高中数学必修1第三章32解答题21题.docx
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高中数学必修1第三章32解答题21题
必修１第三章3.2解答题21题
一、解答题
1、某乡镇现在人均一年占有粮食360kg，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x年后若人均一年占有ykg粮食，求出函数y关于x的解析式．
2、某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：
（1）写出该城市人口总数y（万人）与年份x（年）的函数关系式；
（2）计算10年以后该城市人口总数（精确到0.1万人）；（1.01210＝1.127）
3、依法纳税是每个公民应尽的义务，国家征收个人工资、薪金所得税是分段计算的：
总收入不超过2000元的，免征个人工资、薪金所得税；超过2000元部分需征税，设全月纳税所得额（所得额指工资、薪金中应纳税的部分）为x，x＝全月总收入－2000元，税率如表所示：
级数
全月应纳税所得额x
税率
1
不超过500元部分
5%
2
超过500元至2000元部分
10%
3
超过2000元至5000元部分
15%
…
…
…
9
超过100000元部分
45%
（1）若应纳税额为f（x），试用分段函数表示1～3级纳税额f（x）的计算公式；
（2）某人2008年10月份工资总收入为4200元，试计算这个人10月份应纳个人所得税多少元？
4、（10分）根据总的发展战略，第二阶段，我国工农业生产总值从2000年到2020年间要翻两番，问这20年间，每年平均增长率至少要多少，才能完成这一阶段构想？
5、商场销售某一品牌的豆浆机，购买人数是豆浆机标价的一次函数，标价越高，购买人数越少，把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每台300元．现在这种豆浆机的成本价是100元/台，商场以高于成本价的相同价格（标价）出售．问：
（1）商场要获取最大利润，豆浆机的标价应定为每台多少元？
（2）通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么豆浆机的标价应为每台多少元？
6、为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比．药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝t－a（a为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为 ；
（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室．
7、为
了保护环境，实现城市绿化，某房地产公司要在拆迁地如图所示长方形ABCD上规划出一块长方形地面建住宅小区公园（公园的一边落在CD上），但不超过文物保护区△AEF的红线EF.问如何设计才能使公园占地面积最大？
并求出最大面积（已知AB＝CD＝200m，BC＝AD＝160m，AE＝60m，AF＝40m）．
8、养鱼场中鱼群的最大养殖量为mt，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量yt和实际养殖量xt与空闲率的乘积成正比，比例系数为k（k>0）．
（1）写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；
（2）求鱼群年增长量的最大值；
（3）当鱼群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围．
9、（10分）某公司通过报纸和电视两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入R（万元）与报纸广告费用x1（万元）及电视广告费用x2（万元）之间的关系有如下经验公式：
R＝－2x12－x22＋13x1＋11x2－28.
（1）若提供的广告费用共为5万元，求最优广告策略．（即收益最大的策略，其中收益＝销售收入－广告费用）
（2）在广告费用不限的情况下，求最优广告策略．
10、为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月（30天）的通话时间x（分）与通话费y（元）的关系如图所示．
（1）分别求出通话费y1，y2与通话时间x之间的函数关系式；
（2）请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜．
11、我县某企业生产A，B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：
利润与投资单位是万元）
（1）分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数，并写出它们的函数关系；
（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：
怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元（精确到1万元）．
12、一片森林原来的面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的，
（1）求每年砍伐面积的百分比；
（2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
（3）今后最多还能砍伐多少年？
13、如图，有一块矩形空地，要在这块空地上开辟一个内接四边形为绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知AB＝a（a>2），BC＝2，且AE＝AH＝CF＝CG，设AE＝x，绿地面积为y.
（1）写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域．
（2）当AE为何值时，绿地面积y最大？
14、用模型f（x）＝ax＋b来描述某企业每季度的利润f（x）（亿元）和生产成本投入x（亿元）的关系．统计表明，当每季度投入1（亿元）时利润y1＝1（亿元），当每季度投入2（亿元）时利润y2＝2（亿元），当每季度投入3（亿元）时利润y3＝2（亿元）．又定义：
当f（x）使[f
（1）－y1]2＋[f
（2）－y2]2＋[f（3）－y3]2的数值最小时为最佳模型．
（1）当b＝，求相应的a使f（x）＝ax＋b成为最佳模型；
（2）根据题
（1）得到的最佳模型，请预测每季度投入4（亿元）时利润y4（亿元）的值．
15、根据市场调查，某种商品在最近的40天内的价格f（t）与时间t满足关系f（t）＝
（t∈N），销售量g（t）与时间t满足关系g（t）＝－t＋（0≤t≤40，t∈N）．求这种商品的日销售额（销售量与价格之积）的最大值．
16、某种商品进价每个80元，零售价每个100元，为了促销拟采取买一个这种商品，赠送一个小礼品的办法，实践表明：
礼品价值为1元时，销售量增加10%，且在一定范围内，礼品价值为（n＋1）元时，比礼品价值为n元（n∈N*）时的销售量增加10%.
（1）写出礼品价值为n元时，利润yn（元）与n的函数关系式；
（2）请你设计礼品价值，以使商店获得最大利润．
17、已知桶1与桶2通过水管相连如图所示，开始时桶1中有aL水，tmin后剩余的水符合指数衰减函数y1＝ae－nt，那么桶2中的水就是y2＝a－ae－nt，假定5min后，桶1中的水与桶2中的水相等，那么再过多长时间桶1中的水只有L?
18、东方旅社有100张普通客床，若每床每夜收租费10元时，客床可以全部租出；若每床每夜收费提高2元，便减少10张客床租出；若再提高2元，便再减少10张客床租出；依此情况继续下去．为了获得租金最多，每床每夜租金选择多少？
19、芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可美化居室、净化空气，又可美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场．某人准备进军芦荟市场，栽培芦荟，为了了解行情，进行市场调研，从4月1日起，芦荟的种植成本Q（单位为：
元/10kg）与上市时间t（单位：
天）的数据情况如下表：
t
50
110
250
Q
150
108
150
（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系：
Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝alogbt；
（2）利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．
20、某工厂生产一种电脑元件，每月的生产数据如表：
月份
1
2
3
产量（千件）
50
52
53.9
为估计以后每月对该电脑元件的产量，以这三个月的产量为依据，用函数y＝ax＋b或y＝ax＋b（a，b为常数，且a>0）来模拟这种电脑元件的月产量y千件与月份的关系．请问：
用以上哪个模拟函数较好？
说明理由．
21、某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N＝N0e－λt，其中N0，λ是正常数．
（1）说明该函数是增函数还是减函数；
（2）把t表示成原子数N的函数；
（3）求当N＝时，t的值．
以下是答案
一、解答题
1、解 设该乡镇现在人口量为M，则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M，
经过1年后，该乡镇粮食总产量为360M（1＋4%），人口量为M（1＋1.2%），则人均占有粮食为；经过2年后，人均占有粮食为；…；经过x年后，人均占有粮食为y＝，即所求函数解析式为y＝360（）x.
2、【解析】
（1）1年后该城市人口总数为
y＝100＋100×1.2%＝100×（1＋1.2%）．
2年后该城市人口总数为
y＝100×（1＋1.2%）＋100×（1＋1.2%）×1.2%
＝100×（1＋1.2%）2.
3年后该城市人口总数为
y＝100×（1＋1.2%）2＋100×（1＋1.2%）2×1.2%
＝100×（1＋1.2%）2×（1＋1.2%）
＝100×（1＋1.2%）3.
…
x年后该城市人口总数为
y＝100×（1＋1.2%）x（x∈N）．
（2）10年后人口数为100×（1＋1.2%）10≈112.7（万）．
3、【解析】
（1）第1级：
f（x）＝x·5%＝0.05x
第2级：
f（x）＝500×5%＋（x－500）×10%
＝0.1x－25
第3级：
f（x）＝500×5%＋1500×10%＋（x－2000）×15%＝0.15x－125.
∴f（x）＝.
（2）这个人10月份的纳税所得额为
4200－2000＝2200（元），
∴f（2200）＝2200×0.15－125
＝205（元），
即这个人10月份应纳个人所得税205元．
4、【解析】 设平均每年增长率为x.
从2000年到2020年共21年，若记2000年工农业总产值为1，则2001,2002,2003，……的年总产值分别为（1＋x），（1＋x）2，（1＋x）3，…，第n年为（1＋x）n－1.
根据题意，有（1＋x）20＝22，两边取对数得20lg（1＋x）＝2lg2，
即lg（1＋x）＝lg2，
∴lg（1＋x）＝0.0301，
∴1＋x≈1.072，
∴x≈0.072＝7.2%.
即平均每年增长7.2%，即可完成第二阶段的任务．
5、【解析】 设购买人数为z，标价为x，则z是x的一次函数，有z＝ax＋b（a<0）．又当x＝300时，z＝0，∴0＝300a＋b，∴b＝－300a，∴有z＝ax－300a.
（1）设商场要获得最大利润，豆浆机的标价为每台x元，此时，所获利润为y.
则y＝（x－100）（ax－300a）
＝a（x2－400x＋30000）（100又∵a<0，∴当x＝200时，y最大．
所以，标价为每台200元时，所获利润最大．
（2）当x＝200时，ymax＝－10000a，
令y＝－10000a×75%，
即a（x2－400x＋30000）＝－10000a×75%，
解得x＝150，或x＝250.
所以定价为每台150元或250元时，所获利润为最大利润的75%.
6、
7、【解析】 如右图所示，设P为EF上一点，矩形CGPH为划出的公园，PH=x，则PN=200-x.又∵AE=60，AF=40，∴由
最大面积为240662/3m2.
8、【解析】
（1）由题意得y＝kx
＝kx（0≤x（2）y＝－x2＋kx
＝－2＋.
∴当x＝时，y最大＝，
即鱼群年增长量的最大值为t.
（3）由题意可得0≤x＋y即0≤＋又∵k>0，∴09、【解析】
（1）依题意x1＋x2＝5，
∴x2＝5－x1，
∴R＝－2x12－x22＋13x1＋11x2－28
＝－2x12－（5－x1）2＋13x1＋11（5－x1）－28
＝－3x12＋12x1＋2（0≤x1≤5），
∴收益y＝R－5＝－3x12＋12x1－3
＝－3（x1－2）2＋9≤9，
当且仅当x1＝2时取等号．
∴最优广告策略是报纸广告费用为2万元，电视广告费用为3万元．
（2）收益y＝R－（x1＋x2）
＝－2x12－x22＋13x1＋11x2－28－（x1＋x2）
＝－2（x1－3）2－（x2－5）2＋15≤15，
当且仅当x1＝3，x2＝5时取等号．
∴最优广告策略是报纸广告费用为3万元，电视广告费用为5万元．
10、【解析】
（1）由图象可设y1=k1x+29，y2=k2x，把点B（30,35）、C（30,15）分别代入y1，y2得
k1=1/5，k2=1/2.
∴y1=1/5x+29（x≥0），y2=1/2x（x≥0）．
（2）令y1=y2，
即1/5x+29=1/2x，
则x=962/3.
当x=962/3时，
y1=y2，两种卡收费一致；
当x<962/3时，y1>y2，即便民卡便宜；
当x>962/3时，y111、解
（1）投资为x万元，A产品的利润为f（x）万元，B产品的利润为g（x）万元，由题设f（x）＝k1x，g（x）＝k2，
由图知f
（1）＝，∴k1＝，又g（4）＝，∴k2＝.
从而f（x）＝x（x≥0），g（x）＝（x≥0）．
（2）设A产品投入x万元，则B产品投入10－x万元，设企业的利润为y万元，
y＝f（x）＋g（10－x）＝＋（0≤x≤10），
令＝t，
则y＝＋t＝－（t－）2＋（0≤t≤），
当t＝，ymax≈4，此时x＝10－＝3.75,10－x＝6.25.
所以投入A产品3.75万元，投入B产品6.25万元时，能使企业获得最大利润，且最大利润约为4万元．
12、解
（1）设每年砍伐面积的百分比为x（0a（1－x）10＝a，即（1－x）10＝，
解得x＝1－
.
（2）设经过m年剩余面积为原来的，则
a（1－x）m＝a，即
，＝，解得m＝5，
故到今年为止，已砍伐了5年．
（3）设从今年开始，以后砍了n年，
则n年后剩余面积为a（1－x）n.
令a（1－x）n≥a，即（1－x）n≥，
，≤，解得n≤15.
故今后最多还能砍伐15年．
13、解
（1）S△AEH＝S△CFG＝x2，
S△BEF＝S△DGH＝（a－x）（2－x）．
∴y＝S矩形ABCD－2S△AEH－2S△BEF＝2a－x2－（a－x）（2－x）
＝－2x2＋（a＋2）x.
由，得0∴y＝－2x2＋（a＋2）x，定义域为（0,2]．
（2）当<2，即a<6时，
则x＝时，y取最大值；
当≥2，即a≥6时，y＝－2x2＋（a＋2）x在（0,2]上是增函数，
则x＝2时，ymax＝2a－4.
综上所述：
当a<6，AE＝时，绿地面积取最大值；
当a≥6，AE＝2时，绿地面积取最大值2a－4.
14、解
（1）b＝时，[f
（1）－y1]2＋[f
（2）－y2]2＋[f（3）－y3]2
＝14（a－）2＋，
∴a＝时，f（x）＝x＋为最佳模型．
（2）f（x）＝＋，则y4＝f（4）＝.
15、解 据题意，商品的价格随时间t变化，且在不同的区间0≤t<20与20≤t≤40上，价格随时间t的变化的关系式也不同，故应分类讨论．设日销售额为F（t）．
①当0≤t<20，t∈N时，
F（t）＝（t＋11）（－t＋）
＝－（t－）2＋（＋946），
故当t＝10或11时，F（t）max＝176.
②当20≤t≤40时，t∈N时，
F（t）＝（－t＋41）（－t＋）＝（t－42）2－，
故当t＝20时，F（t）max＝161.
综合①、②知当t＝10或11时，日销售额最大，最大值为176.
16、解
（1）设未赠礼品时的销售量为m，
则当礼品价值为n元时，销售量为m（1＋10%）n.
利润yn＝（100－80－n）·m·（1＋10%）n
＝（20－n）m×1.1n（0（2）令yn＋1－yn≥0，
即（19－n）m×1.1n＋1－（20－n）m×1.1n≥0.
解得n≤9，
所以y1令yn＋1－yn＋2≥0，
即（19－n）m×1.1n＋1－（18－n）m×1.1n＋2≥0，
解得n≥8.
所以y9＝y10>y11>…>y19.
所以礼品价值为9元或10元时，商店获得最大利润．
17、解 由题意得ae－5n＝a－a·e－5n，
即e－5n＝.①
设再过tmin后桶1中的水有L，
则ae－n（t＋5）＝，e－n（t＋5）＝.②
将①式平方得e－10n＝.③
比较②、③得－n（t＋5）＝－10n，∴t＝5.
即再过5min后桶1中的水只有L.
18、解 设每床每夜租金为10＋2n（n∈N），则租出的床位为
100－10n（n∈N且n<10）
租金f（n）＝（10＋2n）（100－10n）
＝20[－（n－）2＋]，
其中n∈N且n<10.
所以，当n＝2或n＝3时，租金最多，
若n＝2，则租出床位100－20＝80（张）；
若n＝3，则租出床位100－30＝70（张）；
综合考虑，n应当取3，
即每床每夜租金选择10＋2×3＝16（元）．
19、解
（1）由所提供的数据可知，刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常值函数，若用函数Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝alogbt中的任意一个来反映时都应有a≠0，且上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，所以应选用二次函数Q＝at2＋bt＋c进行描述．将表格所提供的三组数据分别代入函数Q＝at2＋bt＋c，可得：
解得a＝，b＝－，c＝.
所以，刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数为
Q＝t2－t＋.
（2）当t＝－＝150（天）时，芦荟种植成本最低为
Q＝×1502－×150＋＝100（元/10kg）．
20、解 将（1,50）、（2,52）分别代入两解析式得：
或（a>0）
解得（两方程组的解相同）．
∴两函数分别为y＝2x＋48或y＝2x＋48.
当x＝3时，对于y＝2x＋48有y＝54；
当x＝3时，对于y＝2x＋48有y＝56.
由于56与53.9的误差较大，
∴选y＝ax＋b较好．
21、解
（1）由于N0>0，λ>0，函数N＝N0e－λt是属于指数函数y＝e－x类型的，所以它是减函数，即原子数N的值随时间t的增大而减少．
（2）将N＝N0e－λt写成e－λt＝，根据对数的定义有－λt＝ln，所以t＝－（lnN－lnN0）＝（lnN0－lnN）．
（3）把N＝代入t＝（lnN0－lnN），
得t＝（lnN0－ln）＝ln2.
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