福建厦门市高二数学下学期期末试题有解析.docx

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福建厦门市高二数学下学期期末试题有解析

福建厦门市2016年高二数学下学期期末试题（有解析）

2015-2016学年福建省厦门市高二（下）期末数学试卷（理科）　一、选择题：

每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z=（1+i）（a+2i）（i为虚数单位）是纯虚数，则实数a等于（　　）A．�2B．�1C．0D．22．双曲线x2�=1的一个顶点到一条渐近线的距离是（　　）A．B．C．D．3．已知随机变量X服从正态分布N（1，4），P（�1＜X＜3）=0.6826，则下列结论正确的是（　　）A．P（X＜�1）=0.6587B．P（X＞3）=0.1587C．P（�1＜X＜1）=0.3174D．P（1＜X＜3）=0.18264．已知函数f（x）的导函数是f′（x），且满足f（x）=2xf′（e）�lnx，则f′（e）等于（　　）A．1B．�1C．eD．5．由曲线y=，直线y=x及x=3所围成的图形的面积是（　　）A．4�ln3B．8�ln3C．4+ln3D．8+ln36．三棱柱ABC�A1B1C1中，△ABC是等边三角形，AA1⊥底面ABC，AB=2，AA1=，则异面直线AC1与B1C所成的角的大小是（　　）A．30°B．60°C．90°D．120°7．假设有两个分类变量X和Y的2×2列联表为：

YXy1y2总计x1a10a+10x2c50c+50总计4060100对同一样本，以下数据能说明X与Y有关系的可能性最大的一组是（　　）A．a=10，c=30B．a=15，c=25C．a=20，c=20D．a=30，c=108．甲、乙、丙、丁四个人去旅游，可供选择的景点有3个，每人只能选择一个景点且甲、乙不能同去一个景点，则不同的选择方案的种数是（　　）A．54B．36C．27D．249．“m＜1”是“函数y=x2+在[1，+∞）单调递增”的（　　）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．甲、乙、丙三人，一人在看书，一人在画画，一人在听音乐．已知：

①甲不看书；②若丙不画画，则乙不听音乐；③若乙在看书，则丙不听音乐．则（　　）A．甲一定在画画B．甲一定在听音乐C．乙一定不看书D．丙一定不画画11．函数f（x）=e|x|cosx的图象大致是（　　）A．B．C．D．12．已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别是F1、F2，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若|PF1|=8，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则+的取值范围是（　　）A．（1，+∞）B．（1，4）C．（2，4）D．（4，8）　二、填空题：

每小题5分，共20分．13．（2x+）n的二项式系数的和是32，则该二项展开式中x3的系数是　　　　　　（用数字填写答案）．14．已知m∈R，p：

方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆；q：

在复平面内，复数z=1+（m�3）i对应的点在第四象限．若p∧q为真，则m的取值范围是　　　　　　．15．抛物线y2=4x的焦点为F，A为抛物线上在第一象限内的一点，以点F为圆心，1为半径的圆与线段AF的交点为B，点A在y轴上的射影为点N，且|ON|=2，则线段NB的长度是　　　　　　．16．设函数f（x）在R上的导函数是f′（x），对∀x∈R，f′（x）＜x．若f（1�a）�f（a）≤�a，则实数a的取值范围是　　　　　　．　三、解答题：

共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．某工厂为了增加其产品的销售量，调查了该产品投入的广告费用x与销售量y的数据，如表：

广告费用x（万元）23456销售量y（万件）578911由散点图知可以用回归直线=x+来近似刻画它们之间的关系．（Ⅰ）求回归直线方程=x+；（Ⅱ）在（Ⅰ）的回归方程模型中，请用相关指数R2说明，广告费用解释了百分之多少的销售量变化？

参考公式：

=，=�；R2=1�．18．函数f（x）=x3+ax2+bx�在x=2处的切线方程为x+y�2=0．（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值．19．如图，已知四棱锥P�ABCD的底面为菱形，且∠ABC=60°，AB=PC=2，AP=BP=．（Ⅰ）求证：

平面PAB⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角A�PC�D的平面角的余弦值．20．某工厂有甲乙两个车间，每个车间各有3台机器．甲车间每台机器每天发生故障的概率均为，乙车间3台机器每天发生故障的概率分别为，，．若一天内同一车间的机器都不发生故障可获利2万元，恰有一台机器发生故障仍可获利1万元，恰有两台机器发生故障的利润为0万元，三台机器发生故障要亏损3万元．（Ⅰ）求乙车间每天机器发生故障的台数的分布列；（Ⅱ）由于节能减排，甲乙两个车间必须停产一个．以工厂获得利润的期望值为决策依据，你认为哪个车间停产比较合理．21．已知圆C1：

x2+y2=4与x轴左右交点分别为A1、A2，过点A1的直线l1与过点A2的直线l2相交于点D，且l1与l2斜率的乘积为�．（Ⅰ）求点D的轨迹C2方程；（Ⅱ）若直线l：

y=kx+m不过A1、A2且与轨迹C2仅有一个公共点，且直线l与圆C1交于P、Q两点．求△POA1与△QOA2的面积之和的最大值．22．已知函数f（x）=lnx�cx2（c∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的零点个数；（Ⅱ）当函数f（x）有两个零点x1，x2时，求证：

x1•x2＞e．　

2015-2016学年福建省厦门市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析　一、选择题：

每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z=（1+i）（a+2i）（i为虚数单位）是纯虚数，则实数a等于（　　）A．�2B．�1C．0D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘法运算化简复数z，又已知复数z是纯虚数，得到，求解即可得答案．【解答】解：

复数z=（1+i）（a+2i）=（a�2）+（a+2）i，又∵复数z是纯虚数，∴，解得a=2．故选：

D．　2．双曲线x2�=1的一个顶点到一条渐近线的距离是（　　）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的方程求出一个顶点和渐近线，利用点到直线的距离公式进行求解即可．【解答】解：

由双曲线的方程得a=1，b=，双曲线的渐近线为y=x，设双曲线的一个顶点为A（1，0），渐近线为y=x，即x�y=0，则顶点到一条渐近线的距离d==，故选：

C．　3．已知随机变量X服从正态分布N（1，4），P（�1＜X＜3）=0.6826，则下列结论正确的是（　　）A．P（X＜�1）=0.6587B．P（X＞3）=0.1587C．P（�1＜X＜1）=0.3174D．P（1＜X＜3）=0.1826【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据对称性，由P（�1＜X＜3）可求出P（X＞3）．【解答】解：

∵随机变量X服从正态分布N（1，4），∴曲线关于x=1对称，∵P（�1＜X＜3）=0.6826，∴P（X＞3）=0.5�0.3413=0.1587．故选：

B．　4．已知函数f（x）的导函数是f′（x），且满足f（x）=2xf′（e）�lnx，则f′（e）等于（　　）A．1B．�1C．eD．【考点】导数的运算．【分析】求函数的导数，直接令x=e进行求解即可．【解答】解：

∵f（x）=2xf′（e）�lnx，∴函数的导数f′（x）=2f′（e）�，令x=e，则f′（e）=2f′（e）�，即f′（e）=，故选：

D　5．由曲线y=，直线y=x及x=3所围成的图形的面积是（　　）A．4�ln3B．8�ln3C．4+ln3D．8+ln3【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】作出对应的图象，确定积分的上限和下限，利用积分的应用求面积即可．【解答】解：

作出对应的图象，由得x=1，则阴影部分的面积S=∫（x�）dx=（x2�lnx）|=（�ln3）�（�ln1）=4�ln3，故选：

A　6．三棱柱ABC�A1B1C1中，△ABC是等边三角形，AA1⊥底面ABC，AB=2，AA1=，则异面直线AC1与B1C所成的角的大小是（　　）A．30°B．60°C．90°D．120°【考点】异面直线及其所成的角．【分析】取中点连接，由异面直线所成角的概念得到异面直线AC1与B1C所成的角，求解直角三角形得到三角形边长，再由余弦定理得答案．【解答】解：

如图，分别取AC、B1C1、CC1、BC的中点E、F、G、K，连接EF、EG、FG、EK、FK，EK=，FK=，则EF=，EG=，．在△EFG中，cos∠EGF=．∴异面直线AC1与B1C所成的角的大小是90°．故选：

C．　7．假设有两个分类变量X和Y的2×2列联表为：

YXy1y2总计x1a10a+10x2c50c+50总计4060100对同一样本，以下数据能说明X与Y有关系的可能性最大的一组是（　　）A．a=10，c=30B．a=15，c=25C．a=20，c=20D．a=30，c=10【考点】独立性检验的应用．【分析】当ad与bc差距越大，两个变量有关的可能性就越大，检验四个选项中所给的ad与bc的差距，前三个选项都一样，只有第四个选项差距大，得到结果．【解答】解：

先求所有可能分派方法，先求所有可能的分派方法，甲、乙、丙、丁四个人去旅游，可供选择的景点有3个，共有34=81种情况，甲、乙同去一个景点有33=27种情况，相减可得结论．【解答】解：

间接法：

先求所有可能的分派方法，甲、乙、丙、丁四个人去旅游，可供选择的景点有3个，共有34=81种情况，甲、乙同去一个景点有33=27种情况，∴不同的选择方案的种数是81�27=54．故选：

A　9．“m＜1”是“函数y=x2+在[1，+∞）单调递增”的（　　）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】充要条件；函数的单调性与导数的关系．【分析】若函数y=x2+在[1，+∞）单调递增，则y′=2x�≥0在[1，+∞）上恒成立，求出m的范围，进而根据充要条件的定义，可得答案．【解答】解：

∵函数y=x2+在[1，+∞）单调递增，∴y′=2x�≥0在[1，+∞）上恒成立，即m≤2，故“m＜1”是“函数y=x2+在[1，+∞）单调递增”的充分不必要条件，故选：

A．　10．甲、乙、丙三人，一人在看书，一人在画画，一人在听音乐．已知：

①甲不看书；②若丙不画画，则乙不听音乐；③若乙在看书，则丙不听音乐．则（　　）A．甲一定在画画B．甲一定在听音乐C．乙一定不看书D．丙一定不画画【考点】进行简单的合情推理．【分析】由①开始，进行逐个判断，采用排除法，即可得到答案．【解答】解：

由①可知：

甲可能在画画或在听音乐，由③可知，乙在看书，丙在画画，甲只能在听音乐，由②丙可以听音乐或看书，乙只能看书或画画，结合①③可知：

甲听音乐，乙画画，丙看书，所以甲一定在听音乐，故选：

B．　11．函数f（x）=e|x|cosx的图象大致是（　　）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据函数的奇偶性，排除B；根据函数在（0，）上，为增函数，在（，）上，为减函数，排除A；再根据在（，）上，为增函数，f（）＞f（），排除C，可得结论．【解答】解：

由于函数函数f（x）=e|x|cosx为偶函数，它的图象关于y轴对称，故排除B．当x＞0时，f（x）=ex•cosx，f′（x）=ex•cosx�ex•sinx=2x（cosx�sinx），故函数在（0，）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数；在（，）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数，故排除A．在（，）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数，且f（）＞f（），故排除C，只有D满足条件，故选：

D．　12．已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别是F1、F2，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若|PF1|=8，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则+的取值范围是（　　）A．（1，+∞）B．（1，4）C．（2，4）D．（4，8）【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用待定系数法设出双曲线和椭圆的方程，根据双曲线和椭圆的定义得到a1=4+c，a2=4�c，然后利用离心率的公式进行转化求解即可．【解答】解：

设椭圆与双曲线的标准方程分别为：

，．（a1，a2，b1，b2＞0，a1＞b1）∵△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，|PF1|=8，∴8+2c=2a1，8�2c=2a2，即有a1=4+c，a2=4�c，（c＜4），再由三角形的两边之和大于第三边，可得2c+2c＞8，可得c＞2，即有2＜c＜4．由离心率公式可得+====，∵2＜c＜4，∴＜＜，则2＜＜4，即2＜+＜4，故+的取值范围是（2，4），故选：

C　二、填空题：

每小题5分，共20分．13．（2x+）n的二项式系数的和是32，则该二项展开式中x3的系数是　80　（用数字填写答案）．【考点】二项式系数的性质．【分析】由题意可得：

2n=32，解得n．再利用其通项公式即可得出．【解答】解：

由题意可得：

2n=32，解得n=5．∴的通项公式Tr+1=（2x）5�r=25�rx5�2r，令5�2r=3，解得r=1．∴该二项展开式中x3的系数=24=80．故答案为：

80．　14．已知m∈R，p：

方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆；q：

在复平面内，复数z=1+（m�3）i对应的点在第四象限．若p∧q为真，则m的取值范围是　（2，3）　．【考点】复合命题的真假．【分析】利用椭圆的标准方程、复数的几何意义、复合命题的真假的判定方法即可得出．【解答】解：

p：

方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m＞2；q：

在复平面内，复数z=1+（m�3）i对应的点在第四象限，∴m�3＜0，解得m＜3．∵p∧q为真，∴p与q都为真命题．∴2＜m＜3．则m的取值范围是（2，3）．故答案为：

（2，3）．　15．抛物线y2=4x的焦点为F，A为抛物线上在第一象限内的一点，以点F为圆心，1为半径的圆与线段AF的交点为B，点A在y轴上的射影为点N，且|ON|=2，则线段NB的长度是　3　．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出N，B的坐标，利用两点间的距离公式，即可得出结论．【解答】解：

由题意，A（3，2），N（0，2），以点F为圆心，1为半径的圆的方程为（x�1）2+y2=1，直线AF的方程为y=（x�1）联立直线与圆的方程可得（x�1）2=，∴x=或，∴B（，），∴|NB|==3故答案为：

3．　16．设函数f（x）在R上的导函数是f′（x），对∀x∈R，f′（x）＜x．若f（1�a）�f（a）≤�a，则实数a的取值范围是　a≤　．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】令g（x）=f（x）�x2，求出g（x）的单调性，问题等价于f（1�a）�（1�a）2≤f（a）�a2，根据函数的单调性得到关于a的不等式，解出即可．【解答】解：

令g（x）=f（x）�x2，则g′（x）=f′（x）�x，而f′（x）＜x，∴g′（x）=f′（x）�x＜0，故函数g（x）在R递减，∴f（1�a）�f（a）≤�a等价于f（1�a）�（1�a）2≤f（a）�a2，即g（1�a）≤g（a），∴1�a≥a，解得a≤，故答案为：

a≤．　三、解答题：

共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．某工厂为了增加其产品的销售量，调查了该产品投入的广告费用x与销售量y的数据，如表：

参考公式：

=，=�；R2=1�．【考点】线性回归方程．【分析】（Ⅰ）由数据求得样本中心点，利用最小二乘法求得系数，由线性回归方程过样本中心点，代入即可求得，即可求得回归直线方程；（Ⅱ）分别求得1，2…，5，根据相关指数公式求得相关指数R2，即可求得广告费用解释了百分之多少的销售量变化．【解答】解：

（Ⅰ）=×（2+3+4+5+6）=5，=×（5+7+8+9+11）=11，==1.4，=�=8�1.4×4=2.4，∴回归直线方程=1.4x+2.4；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：

1=1.4×2+2.4=5.2；2=1.4×3+2.4=6.6；3=1.4×4+2.4=8；4=1.4×5+2.4=9.4；5=1.4×6+2.4=10.8；R2=1�=0.98，∴广告费用解释了98%的销售量变化．　18．函数f（x）=x3+ax2+bx�在x=2处的切线方程为x+y�2=0．（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求导数得到f′（x）=x2+2ax+b，这样根据函数在切点处导数和切线斜率的关系以及切点在函数图象上便可得出关于a，b的方程组，解出a，b即可；（Ⅱ）上面已求出a，b，从而可以得出导函数f′（x），这样判断导数的符号，从而便可得出函数f（x）的极值．【解答】解：

（Ⅰ）f′（x）=x2+2ax+b；由题意可得，切点为（2，0），切线斜率为k=�1；∴；解得；（Ⅱ）由上面得，f′（x）=x2�4x+3=（x�1）（x�3）；∴x＜1时，f′（x）＞0，1＜x＜3时，f′（x）＜0，x＞3时，f′（x）＞0；∴x=1时，f（x）取极大值，x=3时，f（x）取极小值．　19．如图，已知四棱锥P�ABCD的底面为菱形，且∠ABC=60°，AB=PC=2，AP=BP=．（Ⅰ）求证：

平面PAB⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角A�PC�D的平面角的余弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．【分析】（I）取AB中点E，连PE、CE，由等腰三角形的性质可得PE⊥AB．再利用勾股定理的逆定理可得PE⊥CE．利用线面垂直的判定定理可得PE⊥平面ABCD．再利用面面垂直的判定定理即可证明．（II）建立如图所示的空间直角坐标系．利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角．【解答】（Ⅰ）证明：

如图1所示，取AB中点E，连PE、CE．则PE是等腰△PAB的底边上的中线，∴PE⊥AB．∵PE=1，CE=，PC=2，即PE2+CE2=PC2．由勾股定理的逆定理可得，PE⊥CE．又∵AB⊂平面ABCD，CE⊂平面ABCD，且AB∩CE=E，∴PE⊥平面ABCD．而PE⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABCD．（Ⅱ）以AB中点E为坐标原点，EC所在直线为x轴，EB所在直线为y轴，EP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则A（0，�1，0），C（，0，0），D（，�2，0），P（0，0，1），=（，1，0），=（，0，�1），=（0，2，0）．设是平面PAC的一个法向量，则，即．取x1=1，可得，．设是平面PCD的一个法向量，则，即．取x2=1，可得，．故，即二面角A�PC�D的平面角的余弦值是．　20．某工厂有甲乙两个车间，每个车间各有3台机器．甲车间每台机器每天发生故障的概率均为，乙车间3台机器每天发生故障的概率分别为，，．若一天内同一车间的机器都不发生故障可获利2万元，恰有一台机器发生故障仍可获利1万元，恰有两台机器发生故障的利润为0万元，三台机器发生故障要亏损3万元．（Ⅰ）求乙车间每天机器发生故障的台数的分布列；（Ⅱ）由于节能减排，甲乙两个车间必须停产一个．以工厂获得利润的期望值为决策依据，你认为哪个车间停产比较合理．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）乙车间每天机器发生故障的台数ξ，可以取0，1，2，3，求出相应的概率，即可求乙车间每天机器发生故障的台数的分布列；（Ⅱ）设甲车间每台机器每天发生故障的台数η，获得的利润为X，则η～B（3，），求出甲乙的期望，比较，即可得出结论．【解答】解：

（Ⅰ）乙车间每天机器发生故障的台数ξ，可以取0，1，2，3，P（ξ=0）=（1�）×（1�）×（1�）=，P（ξ=1）=C21××（（1�）×（1�）2+（1�）×=，P（ξ=2）=C21××（（1�）×+（）2×（1�）=，P（ξ=3）=××=，∴乙车间每天机器发生故障的台数ξ的分布列；ξ0123P（Ⅱ）设甲车间每台机器每天发生故障的台数η，获得的利润为X，则η～B（3，），P（η=k）=（k=0，1，2，3），∴EX=2P（η=0）+1×P（η=1）+0×P（η=2）�3×P（η=3）=，由（Ⅰ）得EY=2P（ξ=0）+1×P（ξ=1）+0×P（ξ=2）�3×P（ξ=3）=，∵EX＜EY，∴甲车间停产比较合理．　21．已知圆C1：

x2+y2=4与x轴左右交点分别为A1、A2，过点A1的直线l1与过点A2的直线l2相交于点D，且l1与l2斜率的乘积为�．（Ⅰ）求点D的轨迹C2方程；（Ⅱ）若直线l：

y=kx+m不过A1、A2且与轨迹C2仅有一个公共点，且直线l与圆C1交于P、Q两点．求△POA1与△QOA2的面积之和的最大值．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）设点D的坐标为（x，y），求出A1、A2的坐标，由题意和斜率公式列出方程化简，可得点D的轨迹C2的方程；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线方程和C2的方程消去y，由条件可得△=0并化简，联立直线l与圆C1的方程消去x，利用韦达定理写出表达式，由图象和三角形的面积公式表示出，化简后利用基本不等式求出△POA1与△QOA2的面积之和的最大值．【解答】解：

（Ⅰ）设点D的坐标为（x，y），∵圆C1：

x2+y2=4与x轴左右交点分别为点A1（�2，0），A2（2，0），且l1与l2斜率的乘积为�，∴，化简得，∴点D的轨迹C2方程是；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立得，（1+4k2）x2+8kmx+4m2�4=0，由题意得，△=64k2+16�16m2=0，化简得，m2=4k2+1，联立消去x得，（1

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