整式的加减教学设计教案.docx
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整式的加减教学设计教案
七年级数学（上学期）第二章教案
第二章整式
教材内容
本章的主要内容是单项式、多项式、整式等有关概念，合并同类项、去括号、整式的加减运算。
课本首先通过实例列式表示数量关系，介绍了单项式、多项式以及整式等有关概念，然后通过具体问题的解决，类比有理数的运算律，明确了同类项可合并的道理，明确了整式加减法的法则和去括号法则.这些内容也是对前一章内容的进一步认识。
本章在呈现形式上突出了整式加减产生的背景，使学生经历实际问题“符号化”的过程，发展符号感，为探索有关运算法则设置了归纳、类比等活动，力求学生对算理的理解和法则的掌握。
本教案处理去括号法则是直接运用乘法分配律去括号的；并对某些内容和例题作了小范围的调整和增删。
教学目标
〔知识与技能〕
1、理解单项式、多项式和整式及有关概念，弄清它们之间的区别和联系。
2、理解同类项的概念，能熟练的合并同类项。
3、掌握去括号法则，能准确地去括号。
4、熟练地进行整式的加减运算。
〔过程与方法〕
1、通过丰富的实例，经历观察、分析、交流、概括出单项式、多项和整式等有关概念。
2、经历类比有理数的运算律，探索整式的加减运算法则。
3、发展有条理的思考及语言表达能力和用数学知识解决实际问题的能力。
〔情感、态度与价值观〕
1、培养学生主动探究，合作交流的意识。
2、通过将数的运算推广到整式的运算，在整式的运算中又不断地运用数的运算，使学生感受到认识事物是一个由特殊到一般，由一般到特殊的辩证过程，培养学生初步的辩证唯物观念。
重点难点
理解整式的概念，会进行整式的加减去处理运算是重点；正确区分单项式的次数与多项式的次数，括号前是负数时去括号是难点。
课时分配
2.1整式…………………………………3课时
2.2整式的加减………………………………………3课时
本章小结…………………………………………2课时
2．1整式
2.1.1单项式
[教学目标]1、能用代数式表示实际问题中的数量关系；2、理解单项式、单项式的系数和次数等概念，会指出单项式的次数和系数。
[重点难点]单项式的有关概念是重点；确定一个单项式的负系数和次数是难点。
[教学过程]
一、情景导入
我们来看这样一个问题：
[投影1～2]青藏铁路线（西宁至拉萨）上，在格尔木到拉萨之间有一段很长的冻土地段，列车在冻土地段的行驶速度是100千米/时，在非冻土地段的行驶速度可以达到120千米/时，请根据这些数据回答下列问题：
（1）列车在冻土地段行驶时，2小时能行驶多少千米？
3小时呢？
t小时呢？
（2）在西宁到拉萨路段，列车通过非冻土地段所需要时间是通过冻土地段所需要时间的2.1倍，如果通过冻土地段所需要t小时，能用含t的式子表示这段铁路的全长吗？
（3）在格里木到拉萨路段，列车通过冻土地段比通过非冻土地段多用0.5小时，如果通过冻土地段需要u小时，则这段铁路的全长可以怎样表示？
冻土地段与非冻土地段相差多少千米？
我们在小学学过用字母表示数，请你用这种方法回答上面的问题。
（1）2×100=200千米；3×100=300千米；100t.
（2）120×2.1t+100t（千米）；
（3）[100u+120（u-0.5）]千米;[100u-120（u-0.5）]千米。
这样，上述三个问题中的数量关系我们都可以用字母表示，不仅如此，我们还可以将这样的式子进行加减运算，即整式的加减。
二、单项式及有关概念
1、单项式
下面我们再来看几个用含有字母的式子表示数量关系的问题。
[投影3]用含有字母的式子填空：
（1）边长为a的正方体的表面积为；体积为。
（2）铅笔的单价是x元，圆珠笔的单价是铅笔单价的2.5倍，圆珠笔的单价是元。
（3）一辆汽车的速度是v千米/时，它t小时行驶的路程为千米。
（4）数n的相反数是.
答：
（1）6a2,a2;
（2）2.5x;;（3）vt;（4）-n.
观察上面各式中的运算有什么共同的特点？
它们都是数与字母相乘。
像上面这些式子这样，只含有数与字母积的式子叫做单项式。
单独一个数或一个字母也是单项式。
如-2，a。
2、系数和次数
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。
100t的系数是100，vt的系数是1，-n的系数是-1。
注意：
单项式的系数通常写在字母的前面，并把乘号省略。
一个单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。
例如，100t的次数是1，6a2的次数是2，-3xy2的次数是3。
注意：
单个数的次数是0。
想一想：
-2/3x,6a2b,1/2xy2的系数和次数分别是多少？
三、例题
[投影4～5]例1用单项式填空，并指出它们的系数和次数。
（1）每包书有12册，n包书有〔〕册；
（2）底边长为a，高为h的三角形的面积是〔〕；
（3）个长方体的长和宽都是a，高是h，它的体积是〔〕；
（4）一台电视机原价a元，现按原价的9折出售，这台电视机现在的售价为〔〕元；
（5）一个长方形的长为0.9，宽是a，这个长形的面积是〔〕。
解：
（1）12n,它的系数是12，次数是1；
（2）1/2ah,它的系数是1/2，次数是2；
（3）a2h,它的系数是1，次数是3；
（4）0.9a它的系数是0.9，次数是1；
（5）0.9a它的系数是0.9，次数是1.
注意：
①用字母表示数后，同一个式子可以表示不同的含义；②单个字母的系数是1，次数也是1，通常省略不写。
你能赋予0.9a一个含义吗？
例2若-3axym是关于x、y的单项式，且系数为-6，次数为3，则a=________,m=________.
点拨：
“关于x、y的单项式”说明只有x、y才是单项式中的字母，a只是系数的一部分，所以-3a是系数，也就是-6,即-3a=-6,解得：
a=2.而单项式的次数是x、y的指数和：
（1+m），也就是3.因此1+m=3得m=2.
解：
a=2,m=2
四、课堂练习
课本56面1、2题。
五、课堂小结
1、单项式的定义；
2、单项式的系数和次数；
3、注意的问题：
（1）单个数的次数为0；单个字母的次数和指数都是1，通常省略不写；
（2）一个单项式可以表示不同的含义。
作业：
59面第1题，60面第2题
2.1整式第二课时多项式
[教学目标]1、理解多项式、整式的概念，会确定一个多项式的项数和次数；2、通过实例列整式，解决一些简单的实际问题。
[重点难点]多项式以及有关概念是重点；确定多项式的项和次数是难点。
[教学过程]
一、复习提问
[投影1]看下面的式子：
5、－3ab2c/7、a2－4b2、m，其中哪些是单项式？
是单项式的指出它的系数和次数。
a2－4b2不是单项式，是什么式子呢？
二、多项式及有关概念
看下面的问题,请填空：
[投影1～2]
（1）一个数比数x的2倍小3，则这个数为；
（2）买一个篮球需要x元，买一个排球需要y元，买一个足球需要z元，买3个篮球、5个排球、2个足球共需元；
（3）如图1所示，三角尺的‘面积；
（4）如图2所示，是一所住宅的建筑平面图，这所住宅的建筑面积是
平方米。
（1）2x-3;
（2）3x+5y+2z;（3）1/2ab-r2;（4）x2+2x+18.
这些式子是不是单项式？
它们有什么共同的特点？
不是单项式；它们都是几个单项式的和。
几个单项式的和叫做多项式，其中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。
如2x-3的项是2x和-3，其中-3是常数项。
多项式里次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。
如2x-3的次数是1，x2+2x+18的次数是2。
说明：
多项式的各项应包括它前面的符号，比如2x-3中的常数项是-3，不是3.多项式没有系数概念，但其每一项均有系数，且每一项的系数应包括自己的符号。
多项式的次数与单项式的次数概念不同，但又有联系，首先求出此多项式各项（单项式）的次数，次数最高的就是这个多项式的次数。
单项式和多项式统称为整式。
例如100t,vt,-n,2x-3,3x+5y+2z等都是整式。
三、例题
[投影3]例1用多项式填空，并指出它们的项和次数。
（1）温度由t℃下降5℃后是；
（2）甲数x的1/3与乙数y的1/2的差可以表示为；
（3）如图1，圆环的面积为；
（4）如图2，钢管的体积是.
解：
（1）t-5,它的项是t、-5，次数是1;
（2）x-y,它的项是x、-y，次数是1
（3）πR2-πr2,它的项是πR2、-πr2，次数是2。
（4）πR2a-πr2a,它的项是πR2a、-πr2a，次数是3。
[投影4]例2一条河流水流速度为2.5千米/时，如果已知船在静水中的速度，那么船在这条河流中顺水行驶和逆水行驶的速度分别怎样表示？
如果甲、乙两条船在静水中的速度分别是20千米/时和35千米/时，则它们在这条河流中的顺水行驶和逆水行驶的速度各是多少？
分析：
船在顺水中的速度是什么？
船在逆水中的速度是什么？
顺水中的速度=静水中的速度+水流的速度；
逆水中的速度=静水中的速度-水流的速度。
解：
设船在静水中的速度为v千米/时，则
顺水行驶的速度为（v+2.5）千米/时；
逆水行驶的速度为（v-2.5）千米/时。
甲船：
顺水行驶的速度为v+2.5=20+2.5=22.5，
逆水行驶的速度为v-2.5=20-2.5=17.5；
乙船：
顺水行驶的速度为v+2.5=35+2.5=37.5，
逆水行驶的速度为v-2.5=35-2.5=32.5。
解后反思：
用整式表示实际问题中的数量关系，然后再将整式中的字母所表示的不同数代入计算，从而可求出相应的值，它比具体的数表达的式子更具有一般性，这给实际问题的解决带来方便。
四、课堂练习
课本59面1、2题。
五、课堂收获
1、多项式的概念；
2、多项式的项和次数。
作业：
必做题：
课本60面3、4、5、6、7；选做题：
课本61面8、10题。
2．2．1整式的加减
（1）
[教学目标]1、了解同类项、合并同类项的概念；2、经历类比有理数的运算律，探究合并同类项法则的过程；2、掌握合并同类项法则，能正确合并同类项。
[重点难点]掌握合并同类项法则，熟练地合并同类项是重点；同类项的概念及识别是难点。
[教学过程]
一、情景导入
我们来看本章引言中的问题
（2）：
〔投影1〕在西宁到拉萨路段，如果列车通过冻土地段的时间是t小时，那么它通过非冻土地段所需要时间是2.1t小时，则这段铁路的全长是
120×1.2t+100t即252t+100t.
你能类比数的运算，化简这个式子吗？
二、同类项的概念
化简得：
252t+100t＝（252+100）t＝352t.
〔投影2〕填空：
（1）100t－252t＝t；
（2）3x2+2x2=x2;
（3）3ab2-4ab2=ab2.
答：
（1）－152t；
（2）5x2；（3）－ab2.
上述多项式的各项有什么特点？
每项所含字母相同，相同字母的指数相同。
像100t与252t，3x2与2x2，3ab2与4ab2这样，所含字母相同，相同字母的指数相同的项叫做同类项。
从形式上看这些项：
“两有关”：
①与所含字母有关（有相同的字母）；
②与相同字母的指数有关（相同字母指数相同）；
“两无关”：
①与单项式的系数无关；②与字母的顺序无关。
注意：
几个常数也是同类项，如－5与3。
〔投影3〕想一想：
下列各组式子是不是同类项，为什么？
（1）0.5x2y与0.2xy2;
（2）4abc与4ab;（3）-5m2n3与2n3m2.
三、合并同类项
因为多项式中的字母表示的是数，我们把字母部分看作一个整体，就相当于一个数，所以我们可以利用有理数的运算律把多项式中的同类项进行合并。
例如：
4x2+2x+7+3x-8x2-2（分别利用交换律、结合律、分配律把多项式中的同类项进行合并。
得到的最后结果可以按字母的升幂排列也可以按字母的降幂排列。
把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。
那么怎样把同类项合并呢？
观察填空
（1）～（3），它们的运算有什么共同特点？
它们都是把系数相加，字母和字母的指数不变。
合并同类项法则：
合并同类项就是把系数相加，字母和字母的指数不变。
注意：
多项式中只有同类项才能合并，不是同类项不能合并。
四、例题
〔投影4〕例1合并下列各式的同类项：
（1）xy2-1/5xy2;
（2）-3x2y+2x2y+3xy2-2xy2;
（3）4a2+3b2+2ab-4a2-4b2;
分析：
①指出多项式中的同类项；②合并同类项的结果是什么？
解：
（1）xy2-1/5xy2＝（1－1/5）xy2；
（2）-3x2y+2x2y+3xy2-2xy2
＝（－3＋2）x2y＋（3－2）xy2
＝－x2y＋xy2；
（3）4a2+3b2+2ab-4a2-4b2
＝（4-4）a2+（3-4）b2+2ab
＝-b2+2ab.
〔投影5〕例2
（1）水库中水位第一天连续下降了a小时，每小时平均下降2㎝；第二天连续上升了a小时，每小时平均上升0.5㎝，这两天水位总的变化情况如何？
（2）某商店原有5袋大米，每袋大米为x千克.上午卖出3袋，下午又购进同样包装的大米4袋，进货后这个商店有大米多少千克？
分析：
（1）把下降的水位变化量记为负，上升的水位变化量记为正。
那么第一天的水位变化是什么？
第二天的水位变化量是什么？
（2）把进货的数量记为正，售出的数量记为负。
那么上午卖出多少千克？
下午购进多少千克？
解：
（1）把下降的水位变化量记为负，上升的水位变化量记为正，则两天水位变化的总量为：
－2a+0.5a=（-2+0.5）a=-1.5a（㎝）.
（2）把进货的数量记为正，售出的数量记为负,则
进货后这个商店共有大米：
5x-3x+4x=（5-3+4）x=6x（千克）.
五、课堂练习
课本66面1、2、3题。
六、课堂小结
1、什么是同类项？
字母相同，次数也相同的项是同类项吗？
举例说明.
2、什么叫合并同类项？
怎样合并同类项？
合并同类项的依据是什么？
对于求多项式的值，不要急于代入，应先观察多项式，看其中有没有同类项，若有，要先合并同类项使之变得简单，而后代入求值。
作业：
课本71面1、7；72面10题。
第二章第一阶段复习2.1-2.2
（1）
一、双基回顾
1、整式
（1）单项式
只含有的式子叫做单项式；单项式中叫做单项式的系数；单项式中叫做单项式的次数。
[1]指出下列单项式的系数和次数：
-a/3,5axb2,m,.
（2）多项式
几个叫做多项式；多项式中都是多项式的一项；多项式中是多项式的次数。
〔注意〕①数与字母或字母与字母相乘，不用“×”而用“•”或者省略不写；②数与字母相乘，一般数写在字母的前面。
和统称为整式。
2、同类项与合并同类项
（1）所含相同，并且相同相同的项叫做同类项。
（2）把多项式的叫做合并同类项；合并同类项时，只需把相加，所得结果，不变。
[3]指出多项式2xy2-x2y-3xy2+5x2y中的同类项，并把同类项合并。
二、例题导引
例1下列代数式：
a2b,-1,1/x-1,1/3（x-y），m2-n,
中单项式有，多项式有，不是整式的有.
例2多项式7xm+kx2-（3n+1）x+5是关于x的三次三项式,并且一次项系数为-7,求m+n-k的值.
例3已知,-4xm-2y3与x2y7-2n是同类项,求m-3n的值.
例4
（1）当x=1/4时,求多项式2x2—5x+x2+4x-3x2-2的值.
〔注意〕格式要正确.
（2）化简：
2（x-y）－4（x-y）+（x-y）－3（x-y）.
三、练习提高
夯实基础
1、学校有学生a人，男生占70％，则男生有人，女生有人.
2、比m2的2倍少6的数是.
3、某农户有水稻田m亩，计划每亩施化肥a千克；有玉米亩n亩，计划每亩田施化肥b千克，该农户共应购回化肥千克。
4、下列整式x+y,-1,-1/2x2+1,2-x3,1/3ab2,n中单项式是；多项式是.
5、－xy2z3的系数及次数分别是〔〕
A、系数为0，次数为5B、系数为1，次数为6
C、系数为－1，次数为5D、系数为－1，次数为6
6、多项式2x2-3xy3+25是次项式，常数项是.
7、下列各式不是同类项的是〔〕
A、-a2b与1/2a2bB、1/2x与－3x
C、-1/3a2b与1/5ab2D、1/4xy与－yx
8、下列说法正确的是〔〕
A、（x-y）/2是单项式B、3x2y3z的次数是5
C、单项式ab2的系数是0D、x4-1是四次二项式
9、下列合并同类项正确的是〔〕
A、3x2-x2=3;B、3a2-2a2=a2C、3a2+5a2=5a4D、3x2+5x3=8x5
10、当a=－3/2，多项式2a+a2=.
11、下面是一列单项式：
x,2x2,4x3,8x4,….观察它们的系数和指数的特点，则第七个单项式是，第n个单项式是.
12、当x=1/2,y=-1时，求多项式xy2+8x2-2的值。
13、多项式（a-4）x3-xb+x-b是关于x的二次三项式，求a与b的差的相反数。
14、计算：
（1）－7mn+mn+5mn;
（2）5/6x2-1/2x2-1/3x2;
（3）-2x2-3-5x+4x2+2x;（4）2a2-3ab+b2-a2+ab-2b2.
能力提高
15、化简x-y-x-y的最后结果是〔〕
A、0B、2xC、-2yD、2x-2y
16、请你写一个含字母x、y且次数是4，系数为负的单项式：
.
17、一个两位数，个位数是a，十位数比个位数大1，则
这个两位数是〔〕
A、a（a+1）B、（a+1）+aC、10（a+1）aD、10（a+1）+a
18、若-3x2my3与2x4yn是同类项，则︱m-n︱的值是〔〕
A、20B、1C、7D、－1
19、多项式3x︱m︱y2+（m+2）x2y-1是四次三项式,则m的值为〔〕
A、2B、－2C、±2D、±1
20、摆棋子：
上面是用棋子摆成的“H”。
（1）摆成第一个H需要个棋子，第二个H需要棋子个；
（2）按这样的规律摆下去，摆成第10个H需要个棋子，第n个需要个棋子。
21、观察小芳对下列整式的运算，看有哪处错误？
你觉得怎样算，才合理，请写出正确的计算过程。
-2/3a2b+2ba2+3a2b3-4a2b=（-2/3+2）+（3-4）a2-2b3-1=4/3-b2.
22、化简：
（1）4a2+3b2+2ab-4a2-3b2;
（2）7ab-3a2b2+7+8ab2+3a2b2-3-7ab.
23、已知x=-1/2,y=3,求-1/2x2y+xy-1/5xy-1/3x2y的值。
探索创新
24、给出下列算式：
32－12＝8×1，
52－32＝8×2，
72－52＝8×3，
92－72＝8×4，
…
观察上面这一系列式子，你能发现什么规律？
并用含字母n的等式将这个规律表示出来。
2.2.2整式的加减
（2）
〔教学目标〕1、理解去括号就是运用乘法分配律的结果；2、能运用乘法分配律去括号和合并同类项化简整式。
[重点难点]运用乘法分配律去括号和合并同类项化简整式是重点；括号前面是负号时去括号是难点。
[教学过程]
一、问题导入
利用合并同类项可以把一个多项式化简，而实际问题中，列出的式子往往含有括号。
如本章引言中的问题（3）。
[投影1]在格尔木到拉萨路段，如果列车通过冻土地段需要t小时，那么它通过非冻土地段的时间就是（t-0.5）小时，于是，冻土地段的路程为100t千米，非冻土地段的路程为120（t-0.5）千米，因此，这段铁路的全长为
100t+120（t-0.5）（千米）①
冻土地段与非冻土地段相差
100t－120（t-0.5）（千米）②
象①、②这样的式子怎样化简呢？
二、去括号
化简上面的式子，关键是把括号去掉。
类比数的运算，怎样才能去掉括号呢？
运用乘法分配律：
100t+120（t－0.5）＝100t+120t－60；
100t－120（t－0.5）＝100t－120t＋60.
这样我们就可以进一步化简了。
特别地，＋（x－3）与—（x－3）可以看作1与－1分别乘以（x－3），所以
＋（x－3）＝x－3；—（x－3＝－x＋3.
思考：
去括号后，括号内各项的符号有什么变化？
原有的项数有什么变化？
去括号后，如果括号外面的因数是正数，括号内各项的符号没有变化；如果括号外面的因数是负数，括号内各项的符号都改变.
括号内的项数不变。
去括号法则本质上是乘法分配律的应用，因而直接用乘法分配律去括号是回归到本质。
用乘法分配律去括号时没有中间转化的环节，可直达结果，从而减少了出现错误的机会，提高运算的正确率。
例如：
数与多项式相乘，利用乘法分配律，把数与各项系数相乘（这里是数与数相乘，当然可以利用有理数乘法法则进行），各项的字母部分不变。
三、例题
[投影2]例1化简下列各式：
（1）8a+2b+（5a-b）;
（2）（5a-3b）-3（a2-2b）；
（3）2x2-5x+x2+4x-3x2-2.
解：
（1）8a+2b+（5a-b）＝8a+2b+5a-b＝13a＋b；
（2）（5a-3b）-3（a2-2b）＝5a-3b－3a2+6b＝－3a2＋5a＋3b.
（3）2x2-5x+x2+4x-3x2-2
＝（2＋1－3）x2＋（－5＋4）x－2
＝－x－2.
[投影3]例2两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，两船在静水中的速度都是50千米/时，水流速度是a千米/时.
（1）2小时后两船相距多远？
（2）2小时后甲船比乙船多航行多少千米？
分析：
甲顺水的行程是多少？
乙逆水的行程是多少？
解：
（1）2小时后两船相距
2（50＋a）+2（50-a）=100+2a+100-2a=200（千米）
（2）2小时后甲船比乙船多航行
2（50＋a）－2（50-a）=100+2a－100＋2a＝4a（千米）
四、课堂练习
课本68面1、2题。
五、课堂小结
1、怎样去括号？
2、去括号要注意的问题：
①去括号后，括号内各项符号一变都变，一不变都不变；②去括号后，括号内原来的项数不变。
作业：
课本71面2、3、5、8题.
2.2.2整式的加减（3）
〔教学目标〕会进行整式的加减运算，能利用整式的运算解决一些实际问题。
[重点难点]整式的加减运算及在实际问题中的应用是重点;整式的加减在实际问题中的应用是难点。
[教学过程]
一、复习提问
1、多项式中什么项可以合并？
怎样合并同类项？
2、怎样去括号？
合并同类项、去括号是进行整式加减运算的基础。
二、例题
[投影1]例1计算：
（1）2x-3y与5x+4y的和；
（2）8a-7b与4a-5b的差.
分析：
2x-3y与5x+4y的和怎样列式？
8a-7b与4a-5b的差怎样列式？
解：
（1）（2x-3y）+（5x+4y）
=2x-3y+5x+4y
=7x＋y；
（2）（8a-7b）－（4a-5b）
=8a-7b－4a+5b）.
[投影2]例2求1/2x-2（x-1/3y2）+（-3/2x+1/3y2）的值，其中x=-2,y=2/3.
分析:
求多项式的值,先化简,可使计算简便.
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