高中物理 第十六章 动量守恒定律 2 动量和动量定理学案 新人教版选修35.docx
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高中物理第十六章动量守恒定律2动量和动量定理学案新人教版选修35
2 动量和动量定理
1．动量
（1）定义：
在物理学上，把物体的质量跟其速度的乘积，叫做物体的动量。
（2）表达式：
p＝mv。
（3）单位：
kg·m/s。
（4）方向：
动量是矢量，它的方向与速度的方向相同。
（5）对动量的理解
①动量的矢量性：
动量既有大小，又有方向，是矢量。
它的方向与速度方向相同。
当速度发生变化（速度的大小或速度的方向或速度的大小和方向同时变化），动量也随之改变；动量的运算遵循平行四边形定则。
②动量的瞬时性：
由于速度具有瞬时性，所以动量也具有瞬时性，是反映物体运动状态的物理量，是状态量。
谈及动量时，须指明物体在某时刻或某状态时所具有的动量。
③动量的相对性：
由于物体的速度与参考系的选取有关，所以物体的动量也与参考系的选取有关，因而动量具有相对性。
在中学阶段，一般取地面或相对地面静止的物体为参考系。
【例1】质量为m＝2kg的物体，从空中水平匀速飞行的飞行物上自由落下，已知飞行物的速度为v0＝3m/s，求物体离开飞行物后0.4s末的动量。
不计空气阻力，g取10m/s2。
解析：
以地面为参考系，物体0.4s末时的速度为v＝
＝
m/s＝5m/s，所以p＝mv＝2.0×5kg·m/s＝10kg·m/s，方向与该时刻的速度方向一致，即与水平方向成θ角，θ＝arctan
＝arctan
＝53°。
答案：
10kg·m/s，方向与水平方向成53°角
2.动量的变化
动量是矢量，只要物体的m的大小、v的大小和v的方向三者中有一个发生变化，则物体的动量就发生变化。
动量的变化可表示为Δp＝p末－p初，此式为矢量式。
Δp也为矢量，其方向与Δv的方向相同。
（1）在一维情况下（共线），可以把动量的矢量运算简化成代数运算，动量变化计算公式Δp＝p2－p1＝mv2－mv1，通常情况下先选定一个正方向，用正负号来表示初、末动量的方向。
速度方向与正方向相同，则该物体的速度和动量为正，相反则为负。
【例2－1】羽毛球是速度较快的球类运动之一，运动员扣杀羽毛球的速度可达到342km/h，假设球飞来的速度为90km/h，运动员将球以342km/h的速度反向击回。
设羽毛球的质量为5g，试求：
（1）运动员击球过程中羽毛球的动量变化量。
（2）在运动员的这次扣杀中，羽毛球的速度变化、动能变化各是多少？
解析：
（1）以球飞来的方向为正方向，则
p1＝mv1＝5×10－3×
kg·m/s＝0.125kg·m/s。
p2＝mv2＝－5×10－3×
kg·m/s＝－0.475kg·m/s。
所以动量的变化量
Δp＝p2－p1＝－0.475kg·m/s－0.125kg·m/s
＝－0.600kg·m/s。
即球的动量变化大小为0.600kg·m/s，方向与球飞来的方向相反。
（2）羽毛球的初速度：
v＝25m/s，
羽毛球的末速度：
v′＝－95m/s，
所以Δv＝v′－v＝－120m/s。
羽毛球的初动能：
Ek＝
mv2＝1.56J，
羽毛球的末动能：
Ek′＝
mv′2＝22.56J。
所以ΔEk＝Ek′－Ek＝21J。
答案：
（1）0.600kg·m/s 方向与球飞来的方向相反
（2）120m/s 方向与初速度方向相反 21J
析规律动量是矢量
动量的变化量也是矢量，计算在同一直线上动量的变化量时，一定要注意正方向的规定。
通常取初速度方向为正方向，代入数据计算时，切不可丢掉表示方向的正、负号。
（2）在p末与p初不共线的情况下，求Δp要用平行四边形定则。
在曲线运动中，初、末动量不在同一直线上，可以按照平行四边形定则或者三角形定则求Δp。
如图所示，Δp就是由初动量箭头指向末动量箭头的有向线段。
【例2－2】一个质量是0.2kg的钢球，以2m/s的速度斜射到坚硬的大理石板上，入射的角度是45°，碰撞后被斜着弹出，弹出的角度也是45°，速度大小仍为2m/s，用作图法求出钢球动量变化的大小和方向。
解析：
碰撞前后钢球不在同一直线上运动，根据平行四边形定则，以p′和－p为邻边作平行四边形，则Δp的大小就等于对角线的长度，对角线的指向就表示其方向，所以
Δp＝
＝
kg·m/s
＝0.4
kg·m/s
方向竖直向上。
答案：
0.4
kg·m/s 竖直向上
3．冲量
（1）牛顿第二定律的动量表达式
F＝ma＝m
＝
此式说明作用力F等于物体动量的变化率。
即F＝
是牛顿第二定律的另一种表达形式。
（2）冲量的定义：
力与力的作用时间的乘积叫做力的冲量。
（3）公式：
I＝F·t。
（4）单位：
牛·秒，符号：
N·s。
（5）冲量的性质
①冲量的时间性：
冲量不仅由力决定，还由力的作用时间决定，恒力的冲量等于力与力作用时间的乘积，可用I＝F·t表示。
②冲量的矢量性：
对于具有恒定方向的力来说，冲量的方向与力的方向一致；对于作用时间内方向变化的力来说，冲量的方向与相应时间内动量的变化量的方向一致，冲量的运算遵守平行四边形定则。
③冲量的绝对性：
由于力和时间都跟参考系的选择无关，所以力的冲量也跟参考系的选择无关。
④冲量的过程性：
冲量是描述力对作用时间的累积效果，力越大，作用时间越长，冲量就越大。
冲量是一个过程量，学习冲量必须明确研究对象和作用过程，即必须明确是哪个力在哪段时间内对哪个物体产生的冲量。
【例3】以某一初速度竖直向上抛出一物体，空气阻力不可忽略。
关于物体受到的冲量，以下说法正确的是（ ）
A．物体上升阶段和下落阶段受到的重力的冲量方向相反
B．物体上升阶段和下落阶段受到空气阻力冲量的方向相反
C．物体在下落阶段受到重力的冲量大于上升阶段受到重力的冲量
D．物体在下落阶段受到重力的冲量小于上升阶段受到重力的冲量
解析：
A
×
恒力的冲量的方向与该恒力方向相同，即上升、下落阶段重力的冲量方向相同，均竖直向下。
B
√
物体上升阶段和下落阶段空气阻力方向相反，冲量方向相反。
C
√
由于空气阻力不可忽略，物体上升过程受到的合力大于下落过程的合力，物体上升的时间小于下落的时间，即下落阶段受到重力的冲量大于上升阶段受到重力的冲量。
D
×
答案：
BC
4.动量定理
（1）动量定理的内容：
物体所受合外力的冲量等于物体动量的变化。
（2）表达式：
Ft＝mv′－mv或I＝p′－p
式中mv是物体初始状态的动量，mv′是力的作用结束时的末态动量。
动量定理反映了物体在受到力的冲量作用时，其状态发生变化的规律，是力在时间上的累积效果。
（3）动量定理的理解与应用要点：
①动量定理的表达式是一个矢量式，应用动量定理时需要规定正方向。
②动量定理公式中F是研究对象所受的包括重力在内的所有外力的合力，它可以是恒力，也可以是变力。
当合外力为变力时，F应该是合外力在作用时间内的平均值。
③动量定理的研究对象是单个物体或系统。
④动量定理中的冲量是合外力的冲量，而不是某一个力的冲量。
在所研究的物理过程中，如果作用在物体上的各个外力的作用时间相同，求合外力的冲量时，可以先求所有外力的合力，然后再乘以力的作用时间，也可以先求每个外力在作用时间内的冲量，然后再求所有外力冲量的矢量和。
如果作用在物体上各外力的作用时间不同，就只能先求每一个外力在其作用时间内的冲量，然后再求所有外力冲量的矢量和。
⑤动量定理中I是合外力的冲量，是使研究对象的动量发生变化的原因，并非产生动量的原因，不能认为合外力的冲量就是动量的变化。
合外力的冲量是引起研究对象状态变化的外在因素，而动量的变化是合外力冲量作用后导致的必然结果。
⑥动量定理不仅适用于宏观物体的低速运动，对微观物体和高速运动仍然适用。
⑦合外力的冲量是物体动量变化的量度。
【例4】质量为0.5kg的弹性小球，从1.25m高处自由下落，与地板碰撞后回跳高度为0.8m。
设碰撞时间为0.1s，g取10m/s2，求小球对地板的平均作用力。
解析：
解法一：
分段处理
取小球为研究对象，根据自由落体运动和竖直上抛运动可知，小球碰撞前的速度：
v1＝
＝
m/s＝5m/s，方向向下；
小球碰撞后的速度：
v2＝
＝
m/s＝4m/s，方向向上。
小球受力情况如图所示，取竖直向上为正方向。
根据动量定理：
（
N－mg）t＝mv2－mv1
N＝
＋mg＝50N
由牛顿第三定律可知，小球对地板的平均作用力大小为50N，方向竖直向下
解法二：
全程处理
以开始下落的瞬间为初状态，反弹到最高点时为末状态，则重力的作用时间：
t＝
＋t碰＋
＝（0.5＋0.1＋0.4）s＝1s
平均冲力的作用时间为t碰＝0.1s
取竖直向下为正方向，mgt－
Nt碰＝0
所以
N＝
＝
N＝50N
由牛顿第三定律可知，小球对地板的平均作用力大小为50N，方向竖直向下。
答案：
50N，方向竖直向下
点技巧动量定理解题要点
（1）若物体在运动过程中所受的力不是同时的，可将受力情况分成若干阶段来解，也可当成一个全过程来求解。
（2）在用动量定理解题时，一定要认真进行受力分析，不可有遗漏，比如求解本题时，有的同学就把重力遗漏了。
5．冲量的计算方法
（1）单个恒力的冲量，既可是直线运动中单个恒力的冲量，也可是曲线运动中某个恒力的冲量，用冲量的定义式I＝Ft计算。
（2）几个恒力的合冲量
①先求几个恒力的合力F合，再用I合＝F合·t求合力的冲量，此方法适用于几个恒力的作用时间相同。
②若几个恒力的作用时间不相同，则应先求出各个恒力的冲量，I1＝F1t1，I2＝F2t2，…再依据平行四边形定则求I合。
若I1、I2…都在一直线上，可选定正方向，将矢量运算化为代数运算。
（3）变力的冲量
①变力的冲量通常可利用动量定理I＝Δp求解。
②可用图象法计算冲量，如图1，若某一力方向恒定不变，那么在Ft图象中，图中阴影部分的面积就表示力在时间Δt＝t2－t1内的冲量。
图1 图2
③对于方向不变，大小随时间均匀变化的力，其冲量可用公式I＝
t0计算，如图2所示。
【例5－1】一个质量为m的物体，从离地面高为h的位置以初速度v0水平抛出，求物体从开始抛出到落至地面这段时间内重力的冲量。
解析：
因为重力为恒力，其大小为mg，方向竖直向下，所以重力的冲量可直接用I＝Ft来求解。
设物体运动的时间为t，因在竖直方向上，物体做自由落体运动，所以h＝
gt2，t＝
重力在这段时间内的冲量大小为I＝Ft＝mgt＝m
冲量的方向与重力的方向一致，即竖直向下。
答案：
m
，方向竖直向下
【例5－2】用电钻给建筑物钻孔时，钻头所受的阻力与深度成正比。
图为阻力f与时间关系的图象，若钻头匀速钻进时第1s内所受的阻力的冲量为100N·s，求5s内阻力的冲量的大小。
解析：
设钻头进入建筑物的深度为x，则钻头受到的阻力为f＝kx，k为比例系数。
钻头匀速钻进，深度为x＝vt
所以f＝kvt
在时间t内阻力的冲量可通过如题图所示的ft图象的面积来求解I＝
f·t＝
kvt2
即I∝t2，因第1s内的冲量为100N·s，所以t＝5s时，I5＝2500N·s。
答案：
2500N·s
6.动量定理的应用
（1）一个物体的动量变化Δp与合外力的冲量具有等效代换关系，二者大小相等、方向相同，可以相互代换，据此有：
①应用I＝Δp求变力的冲量：
如果物体受到大小或方向改变的力的作用，则不能直接用Ft求变力的冲量，这时可以求出该力作用下物体动量的变化Δp，等效代换变力的冲量I。
②应用Δp＝FΔt求恒力作用下的曲线运动中物体动量的变化：
曲线运动的物体速度方向时刻在变化，求动量变化Δp＝p′－p需要应用矢量运算方法，比较麻烦。
如果作用力是恒力，可以求恒力的冲量，等效代换动量的变化。
（2）用动量定理解释相关物理现象的要点。
由Ft＝p′－p＝Δp可以看出，当Δp为恒量时，作用力F的大小与相互作用的时间t成反比。
（3）应用动量定理的解题步骤
①确定研究对象，研究对象可以是一个物体，也可以是两个以上的物体组成的系统。
②确定应用动量定理的物理过程，即确定在哪一段时间内应用动量定理。
③分析运动过程中的受力情况，给出外力冲量的矢量和的表达式。
④分析运动过程始末的动量，并由所定正方向写出动量变化的表达式。
⑤列出动量定理方程并求解。
【例6－1】如图甲所示，物体A和B用轻绳相连，挂在轻质弹簧下静止不动，A的质量为m，B的质量为M。
当连接A、B的绳突然断开后，物体A上升经某一位置时的速度大小为v，这时物体B下落的速度大小为u，如图乙所示。
在这段时间里，弹簧的弹力对物体A的冲量为（ ）
A．mv B．mv－Mu C．mv＋Mu D．mv＋mu
解析：
该题涉及的物体较多，可选B为研究对象，在B下落的这段时间t内，其动量向下增加为Mu，B只受重力，由动量定理，重力的冲量为Mgt＝Mu，解得t＝
。
以A为研究对象，其动量在时间t内向上增加为mv，设弹力的冲量为I，由动量定理有I－mgt＝mv
解得I＝m（v＋u）
故正确选项为D。
答案：
D
析规律计算冲量的一般方法
求一个变力的冲量时，若该力是线性变化的，可转化为恒力（平均力
）求解，也可用动量定理求解；若该力不是均匀变化的，只能用动量定理求解。
【例6－2】在距地面高h处、同时以相等初速度v0分别平抛、竖直上抛、竖直下抛三个质量均为m的物体，当它们从抛出点落到地面时，比较它们的动量的增量Δp，有（ ）
A．平抛过程较大B．竖直上抛过程较大
C．竖直下抛过程较大D．三者一样大
解析：
由动量定理可知I合＝Δp，而I合＝mgt，竖直上抛过程t2最大，所以Δp2最大，应选B。
答案：
B
7．冲量与功的区别
8.动量定理与牛顿第二定律的区别与联系
【例7】如图所示，在倾角α＝37°的斜面上，有一质量为5kg的物体沿斜面滑下，物体与斜面间的动摩擦因数μ＝0.2，求物体下滑2s的时间内物体所受各力的冲量。
（g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）
思路点拨：
①判断物体所受各力的方向；②根据冲量公式求出各力的冲量。
解析：
物体沿斜面下滑过程中，受重力、支持力和摩擦力的作用，冲量I＝FΔt，是矢量。
重力的冲量
IG＝GΔt＝mgΔt＝5×10×2N·s＝100N·s，
方向竖直向下。
支持力的冲量
IFN＝FNΔt＝mgcosα·Δt＝5×10×0.8×2N·s＝80N·s，
方向垂直于斜面向上。
摩擦力的冲量
IFf＝FfΔt＝μmgcosα·Δt＝0.2×5×10×0.8×2N·s＝16N·s，方向沿斜面向上。
答案：
重力的冲量为100N·s，方向竖直向下
支持力的冲量为80N·s，方向垂直于斜面向上
摩擦力的冲量为16N·s，方向沿斜面向上
辨误区冲量与功的区别
在计算支持力的冲量时，若在垂直斜面方向上物体没发生位移，有人就认为IFN＝0，这种错误观点的根源在于未分清冲量与功的概念。
应注意：
力对物体做功时，力的冲量不为零，但力对物体有冲量时力不一定对物体做功。
冲量是矢量，功是标量，冲量大小计算是作用力的大小乘以作用时间，功的计算是力与沿力的方向上发生位移的乘积。
【例8】一辆质量为2t的汽车在水平公路上行驶时，它受到的阻力为自重的0.02倍。
由静止出发，它在恒定牵引力作用下10s内可加速到30m/s。
求汽车在这段加速过程中的牵引力。
解析：
方法一：
利用动量定理求解。
设汽车运动方向为正，则由动量定理可知：
（F－kmg）t＝mv，
解得F＝kmg＋
＝6.4×103N。
方法二：
利用动能定理求解。
汽车做匀加速直线运动，在10s内的位移为：
s＝
t＝150m，
由动能定理（F－kmg）s＝
mv2，
得F＝
＋kmg＝6.4×103N。
方法三：
利用牛顿第二定律求解。
a＝
＝
m/s2＝3m/s2，
再根据牛顿第二定律
F－kmg＝ma，
得F＝kmg＋ma＝6.4×103N。
答案：
6.4×103N
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