请同学们试着写出上面第2、3两个问题中自变量的取值范围。
2.用数学式子表示的函数的自变量取值范围
例1.求下列函数中自变量x的取值范围
(1)y=3x-l
(2)y=2x2+7(3)y=
(4)y=
3.函数值.
例2.在上面的练习(3)中,当MA=1cm时,重叠部分的面积是多少?
三、课堂练习:
课本第32页练习的第1、2、3题
四、小结
通过本课的学习,我们进一步认识了如何列函数关系式,对于几何问题中列函数
关系式比较困难,有的题目的自变量的取值范围也很难确定,只有通过一定量的练习才能做到熟练地解决这个问题;对于用数学式子表示的函数关系式的自变量的取值范围,考虑两个方面,其一是分母不能等于0,其二是开偶次方的被开方数是非负数.
五、作业:
课本第33页的第3、4题.
六、教学后记
第2课时
教学内容:
平面直角坐标系
教学目标:
使学生了解直角坐标系的由来,能够正确画出直角坐标系,通过具体的事例说明在平面上的点与有序实数对的一一对应的关系。
教学过程
一、复习
提问:
数轴上的点与实数的关系是什么
二、导入新课
师:
同学们是否想到你们坐的位置可以用数来表示呢?
如果从门口算起依次是第1列,第2列、……、第8列,从讲台往下数依次是第l行、第2行、……、第7行,那么×××同学的位置就能用一对有序实数来表示。
1.分别请一些同学说出自己的位置
例如,×××同学是第3排第5列,那么(3,5)就代表了这位同学的位置。
2.再请同学在黑板上描出自己的位置,例如右图的黑点就是这些同学的位置.
师:
显然,(3,5)和(5,3)所代表的位置不相同,所以同学们可以体会为什么一定要有序实数对才能确定点在平面上的位置。
问题:
请同学们想一想,在我们生活还有应用
有序实数对确定位置的吗?
三、关于笛卡儿的故事
直角坐标系,通常称为笛卡儿直角坐标系,它是以法国哲学家,数学家和自然科学家笛卡儿的名字命名的。
介绍笛卡儿。
三、建立直角坐标系
为了用一对实数表示平面内地点,在平面内画两条互相垂直的数轴,组成平面直角坐标系,水平的轴叫做轴或横轴,取向右为正方向,铅直的数轴叫做轴或纵轴,取向上为正方向,两轴的交点是原点,这个平面叫做坐标平面.
建立了平面直角坐标系后,两条坐标轴把平面分四个区域,分别称为第一、二、三、四象限,坐标轴不属于任何一个象限.
在平面直角坐标系中,任意一点都可以用对有序实数来表示.如右图中的点P,从点P分别向x轴和y轴作垂线,垂足分别为M和N.这时,点P在x轴对应的数2,称为点P的横坐标;点P在y轴上对应的数为3,称为P点的纵坐标.依次写出点P的横坐标和纵坐标,得到一对有序实数(2,3),称为点P的坐标,记作P(2,3)。
在平面直角坐标系,平面上的点都可以用有序实数对来表示,反之,任何一对有序实数都可以在坐标平面上描出一点.
总结:
在平面直角坐标系中点和有序实数对是成一一对应的关系。
四、课堂练习
1.请同学们在直角坐标系中描出以下各点,并用线依次把这些点连起来,看看是什么图案.
(-4,5)、(-3,-1)、(-2,-2)、(0,-3)
(2,2)、(3,1)、(4,5)、(0,6)
2.写出右图直角坐标系中A、B、C、D、E、F、O各点的坐标.
3.课本第32页的第3、4题
五、小结:
(略)
六、作业:
课本第37页习题17.2的第1、2、3题.
七、教后记
第3课时
教学内容:
平面直角坐标系
教学目标:
使学生进一步理解平面直角坐标系上的点与有序实数对是一一对应关系.掌握关于x轴y轴和原点对称的点的坐标的求法,明确点在x轴、y轴上坐标的特点,能运用这些知识解决问题,培养学生探索问题的能力.
教学过程
一、复习
在直角坐标系中分别描出以下各点:
1、A(3,2)、B(3,-2)、C(-3,2)、D(-3,-2).
2、分别写出点P、Q、R、S、M、N的坐标。
3、写出点E、F的坐标。
二、新授:
1、探索与思考:
引导学生自己提出问题,得出结论。
通过以下思考题给予启发。
1).在四个象限内的点的横、纵坐标的符号是怎样的?
2).两条坐标轴上的点的坐标有什么特点?
3).若点在第一、三象限角平分线上或者在第二、四象限角平分线上,它的横、纵坐标有什么特点?
4).关于x轴、y轴原点对称的点的横纵坐标具有什么关系?
通过对照以上图形讲解,启发学生得到如下结论:
第一象限(+,+),第二象限(-,+)第三象限(-、-)第四象限(+,-);
x轴上的点的纵坐标等于0,反过来,纵坐标等于0的点都在x轴上;y轴上的点的横坐标等于0,反过来,横坐标等于0的点都在y轴上,
若点在第一、三象限角平分线上,它的横坐标等于纵坐标,若点在第二,四象限角平分线上,它的横坐标与纵坐标互为相反数;
若两个点关于x轴对称,横坐标相等,纵坐标互为相反数;若两个点关于y轴对称,纵坐标相等,横坐标互为相反数;若两个点关于原点对称,横坐标、纵坐标都是互为相反数。
三、例题讲解
例1,如果A(1-a,b+1)在第三象限,那么点B(a,b)在()
(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限
分析:
若要判断点在第几象限,关键是看横纵坐标的符号,从这题来看,就是要判断a、b的符号。
四、课堂练习
1.课本第35页练习的第1、2、3、4题.
2.若A(a-2,3)和A1(-1,2b+2)关于原点对称,求a、b的值。
3.已知:
P(
,
)点在y轴上,求P点的坐标。
五、小结
坐标轴、各个象限角平分线上的点的坐标有什么特点、各个象限的点的横纵坐标的符号以及关于x轴、y轴;原点对称的点横纵坐标的关系。
六、作业:
课本第41页习题17.2的第1、2题.
七、教后记:
第4课时
教学内容:
函数的图象
(一)
教学目标:
使学生理解函数的图象是由许多点按照一定的规律组成的图形,能够在平面直角坐标系内画出简单函数的图象.
教学重点:
画函数图象的步骤
教学过程
一、导入新课
问题:
右边的气温曲线图给了我们许多信息,例如,那一时刻的气温最高,那一时刻的气温最低,早上6点的气温是多少?
也许许多同学都可以看出来,那么请同学们说说你是如何从上面的气温曲线图中知道这些信息的.
同学回答完毕,教师给予解释:
在上面图形中,有一个直角坐标系,它的横轴表示时间;它的纵轴表示气温,这一气温曲线图实质上给出某日气温T(℃)与时间t(时)的函数关系,因为对于一日24小时的任何一刻,都有惟一的温度与之对应。
例如,上午10时的气温是2℃,表现在曲线上,就是可以找到这样的对应点,它的坐标(10,2),也就是说,当t=10时,对应的函数值T=2.由于坐标平面上的点与有序实数对是一一对应的关系,因此,气温曲线图是由许许多多的点(t,T)组成的。
二、新授
1、函数的图象
函数的图象是由直角坐标系中的一系列点组成,图象上每一点坐标(x,y)代表了函数的一对对应值,即把自变量x与函数y的每一对对应值分别作为点的横坐标和纵坐标,在直角坐标系中描出相应的点,这些点组成的图形,就是这个函数的图象。
2.画函数的图象
例1.画出函数y=x2的图象
分析:
要画出一个函数的图象,关键是要画出图象上的一些点,为此,要取一些自变量的值,并求出对应的函数值.
第一步,列表。
第二步,描点。
第三步,连线。
用光滑曲线依次把这些点连起来,便可得到这个函数的图象。
三、课堂练习
课本第35页练习的第1、2题
四、小结
1.函数图象上的点的坐标是函数的自变量与函数值的一对对应值。
2.根据列表、描点、连线这三个步骤画出简单函数的图象.
五、作业
课本第41页习题17.2的第4、5题.
六、教后记:
第5课时
教学内容:
函数的图象
(二)
教学目标:
通过观察函数的图象,深刻领会函数中两个变量的关系,能够从所给的图象中获取信息,从而解答一些简单的实际问题.
教学重点:
看图象解决问题
教学难点:
找关键点的坐标
教学过程
一、从所给的函数图象中获取信息
例1、王教授和孙子小强经常一起进行早锻炼,主要活动是爬山.有一天,小强让爷爷先上,然后追赶爷爷;右图中两条线段分别表示小强和爷爷离开山脚的距离(米)与爬山所用时间(分)的关系(从小强开始爬山时计时),看图回答下列问题:
1.小强让爷爷先上多少米?
2.山顶距离山脚多少米?
谁先爬上山顶?
3.小强通过多少时间追上爷爷?
分析:
从题意可以知道,线条①表达了小强离开山脚的距离与爬山所用时间的关系,线条②表达了爷爷离开山脚的距离与爬山所用时间的关系(这两条线并不是小强与爷爷的爬山路线)。
刚开始计时时,爷爷已经在小强的前方60米处,小强让爷爷先上60米;从上图来看,山顶距离山脚300米,因为小强登上山顶用的时间比爷爷用的少,所以,小强比爷爷快登上山顶;小强经过8分钟追上爷爷。
例2.如图表示某学校秋游活动时,学生乘坐旅游车所行走的路
程与时间的关系的示意图,请根据示意田回答下列问题:
1.学生何时下车参观第一风景区?
参观时间有多长?
2.11:
00时该车离开学校有多远?
3.学生何时返回学校,返回学校时车的平均速度是多少?
分析:
从图象上可以看出,该校学生上午8点出发,8点到9点、10点半到11点半、14点到16点这些时段路程有发生变化,说明学生是在路途中,而9点到l0点半、11点半到14点这两个时段的路程没有发生变化,说明学生在参观景区或休息。
如果同学们能够从图象上获取这些信息,对上述的几个问题就容易得到解决。
二、课堂练习
课本第39页练习的第1、2题,等待学生思考后,解答。
三、小结
本节课进一步认识函数的图象,懂得如何从函数的图象中获取我们所要的信息,希望同学们多观察图象,应用所学的知识来获得信息,解决问题.
四、作业
1.课本第40页练习的第3题。
2.课本第42页习题17.2的第6题。
五、教后记:
第6课时
教学内容:
一次函数
教学目标
1.经历探索过程,发展学生的抽象思维能力.
2.理解一次函敷和正比例函数的概念。
3.能根据条件,写出简单的一次函数表达式,进一步发展学生的数学应用能力.
教学过程
一、创设问题情境
问题l:
小明暑假第一次去北京,汽车驶上A地的高速公路后,小明观察里程碑,发现汽车的平均速度是95千米/时.巳知A地直达北京的高速公路全程为570千米,小明想知道汽车从A地驶出后,距北京的路程和汽车在高速公路上行驶的时间有什么关系,以便根据时间估计自己和北京的距离.
分析:
我们知道汽车距北京的路程随着行车时间而变化,要想找出这两个变化着的量的关系,并据此得出相应的值.显然,应该探究这两个量的变化规律.为此,我们设汽车在高速公路上行驶时间为t小时,汽车距北京的路程为s千米,根据题意,s和t的函数关系式是
S=570-95t
(1)
说明:
找出问题中的变量并用字母表示是探求函数关系的第一步,这里的s、t是两个变量,s是t的函数,t是自变量,s为因变量。
问题2:
小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来,他已存有50元,从现在起每个月存12元。
试写出小张的存款数与从现在开始的月份数之间的函数关系式.
分析:
我们设从现在开始的月份数为x,小张的存款数为9元,得到所求函数关系式为y=__________
(2)
问题3:
以上
(1)与
(2)表示的这两个函数有什么共同点?
(上述
(1)与
(2)表示的函数解析式都是用自变量的一次整式表示的)
二、一次函数的定义
函数的解析式都是用自变量的一次整式表示的,我们称它们为一次函数.一次函数通常可以表示为y=kx+b的形式,其中k、b是常数,k≠0。
当b=0时,一次函数y=kx(常数k≠0)也叫做正比例函数.正比例函数也是一次函数,它是一次函数的特例。
三、范例
例1.梯形的上下底边长分别为6cm和l0cm,写出梯形的面积与它的高之间的函数关系式,并问这是一次函数吗?
是正比例函数吗?
例2.写出多边形的内角和与它的边数之间的函数关系式,利用这函数关系式求边数取多少时,其内角和等于900度?
四、课堂练习
P45页练习1、2、3、4
五、作业
P52页习题17.3:
1、2。
六、教后记
第7课时
教学内容:
一次函数的图象
(一)
教学目标
1.经历一次函数的作图过程,能熟练地作出一次函数的图象.
2.探索一次函数图象的特点以及某些一次函数图象的异同点,培养学生
发现问题和解决问题的能力。
教学过程
一、复习
1.作函数图象一般步骤是什么?
2.在同个平面直角坐标系中画出下列函数的图象.
(1)y=
x与y=
x+2
(2)y=3x与y=3x+2
教学要点:
要求学生按照列表、描点、连线的一般作图步骤作出函数图象;
二、提出问题,解决问题
1、师问:
以上四个一次函数图象是什么形状呢?
(让学生观察、讨论)
得出:
四个函数的图象都是直线.
(板书):
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线.
2、师问:
几个点可以确定一条直线?
画一次函数图象时,只要取几个点?
总结:
今后画一次函数的图象,只要取两点再过两点画直线
3、师问:
观察“做一做”画出的四个函数的图象,如图所示,比较下列各对一次函数的图象有什么共同点,有什么不同点.
(1)y=3x与y=3x+2
(2)y=
x与y=
x+2(3)y=3x+2与y=
x+2
能否从中发现一些规律?
(让学生分组讨论、交流,教师引导观察,总结。
)
问题:
对于直线y=kx+b(k、b是常数,k≠0).常数k和b的取值对于
直线的位置各有什么影响?
让学生讨论,交流,发表意见,达成共识,然后填空:
两个一次函数,当k一样,b不一样时,有
共同点:
__________________________不同点:
___________________________
归纳:
如果直线的k值相等,那么两条直线平行;反之,亦然。
直线y=kx+b可以看作是直线y=kx沿着y轴上(b>0)下(b<0)平移得来的。
当两个一次函数,b一样,k不一样时,有
共同点:
__________________________不同点:
__________________________
归纳:
如果直线的k值不相等,那么两条直线相交;反之,亦然。
在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象(画在课本直角坐标系上)。
(1)y=2x与y=2x+3
(2)y=2x+l与y=
x+1
请同学们画出图象后,看看是否与上面的讨论结果一样.
提问:
你取的是哪几个点?
和同学比较一下,怎样取比较简便?
教师点拨,得出结论:
一般情况下,要取直线与x,y轴的交点比较简便。
三、课堂练习P47页练习l、2。
四、小结:
1.一次函数的图象是什么形状呢?
画一次函数图象时,只要取两个点。
2.两个一次函数图象,当k一样,b不一样时,有什么共同点
和不同点?
当b一样,k不一样时,有什么共同点和不同点?
五、作业P52页习题17.3第4、5题。
第8课时
教学内容:
一次函数的图象
(二)
教学目标
1、使学生熟练的作出一次函数的图象。
2、探索一次函数作图过程。
教学过程
一、复习
1.提问:
(1)一次函数的图象是什么形状呢?
画一次函数图象时.只要取几点?
2.填空:
(1)经过原点的一条直线是函数。
(2)直线y=4x+2沿着y轴向下平移3个单位长度后得到的函数解
析式是。
二、新授
1、求交点坐标
例l:
求直线y=-2x-3与x轴和y轴的交点.并画出这条直线.
补充:
这条直线与数轴围成的三角形的面积是多少?
师问:
平面直角坐标系中坐标轴上点的坐标有什么特征?
(学生讨论、交流)
教师引导归纳为:
x轴上的点的坐标为(x,0),y轴上的点坐标(0,y)
说明:
1.画出直线后,要在直线旁边写出一次函数解析式。
2.在坐标轴上取点有什么好处?
2、现实生活问题中的一次函数图象
例2,画问题1中小明距北京的路程与开车时间t之间函数s=570-95t的图象。
提问:
1.这里s和t取的数悬殊较大,怎么办?
学生分组讨论,发表意见,教师引导并归纳为:
在实际问题中,可以在表示时间的t轴和表示路程的s轴上
分别选取适当的单位长度,画出平面直角坐标系,如图所示.
2.作图要取几点?
如何取点最好?
让学生动手画出函数s=570-95t的图象,教师巡视指导,及时纠正学生画图中可能出现的错误画法。
画出这个函数图象后,讨论以下几个问题:
1.这个函数是不是一次函数?
2.这个函数中自变量t的取值范围是什么?
函数的图象是什么?
3.在实际问题中,一次函数的图象除了直线和本题的图形外,还有没有其他情形?
你能不能找出几个例子加以说明?
教师引导并归纳为:
函数y=570-95t是一次函数,函数中自变量的取值范围是0≤t≤6,函数的图象是一条线段.
三、课堂练习:
P50页练习l、2。
四、小结
1.求交点坐标的方法。
2.在实际问题中,当自变量x和因变量y取的数较大,合理选取直角坐标系
的单位长度。
实际问题中,一次函数的图象也是直线。
五、作业P52页习题17.36、7.
六、教后记:
第9课时
教学内容:
一次函数的性质
(一)
教学目标
1、探索一次函数图象观察、分析等过程,提高学生数形结合意识,
培养数形结合的能力.
2、掌握一次函数y=kx+b的性质。
教学过程
1、复习:
1、直线y=2x经过象限,把它没着y轴向上平移一个单位长度后
的直线解析式是此时图象经过象限。
二、新授
1、观察、分析一次函数图象特点
例:
画出一次函数y=2x+1的图象.(复习一次函数的怍图方法)
观察:
(1)观察图象经过哪几个象限?
(象限性)
(2)分析函数y=2x+l图象的变化规律.(增减性)
师生共同观察分析:
(1)
(2)当一个点在直线上从左向右移动(自变量x从小到大)时,它的位置也在逐渐从低到高变化(函数y的值也从小到大)
这就是说:
函数值y随自变量x增大而_______
在同一直角坐标系中画出函数y=3x-2的图象.引导学生观察、分析得出结论.
2、1)画出函数y=-x+2和y=-
x-1的图象。
2)观察、分析函数y=-x+2和y=-
x-1图象的象限性及变化规律.
学生动手画出以上一次函数图象,教师指导并纠正学生可能出现的错误画法.
师问:
仿照以上方法,研究它们的性质,有什么不同?
你能否发现什么规律?
归纳:
函数值随自变量x的增大而减小.
再联想问题1中的函数y=570-95t,是否也有这样的规律,发表你的看法.
3、归纳、概括表述一次函数y=kx+b的性质
象限性:
1)当k>0时必过一、三象限,如b>0则过一、三、二象限
如b<0则过一、三、四象限
2)当k<0时必过二、四象限,如b>0则过