高中数学111集合的含义与表示 32.docx
《高中数学111集合的含义与表示 32.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学111集合的含义与表示 32.docx（14页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
高中数学111集合的含义与表示32
第1课时 集合的含义
知识点一 集合的含义
1．元素：
一般地，我们把研究对象统称为元素．
2．集合：
把一些元素组成的总体叫做集合．
3．元素与集合的符号表示
表示
1．集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素，研究集合问题的核心即研究集合中的元素，因此在解决集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么．集合中的元素可以是点，也可以是一些人或一些物．
知识点二 集合中元素的特征与集合相等
1．集合中元素的特征
特征
含义
确定性
集合中的元素是确定的，即给定一个集合，任何元素在不在这个集合里是确定的．它是判断一组对象是否构成集合的标准
互异性
给定一个集合，其中任何两个元素都是不同的，也就是说，在同一个集合中，同一个元素不能重复出现
无序性
集合中的元素无先后顺序之分
2.集合相等
只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．例如，集合{－1,1}与集合
{1，－1}是相等的．
知识点三 元素与集合的关系
关系
语言描述
记法
示例
a属于集合A
a是集合
A中的元素
a∈A
若A表示由“世界四大洋”组成的集合，则太平洋∈A，长江∉A
a不属于集合A
a不是集合
A中的元素
a∉A
2．对元素和集合之间关系的两点说明
（1）符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∉A”这两种结果．
（2）∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的．
知识点四 常用数集及符号表示
常用数集的字母表示
常用数集
简称
记法
全体非负整数的集合
非负整数集（或自然数集）
N
所有正整数的集合
正整数集
N*或N＋
全体整数的集合
整数集
Z
全体有理数的集合
有理数集
Q
全体实数的集合
实数集
R
3．准确认识集合的含义
（1）集合的概念是一种描述性说明，因为集合是数学中最原始的、不加定义的概念，这与我们初中学过的点、直线等概念一样，都是用描述性语言表述的．
（2）集合含义中的“元素”所指的范围非常广泛，现实生活中我们看到的、听到的、闻到的、触摸到的、想到的各种各样的事物或一些抽象的符号等，都可以看作“对象”，即集合中的元素．
[小试身手]
1．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）你班所有的姓氏能组成集合．（ ）
（2）新课标数学人教A版必修1课本上的所有难题能组成集合．（ ）
（3）一个集合中可以找到两个相同的元素．（ ）
-=答案=-：
（1）√
（2）× （3）×
2．下列各项中，不能组成集合的是（ ）
A．所有的正数 B．所有的老人
C．不等于0的数D．我国古代四大发明
解析：
“老人”无明确的标准，对于某个人是否“老”无法客观地判断，因此“所有的老人”不能构成集合，故选B.
-=答案=-：
B
3．已知集合A由x<1的数构成，则有（ ）
A．3∈A B．1∈A C．0∈A D．－1∉A
解析：
很明显3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式．
-=答案=-：
C
4．下列三个命题：
①集合N中最小的数是1；②－a∉N，则a∈N；③a∈N，b∈N，则a＋b的最小值是2.其中正确命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
解析：
根据自然数的特点，显然①③不正确．②中若a＝
，则－a∉N且a∉N，显然②不正确．
-=答案=-：
A
类型一 集合的概念
例1 下列对象能构成集合的是（ ）
A．高一年级全体较胖的学生 B．sin30°，sin45°，cos60°，1
C．全体很大的自然数D．平面内到△ABC三个顶点距离相等的所有点
【解析】 由于较胖与很大没有一个确定的标准，因此A，C不能构成集合；B中由于sin30°＝cos60°不满足互异性；D满足集合的三要素，因此选D.
【-=答案=-】 D
构成集合的元素具有确定性．
方法归纳,
判断一组对象组成集合的依据
判断给定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素．
跟踪训练1 下列各项中，不可以组成集合的是（ ）
A．所有的负数B．等于2的数
C．接近于0的数D．不等于0的偶数
解析：
由于接近于0的数没有一个确定的标准，因此C中的对象不能构成集合．故选C.
-=答案=-：
C
C中元素不确定．
类型二 元素与集合的关系
例2
（1）下列关系中，正确的有（ ）
①
∈R；②
∉Q；③|－3|∈N；④|－
|∈Q.
A．1个B．2个C．3个D．4个
（2）满足“a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N”，有且只有2个元素的集合A的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【解析】
（1）
是实数，
是无理数，|－3|＝3是非负整数，|－
|＝
是无理数．因此，①②③正确，④错误．
（2）∵a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N，若a＝0，则4－a＝4，此时A＝{0,4}满足要求；若a＝1，则4－a＝3，此时A＝{1,3}满足要求；若a＝2，则4－a＝2，此时A＝{2}不满足要求．故有且只有2个元素的集合A有2个，故选C.
【-=答案=-】
（1）C
（2）C
a分类处理：
①a＝0，a＝1，a＝2；
②a＝3，a＝4还讨论吗？
方法归纳
判断元素和集合关系的两种方法
（1）直接法：
如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否给出即可．此时应首先明确集合是由哪些元素构成的．
（2）推理法：
对于某些不便直接表示的集合，判断元素与集合的关系时，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．此时应首先明确已知集合的元素具有什么属性，即该集合中元素要符合哪种表达式或满足哪些条件．,
跟踪训练2 下列说法正确的是（ ）
A．0∉NB.
∈QC．π∉RD.
∈Z
解析：
A.N为自然数集，0是自然数，故本选项错误；B.
是无理数，Q是有理数集合，
∉Q，故本选项错误；C.π是实数，即π∈R，故本选项错误；D.
＝2,2是正整数，则
∈Z，故本选项正确．故选D.
-=答案=-：
D
N自然数集；Z整数集；Q有理数集；R实数集．
类型三 集合元素的特性
例3 已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值．
【解析】 因为－3∈A，A＝{a－3,2a－1}，所以a－3＝－3或2a－1＝－3.
若a－3＝－3，则a＝0，此时集合A＝{－3，－1}，符合题意．
若2a－1＝－3，则a＝－1，此时集合A＝{－4，－3}，符合题意．
综上可知，满足题意的实数a的值为0或－1.
首先根据－3∈A，求a的所有可能取值，然后根据元素的互异性逐个检验，最后确定实数a的值．
方法归纳
由集合中元素的特性求解字母取值（范围）的步骤
跟踪训练3
（1）若集合M中的三个元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
（2）已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为________．
解析：
（1）由集合中元素的互异性可知，集合中的任何两个元素都不相同，故选D.
（2）若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.当a＝1时，集合A有重复元素．所以a≠1；当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合元素的互异性，所以a＝－1.
-=答案=-：
（1）D
（2）－1
由元素互异性知边不能相等．
[基础巩固]（25分钟，60分）
一、选择题（每小题5分，共25分）
1．下列能构成集合的是（ ）
A．中央电视台著名节目主持人
B．我市跑得快的汽车
C．上海市所有的中学生
D．香港的高楼
解析：
A，B，D中研究的对象不确定，因此不能构成集合．
-=答案=-：
C
2．由形如x＝3k＋1，k∈Z的数组成集合A，则下列表示正确的是（ ）
A．－1∈AB．－11∈A
C．15∈AD．32∈A
解析：
－11＝3×（－4）＋1，故选B.
-=答案=-：
B
3．已知集合A中元素x满足－
≤x≤
，且x∈N*，则必有（ ）
A．－1∈AB．0∈A
C.
∈AD．1∈A
解析：
x∈N*，且－
≤x≤
，所以x＝1,2.所以1∈A.
-=答案=-：
D
4．设A是方程x2－ax－5＝0的解集，且－5∈A，则实数a的值为（ ）
A．－4B．4
C．1D．－1
解析：
因为－5∈A，所以（－5）2－a×（－5）－5＝0，所以a＝－4.故选A.
-=答案=-：
A
5．若以集合A的四个元素a、b、c、d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是（ ）
A．梯形B．平行四边形
C．菱形D．矩形
解析：
由集合中元素互异性可知，a，b，c，d互不相等，从而四边形中没有边长相等的边．
-=答案=-：
A
二、填空题（每小题5分，共15分）
6．判断下列说法正确的是________．
（1）某个单位里的年轻人组成一个集合；
（2）1，
，
，
，
这些数组成的集合含有五个元素；
（3）由a，b，c组成的集合与由b，a，c组成的集合是同一个集合；
（4）方程（x－3）（x－2）2＝0的解组成的集合有3个元素．
解析：
（1）不正确．因为“年轻人”没有明确的标准，不具有确定性，不能组成集合．
（2）不正确．根据互异性知，这个集合是由三个元素1，
，
组成的．
（3）正确．集合中的元素相同，只是次序不同，它们表示同一个集合．
（4）不正确．方程（x－3）（x－2）2＝0的解是x1＝3，x2＝x3＝2，因此写成集合时只有3和2两个元素．
-=答案=-：
（3）
7．给出下列关系：
（1）
∈R；
（2）
∈Q；（3）－3∉Z；（4）－
∉N，其中正确的是________．
解析：
是实数，
（1）正确；
是无理数，
（2）错误；－3是整数，（3）错误；－
是无理数，（4）正确．
-=答案=-：
（1）（4）
8．已知集合A含有三个元素1,0，x，若x2∈A，则实数x＝________.
解析：
因为x2∈A，所以x2＝1，或x2＝0，或x2＝x，所以x＝±1，或x＝0.当x＝0，或x＝1时，不满足集合中元素的互异性，所以x＝－1.
-=答案=-：
－1
三、解答题（每小题10分，共20分）
9．判断下列说法是否正确？
并说明理由．
（1）大于3的所有自然数组成一个集合；
（2）未来世界的高科技产品构成一个集合；
（3）1,0.5，
，
组成的集合含有四个元素；
（4）接近于0的数的全体组成一个集合．
解析：
（1）中的对象是确定的，互异的，所以可构成一个集合，故
（1）正确；
（2）和（4）中的“高科技”、“接近于0”都是标准不确定的，所以不能构成集合，故
（2）、（4）错误；由于0.5＝
，所以1,0.5，
，
组成的集合含有3个元素，故（3）错误．
10．数集A满足条件：
若a∈A，则
∈A（a≠1）．若
∈A，求集合中的其他元素．
解析：
因为
∈A，所以
＝2∈A，
所以
＝－3∈A，
所以
＝－
∈A，
所以
＝
∈A.
故当
∈A时，集合中的其他元素为2，－3，－
.
[能力提升]（20分钟，40分）
11．已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，那么a为（ ）
A．2B．2或4
C．4D．0
解析：
集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，a＝2∈A,6－a＝4∈A，
所以a＝2，
或者a＝4∈A,6－a＝2∈A，所以a＝4，
综上所述，a＝2或4.故选B.
-=答案=-：
B
12．设直线y＝2x＋3上的点集为P，点（2,7）与点集P的关系为（2,7）________P（填“∈”或“∉”）．
解析：
直线y＝2x＋3上的点的横坐标x和纵坐标y具有y＝2x＋3的关系，即只要具备此关系的点就是集合P的元素．
由于当x＝2时，y＝2×2＋3＝7，
故（2,7）∈P.
-=答案=-：
∈
13．设A是由满足不等式x<6的自然数组成的集合，若a∈A且3a∈A，求a的值．
解析：
因为a∈A且3a∈A，
所以
解得a<2.又a∈N，
所以a＝0或1.
14．定义满足“如果a∈A，b∈A，那么a±b∈A，且ab∈A，且
∈A（b≠0）”的集合A为“闭集”．试问数集N，Z，Q，R是否分别为“闭集”？
若是，请说明理由；若不是，请举反例说明．
解析：
数集N，Z不是“闭集”，
数集Q，R是“闭集”．
例如，3∈N,2∈N，而
＝1.5∉N；
3∈Z，－2∈Z，
而
＝－1.5∉Z，故N，Z不是闭集．
由于两个有理数a与b的和，差，积，商，
即a±b，ab，
（b≠0）仍是有理数，
故Q是闭集．同理R也是闭集．
升级会员 