示下图）公园平面图

师：

瞧，把公园里的各个景点画在方格图上，也可以用数对表示它们的位置了。

想不想试试？

……

师：

看来，用数对确定位置时，哪个数在前、哪个数在后还真的很重要。

这儿还有一个超市，它用数对表示是（3，1）。

你能在平面图形中找到它的位置吗？

生：

在第3列第1行。

师：

真好！

不过，下面的问题恐怕就不容易解决了。

（课件出示下图）观察一下平面图，怎么啦？

-

生：

都出格了。

师：

说得好！

已经出格了，还能用数对表示它们的位置吗？

……

生：

我是估计的。

我发现古塔大约在第7列第2行，所以古塔的数对应该是（7，2），报亭大约在第8列第4行，所以报亭的数对应该是（8，4）。

师：

有没有什么办法能确认一下这两个数对呢？

生：

很简单，只要把格子再往外画一些就行了。

……

师：

那游乐场呢？

生：

游乐场不行，因为它在下面，下面已经没数了。

生：

不对，游乐场也行，可以用负数。

生：

是的，游乐场可以用（2，-1）来表示。

（不少同学连声附和）

师：

哈哈，连负数都用上了。

能具体说说你的想法吗？

生：

因为它在第2列，可它比第一行还要下一行，应该算负一行，所以可以用（2，-1）来表示。

师：

可别小看这一小小的突破哦。

有了负数的加盟，想一想，如果再往下一些，或者干脆到了左边，我们还能用数对来表示这些点的位置吗？

生：

能！

师：

现在看来，只要确定了方格图，平面上的任何一个点，咱都可以用数对来确定它的位置。

不过，这些都不算什么，想不想挑战更难的？

瞧，这儿有一个三角形ABC。

（出示下图）你能用数对表示出三角形三个顶点的位置吗？

生：

不能！

师：

为什么？

生：

因为没有方格图。

师：

如果给了你方格图呢？

生：

那就能用数对来表示了。

师：

确定？

生：

确定！

师：

那行，谁来试试？

（师接着出示下图）

生：

啊？

不对，还是不能确定。

师：

奇怪，不是说给了方格图就可以确定三个顶点的位置了吗？

生：

可是，你还没有标上行数和列数啊！

没有行数和列数，怎么确定位置呀？

师：

看来，光有方格图还不行，重要的是，我们还要确定行数和列数。

（出示下图）现在，能用数对表示三个顶点的位置吗？

生：

能！

师：

谁来具体说说？

生：

A是（1，1），B是（5，1），C是（4，4）。

师：

没听清楚，A是多少？

生：

A是（1，1）。

（就在学生齐答的时候，师将画面悄悄替换成下图）

师：

是（1，1）吗？

我看好像不对哦。

（生先是一愣，随后大呼大当）

生：

老师，你动了手脚，刚才明明是（1，1，）。

生：

你的方格图换了！

师：

换了吗？

生：

换了！

肯定换了！

师：

呵呵，看来，群众的眼睛是雪亮的啊！

老师这里的方格图的确是换了。

那现在的三个顶点，你还能说出它们的数对吗？

生：

能！

A是（2，2），B是（6，2），C是（5，5）。

师：

不过，老师这儿有问题了。

（出示下图）两幅图中，A、B、C三个点的位置有没有变化？

生：

没有。

师：

对呀！

点的位置都没有发生变化，可为什么同样是A点，相应的数对却发生变化了呢?

生：

因为方格图发生了变化。

师：

由此，你有什么新发现？

生：

哪性是同一个点，在不同的方格图上，也可能用不同的数对来表示。

师：

说得真好！

不过，不管在哪张方格图上，什么东西一定不能缺？

生：

行数和列数。

师：

真的应当能少吗？

生：

真的！

师：

下面，我就不给你行数和列数。

但我相信，只要善于思考，你也一定能根据前面的规则找出相应的数对。

（师出示下图，生思考）

生：

我觉得B点的数对应该是（7，4）。

师：

奇怪，不是没行数和列数了吗？

你又是怎么判断的？

生：

A点的数对是（3，4），说明A在第3列，照这样数下去，B就在第7列。

而B点和A点在同一行，所以行数应该相同，都是4，所以B点的数对是（7，4）。

师：

真了不起，借助点与点之间的位置关系，再根据数对进行推理，同样可以找到B点的数对。

用类似的方法，你能找到C点的数对吗？

生：

能！

是（6，7）。

既然A点在第3列、第4行，照这样数一数，我们便发现，C点在第6列、第7列，所以可以用数对（6，7）来表示。

师：

现在看来，没有行数和列数，我们能找出相应的数对吗？

生：

能！

生：

其实，这道题中的行数和列数还是告诉了我们。

只不过没有直接告诉我们而已。

因为，根据A点的数对，我们便可以判断行数和列数了。

所以我觉得，要找到相应的数对，还是需要行数和列数的。

师：

果然厉害！

一下子就发现了问题的关键。

六、小结提升

师：

今天这节课，我们一起研究了用数对确定位置。

通过今天的学习，你觉得确定一个点的位置，需要几个数？

生：

需要丙从个数。

师：

一个数行吗？

生：

不行。

师：

为什么？

比如，只给列数，行吗？

生：

不行，因为一列中有好多个点，不知道是哪一个点。

师：

只给行数呢？

生：

也不行，因为一行中也有好多个点。

师：

总之一句话，要确定一个点的位置，至少需要几个数？

生：

两个数。

师：

一个数真的不行吗？

生：

不行！

师：

那好，我们来看下面这幅图。

（出示图片）瞧，他们正在排队买票呢。

小明排在第2个，谁是小明？

生：

戴帽子的那个男孩儿。

师：

奇怪，我只给了你一个数，你们不也一下子就确定了小明的位置吗？

继续来看。

（出示不完整的数轴）4个这点在哪儿？

生：

在3的后面。

师：

瞧，不也一个数就确定了点的位置了吗？

生：

老师，这不一样。

师：

哪儿不一样啦？

生：

这两幅图里只有一行，所以要确定点的位置，只需要一个数就行了。

而今天学的不光是一行或一列了，而是有几行几列，我们先要确定它在第几列，然后再确定它在第几行，所以需要用两个数。

师：

说得真好！

那么，既然确定位置，有时需要一个数，有时需要两个数，那么——

生：

有时还需要三个数。

师：

多有气魄的联想！

不过，用数对来确定位置时，究竟有没有什么时候才会需要用到三个数呢？

这些问题，就留给大家在未来的数学学习过程中慢慢去探索和研究吧！

、

张齐华.“用数对确定位置”教学实录［J］.小学教学，2010,（06）:

17-21.确定数学教学的“位置”

一、确定内容本身所处的位置

“确定位置”其内的结构及脉络线索：

由具体情境中用较朴素的方式确定点的位置，逐步发展为用抽象的数对确定位置，进而再拓展到平面直角坐标系或极坐标系等，甚至还可以由二维进一步向三维或多维发展，并在这一过程中逐步衍生出坐标思想。

然而，不少教师在教学这一内容时，往往在如何用“显微镜”对内容本身作微观解读方面做得更好，而在如何用“望远镜”对该教学内容的宏观定位作出把握上，显得关注不够。

教学过程中就“数对”教“数对”的现象较为普遍，而“用数对确定位置”这一内容原本所附着的更为丰富、饱满的教学价值，往往也因为这种不必要的忽视而无形中被普遍弱化。

比如，二年级“用第几排第几个等方式确定位置”无疑是五年级“用数对确定位置”的雏形与基础，但两者的关系该如何去把握？

知识及方法间的前后承接又该如何实现？

这本身便是教学前需要考虑的问题。

进而，如果愿意把线索再往前追溯一下，那么，一年级时学生所认识的“几和第几”无疑是“确定位置”知识序列更早的起点。

由一年级时在某一行（或列）中借助“第几”来“确定”某个人或事物的位置，到二年级时用两个“第几”来确定相应的位置，看似简单的数量增加（“第几”的个数由原来的1增加到了2），而其内在的实质却是：

给定的空间由最初的一维到二维，确定相应空间中点的位置所需参数也自然应由最初的1个增加到2个。

本节课教学之所以选择从学生二年级时已经掌握的“用第几排第几个等方式确定位置”的情境引入，继而引导学生尝试着探索、建构“更简洁准确”的确定位置的方式，由此引出“数对”，进而在课的最后引导学生对“为什么用数对确定位置需要两个数”“用一个数行吗”“为什么有的时候用一个数也行”“会不会存在需要用三个数来确定位置的情况”等问题作出思辨，从而在学生刚刚获得认知平衡的基础上，通过对比材料的引入，帮助学生在深入思考中再次打破平衡，并在“不平衡——平衡——不平衡”的螺旋上升过程中，促进学生获得对“用数对确定位置”这一问题的更深刻的理解和更准确的把握。

……

张齐华.确定数学教学的“位置”［J］.小学教学，2010,（06）:

22-23.