三角形内角和外角定理含详细解答.docx

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三角形内角和外角定理含详细解答

三角形角和、外角和定理

一．选择题（共10小题）

1．（2013•）在△ABC中，∠A=20°，∠B=60°，则△ABC的形状是（　　）

A．

等边三角形

B．

锐角三角形

C．

直角三角形

D．

钝角三角形

2．（2012•滨州）一个三角形三个角的度数之比为2：

3：

7，这个三角形一定是（　　）

A．

等腰三角形

B．

直角三角形

C．

锐角三角形

D．

钝角三角形

3．（2012•）如图，在折纸活动中，小明制作了一△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=（　　）

A．

150°

B．

210°

C．

105°

D．

75°

4．（2012•）如图，在△ABC中，∠B=67°，∠C=33°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD的度数为（　　）

A．

40°

B．

45°

C．

50°

D．

55°

5．（2012•）如图，△ABC中，∠C=70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2=（　　）

A．

360°

B．

250°

C．

180°

D．

140°

6．（2012•）如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC=128°，∠C=36°，则∠DAE的度数是（　　）

A．

10°

B．

12°

C．

15°

D．

18°

7．（2011•日照）如图，已知直线AB∥CD，∠C=125°，∠A=45°，那么∠E的大小为（　　）

A．

70°

B．

80°

C．

90°

D．

100°

8．（2011•）如图中有四条互相不平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的七个角．关于这七个角的度数关系，下列何者正确（　　）

A．

∠2=∠4+∠7

B．

∠3=∠1+∠6

C．

∠1+∠4+∠6=180°

D．

∠2+∠3+∠5=360°

9．（2011•）若△ABC中，2（∠A+∠C）=3∠B，则∠B的外角度数为何（　　）

A．

36

B．

72

C．

108

D．

144

10．（2011•）若钝角三角形ABC中，∠A=27°，则下列何者不可能是∠B的度数？

（　　）

A．

37

B．

57

C．

77

D．

97

二．填空题（共4小题）

11．（2014•）将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放．如果∠3=32°，那么∠1+∠2=　_________　度．

12．（2013•）如图，点O是△ABC的两条角平分线的交点，若∠BOC=118°，则∠A的大小是　_________　．

13．（2008•）如图，已知a∥b，∠1=70°，∠2=40°，则∠3=　_________　度．

14．（2003•）如图，平面镜A与B之间夹角为120°，光线经过平面镜A反射后射在平面镜B上，再反射出去，若∠1=∠2，则∠1=　_________　度．

三．解答题（共16小题）

15．（2014•六盘水）

（1）三角形角和等于　_________　．

（2）请证明以上命题．

16．（2001•）如图，在△ABC中，已知∠ABC=46°，∠ACB=80°，延长BC至D，使CD=CA，连接AD，求∠BAD的度数．

17．（2000•）如图，已知在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．

18．（2011•）认真阅读下面关于三角形外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．

探究1：

如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90°+，理由如下：

∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线

∴

∴

又∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A

∴

∴∠BOC=180°﹣（∠1+∠2）=180°﹣（90°﹣∠A）

=

探究2：

如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？

请说明理由．

探究3：

如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？

（只写结论，不需证明）

结论：

　_________　．

19．（2010•）平面的两条直线有相交和平行两种位置关系

（1）如图a，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B=∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD=∠BPD+∠D，得∠BPD=∠B﹣∠D．将点P移到AB、CD部，如图b，以上结论是否成立？

若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？

请证明你的结论；

（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之间有何数量关系？

（不需证明）

（3）根据

（2）的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．

20．（2013•响水县一模）探究与发现：

探究一：

我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个角的和．那么，三角形的一个角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？

已知：

如图1，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系．

探究二：

三角形的一个角与另两个角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？

已知：

如图2，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．

探究三：

若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？

已知：

如图3，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系．

探究四：

若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF（图4）呢？

请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系：

　_________　．

21．已知：

如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=120°，求∠DAC的度数．

22．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数和．

23．如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，试求∠DAC，∠ADC的度数．

24．已知：

如图所示，∠ABC=66°，∠ACB=54°，BE是AC边上的高，CF是AB边上的高，H是BE和CF的交点，求：

∠ABE，∠ACF和∠BHC的度数．

25．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠A=50°，∠C=60°，求∠DAC与∠BOA．

26．如图，AF是△ABC的高，AD是△ABC的角平分线，∠B=36°，∠C=76°，求∠DAF的度数．

27．一个零件的形状如图，按规定∠A=90°，∠C=25°，∠B=25°，检验已量得∠BDC=150°，就判断这个零件不合格，运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由．

28．一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B、∠C应分别是30°和20°，叔叔量得∠BDC=142°，就判定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗？

29．如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．

30．如图，在三角形ABC中，∠A=35°，求∠1+∠2+∠3+∠4的度数和．

三角形角和、外角和定理

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）

1．（2013•）在△ABC中，∠A=20°，∠B=60°，则△ABC的形状是（　　）

A．

等边三角形

B．

锐角三角形

C．

直角三角形

D．

钝角三角形

考点：

三角形角和定理．

分析：

根据三角形的角和定理求出∠C，即可判定△ABC的形状．

解答：

解：

∵∠A=20°，∠B=60°，

∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣20°﹣60°=100°，

∴△ABC是钝角三角形．

故选D．

点评：

本题考查了三角形的角和定理，比较简单，求出∠C的度数是解题的关键．

2．（2012•滨州）一个三角形三个角的度数之比为2：

3：

7，这个三角形一定是（　　）

A．

等腰三角形

B．

直角三角形

C．

锐角三角形

D．

钝角三角形

考点：

三角形角和定理．

专题：

方程思想．

分析：

已知三角形三个角的度数之比，根据三角形角和定理，可求得三角的度数，由此判断三角形的类型．

解答：

解：

三角形的三个角依次为180°×=30°，180°×=45°，180°×=105°，所以这个三角形是钝角三角形．

故选：

D．

点评：

本题考查三角形的分类，这个三角形最大角为180°×＞90°．

本题也可以利用方程思想来解答，即2x+3x+7x=180，解得x=15，所以最大角为7×15°=105°．

3．（2012•）如图，在折纸活动中，小明制作了一△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=（　　）

A．

150°

B．

210°

C．

105°

D．

75°

考点：

三角形角和定理；翻折变换（折叠问题）．

专题：

压轴题．

分析：

先根据图形翻折变化的性质得出△ADE≌△A′DE，∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，再根据三角形角和定理求出∠AED+∠ADE与∠A′ED+∠A′DE的度数，然后根据平角的性质即可求出答案．

解答：

解：

∵△A′DE是△ABC翻折变换而成，

∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=∠A′=75°，

∴∠AED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE=180°﹣75°=105°，

∴∠1+∠2=360°﹣2×105°=150°．

故选A．

点评：

本题考查的是图形翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

4．（2012•）如图，在△ABC中，∠B=67°，∠C=33°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD的度数为（　　）

A．

40°

B．

45°

C．

50°

D．

55°

考点：

三角形角和定理．

分析：

首先利用三角形角和定理求得∠BAC的度数，然后利用角平分线的性质求得∠CAD的度数即可．

解答：

解：

∵∠B=67°，∠C=33°，

∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣67°﹣33°=80°

∵AD是△ABC的角平分线，

∴∠CAD=∠BAC=×80°=40°

故选A．

点评：

本题考查了三角形的角和定理，属于基础题，比较简单．三角形角和定理在小学已经接触过．

5．（2012•）如图，△ABC中，∠C=70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2=（　　）

A．

360°

B．

250°

C．

180°

D．

140°

考点：

三角形角和定理；多边形角与外角．

分析：

先利用三角形角与外角的关系，得出∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4），再根据三角形角和定理即可得出结果．

解答：

解：

∵∠1、∠2是△CDE的外角，

∴∠1=∠4+∠C，∠2=∠3+∠C，

即∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4）=70°+180°=250°．

故选B．

点评：

此题主要考查了三角形角和定理与外角的性质，三角形角和是180°；三角形的任一外角等于和它不相邻的两个角之和．

6．（2012•）如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC=128°，∠C=36°，则∠DAE的度数是（　　）

A．

10°

B．

12°

C．

15°

D．

18°

考点：

三角形角和定理；三角形的角平分线、中线和高．

分析：

根据直角三角形两锐角互余求出∠CAD，再根据角平分线定义求出∠CAE，然后根据∠DAE=∠CAE﹣∠CAD，代入数据进行计算即可得解．

解答：

解：

∵AD⊥BC，∠C=36°，

∴∠CAD=90°﹣36°=54°，

∵AE是△ABC的角平分线，∠BAC=128°，

∴∠CAE=∠BAC=×128°=64°，

∴∠DAE=∠CAE﹣∠CAD=64°﹣54°=10°．

故选A．

点评：

本题考查了三角形的角和定理，三角形的角平分线，高线的定义，准确识图，找出各角度之间的关系并求出度数是解题的关键．

7．（2011•日照）如图，已知直线AB∥CD，∠C=125°，∠A=45°，那么∠E的大小为（　　）

A．

70°

B．

80°

C．

90°

D．

100°

考点：

三角形角和定理；平行线的性质．

专题：

计算题．

分析：

根据两直线平行，同旁角互补，求得∠EFA=55°，再利用三角形角和定理即可求得∠E的度数．

解答：

解：

∵AB∥CD，∠C=125°，

∴∠EFB=125°，

∴∠EFA=180﹣125=55°，

∵∠A=45°，

∴∠E=180°﹣∠A﹣∠EFA=180°﹣45°﹣55°=80°．

故选B．

点评：

本题应用的知识点为：

两直线平行，同旁角互补；三角形角和定理．

8．（2011•）如图中有四条互相不平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的七个角．关于这七个角的度数关系，下列何者正确（　　）

A．

∠2=∠4+∠7

B．

∠3=∠1+∠6

C．

∠1+∠4+∠6=180°

D．

∠2+∠3+∠5=360°

考点：

三角形角和定理；对顶角、邻补角；三角形的外角性质．

分析：

根据对顶角的性质得出∠1=∠AOB，再用三角形角和定理得出∠AOB+∠4+∠6=180°，即可得出答案．

解答：

解：

∵四条互相不平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的七个角，

∵∠1=∠AOB，

∵∠AOB+∠4+∠6=180°，

∴∠1+∠4+∠6=180°．

故选C．

点评：

此题主要考查了对顶角的性质以与三角形的角和定理，正确的应用三角形角和定理是解决问题的关键．

9．（2011•）若△ABC中，2（∠A+∠C）=3∠B，则∠B的外角度数为何（　　）

A．

36

B．

72

C．

108

D．

144

考点：

三角形角和定理；解二元一次方程组；对顶角、邻补角．

专题：

计算题．

分析：

由∠A+∠B+∠C=180°，得到2（∠A+∠C）+2∠B=360°，求出∠B=72°，根据∠B的外角度数=180°﹣∠B即可求出答案．

解答：

解：

∵∠A+∠B+∠C=180°，

∴2（∠A+∠B+∠C）=360°，

∵2（∠A+∠C）=3∠B，

∴∠B=72°，

∴∠B的外角度数是180°﹣∠B=108°，

故选C．

点评：

本题主要考查对二元一次方程组，三角形的角和定理，邻补角等知识点的理解和掌握，能根据三角形的角和定理求出∠B的度数是解此题的关键．

10．（2011•）若钝角三角形ABC中，∠A=27°，则下列何者不可能是∠B的度数？

（　　）

A．

37

B．

57

C．

77

D．

97

考点：

三角形角和定理．

专题：

推理填空题．

分析：

根据钝角三角形有一角大于90°且三角形角和为180°，①∠C＞90°，②∠B＞90°，分类讨论解答．

解答：

解：

∵钝角三角形△ABC中，∠A=27°，

∴∠B+∠C=180°﹣27°=153°，

又∵△ABC为钝角三角形，有两种可能情形如下：

①∠C＞90°，

∴∠B＜153°﹣90°=63°，

∴选项A、B合理；

②∠B＞90°，

∴选项D合理，

∴∠B不可能为77°．

故选C．

点评：

本题考查了钝角三角形的定义与三角形的角和定理，体现了分类讨论思想．

二．填空题（共4小题）

11．（2014•）将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放．如果∠3=32°，那么∠1+∠2=　70　度．

考点：

三角形角和定理；多边形角与外角．

专题：

几何图形问题．

分析：

分别根据正三角形、正四边形、正五边形各角的度数与平角的定义进行解答即可．

解答：

解：

∵∠3=32°，正三角形的角是60°，正四边形的角是90°，正五边形的角是108°，

∴∠4=180°﹣60°﹣32°=88°，

∴∠5+∠6=180°﹣88°=92°，

∴∠5=180°﹣∠2﹣108°①，

∠6=180°﹣90°﹣∠1=90°﹣∠1②，

∴①+②得，180°﹣∠2﹣108°+90°﹣∠1=92°，

即∠1+∠2=70°．

故答案为：

70°．

点评：

本题考查的是三角形角和定理，熟知正三角形、正四边形、正五边形各角的度数是解答此题的关键．

12．（2013•）如图，点O是△ABC的两条角平分线的交点，若∠BOC=118°，则∠A的大小是　56°　．

考点：

三角形角和定理．

分析：

先根据三角形角和定理求出∠1+∠2的度数，再根据角平分线的定义求出∠ABC+∠ACB的度数，由三角形角和定理即可得出结论．

解答：

解：

∵△BOC中，∠BOC=118°，

∴∠1+∠2=180°﹣118°=62°．

∵BO和CO是△ABC的角平分线，

∴∠ABC+∠ACB=2（∠1+∠2）=2×62°=124°，

在△ABC中，

∵∠ABC+∠ACB=124°，

∴∠A=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣124°=56°．

故答案为：

56°．

点评：

本题考查的是角平分线的定义，三角形角和定理，即三角形的角和是180°．

13．（2008•）如图，已知a∥b，∠1=70°，∠2=40°，则∠3=　70　度．

考点：

三角形角和定理；平行线的性质．

专题：

计算题．

分析：

把∠2，∠3转化为△ABC中的角后，利用三角形角和定理求解．

解答：

解：

由对顶角相等可得∠ACB=∠2=40°，

在△ABC中，由三角形角和知∠ABC=180°﹣∠1﹣∠ACB=70°．

又a∥b，∴∠3=∠ABC=70°．

点评：

本题考查了平行线与三角形的相关知识．

14．（2003•）如图，平面镜A与B之间夹角为120°，光线经过平面镜A反射后射在平面镜B上，再反射出去，若∠1=∠2，则∠1=　30　度．

考点：

三角形角和定理；角平分线的定义．

专题：

压轴题．

分析：

因为入射角等于反射角，所以∠1=∠2=（180°﹣120°）÷2．

解答：

解：

如图所示，

作出入射光线的法线，

根据“入射角等于反射角”可知∠1=∠3，∠2=∠4，

∵∠1=∠2，∠AOB=120°，

∴1=∠2=（180°﹣120°）÷2=30°．

故答案为：

30°．

点评：

此题由题意得出“入射角等于反射角”是关键．

三．解答题（共16小题）

15．（2014•六盘水）

（1）三角形角和等于　180°　．

（2）请证明以上命题．

考点：

三角形角和定理；平行线的性质．

专题：

证明题．

分析：

（1）直接根据三角形角和定理得出结论即可；

（2）画出△ABC，过点C作CF∥AB，再根据平行线的性质得出∠2=∠A，∠B+∠BCF=180°，再通过等量代换即可得出结论．

解答：

解：

（1）三角形角和等于180°．

故答案为：

180°；

（2）已知：

如图所示的△ABC，

求证：

∠A+∠B+∠C=180°．

证明：

过点C作CF∥AB，

∵CF∥AB，

∴∠2=∠A，∠B+∠BCF=180°，

∵∠1+∠2=∠BCF，

∴∠B+∠1+∠2=180°，

∴∠B+∠1+∠A=180°，即三角形角和等于180°．

点评：

本题考查的是三角形角和定理，熟知三角形的角和等于180°是解答此题的关键．

16．（2001•）如图，在△ABC中，已知∠ABC=46°，∠ACB=80°，延长BC至D，使CD=CA，连接AD，求∠BAD的度数．

考点：

三角形角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质．

分析：

要求∠BAD的度数，只要求出∠C的度数就行了，根据三角形角和为180°，求出∠BAD的度数，根据三角形角和外角关系与等腰三角形性质，易求∠C的度数．

解答：

解：

∵∠ACB=80°

∴∠ACD=180°﹣∠ACB=180°﹣80°=100°

又∵CD=CA

∴∠CAD=∠D

∵∠ACD+∠CAD+∠D=180°

∴∠CAD=∠D=40°

在△ABC

∴∠BAD=180°﹣∠ABC﹣∠D=180°﹣46°﹣40°=94°．

点评：

此题主要考三角形角与外角的关系与等腰三角形的性质；找出角之间的关系利用角和求解是正确解答本题的关键．

17．（2000•）如图，已知在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．

考点：

三角形角和定理．

专题：

数形结合．

分析：

根据三角形的角和定理与∠C=∠ABC=2∠A，即可求得△ABC三个角的度数，再根据直角三角形的两个锐角互余求得∠DBC的度数．

解答：

解：

∵∠C=∠ABC=2∠A，

∴∠C+∠ABC+∠A=5∠A=180°，

∴∠A=36°．

则∠C=∠ABC=2∠A=72°．

又BD是AC边上的高，

则∠DBC=90°﹣∠C=18°．

点评：

此题主要是三角形角和定理的运用．

三角形的角和是180°．

18．（2011•）认真阅读下面关于三角形外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．

探究1：

如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90°+，理由如下：

∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线

∴

∴

又∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A

∴

∴∠BOC=180°﹣（∠1+∠2）=180°﹣（90°﹣∠A）

=

探究2：

如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？

请说明理由．

探究3：

如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？

（只写结论，不需证明）

结论：

　∠BOC=90°﹣∠A　．

考点：

三角形的外角性质；三角形角和定理．

专题：

压轴题．

分析：

（1）根据提供的信息，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个角的和，用∠A与∠1表示出∠2，再利用∠O与∠1表示出∠2，然后整理即可得到∠BOC与∠A的关系；

（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个角的和以与角平分线的定义表示出∠OBC与∠OCB，然后再根据三角形的角和定理列式整理即可得解．

解答：

解：

（1）探究2结论：

∠BOC=∠A，

理由如下：

∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，

∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACD，

又∵∠ACD是△ABC的一外角，

∴∠ACD=∠A+∠ABC，

∴∠2=（∠A+∠ABC）=∠A+∠1，