届高考数学总复习 第一章 集合与常用逻辑用语 第2讲 命题及其关系充分条件与必要条件.docx

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届高考数学总复习第一章集合与常用逻辑用语第2讲命题及其关系充分条件与必要条件

第2讲　命题及其关系、充分条件与必要条件

最新考纲　1.理解命题的概念；2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；3.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义．

知识梳理

1．四种命题及其关系

（1）四种命题间的相互关系

（2）四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性．

②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系．

2．充分条件、必要条件与充要条件的概念

若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件

p是q的充分不必要条件

p⇒q且q

p

p是q的必要不充分条件

p

q且q⇒p

p是q的充要条件

p⇔q

p是q的既不充分也不必要条件

p

q且q

p

诊断自测

1．判断正误（在括号内打“√”或“×”）　

精彩PPT展示

（1）“x2＋2x－8＜0”是命题．（×）

（2）一个命题非真即假．（√）

（3）命题“三角形的内角和是180°”的否命题是“三角形的内角和不是180°”．（×）

（4）“a＝2”是“（a－1）（a－2）＝0”的必要不充分条件．（×）

（5）给定两个命题p，q.若p是q的充分不必要条件，则¬p是¬q的必要不充分条件．（√）

2．命题“若α＝

，则tanα＝1”的逆否命题是（　　）

A．若α≠

，则tanα≠1B．若α＝

，则tanα≠1

C．若tanα≠1，则α≠

D．若tanα≠1，则α＝

解析　命题的条件是p：

α＝

，结论是q：

tanα＝1.由命题的四种形式，可知命题“若p，则q”的逆否命题是“若¬q，则¬p”，显然¬q：

tanα≠1，¬p：

α≠

，所以该命题的逆否命题是“若tanα≠1，则α≠

”．

答案　C

3．（2013·福建卷）已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的（　　）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

解析　a＝3时，A＝{1,3}，显然A⊆B.

但A⊆B时，a＝2或3.所以A正确．

答案　A

4．（2014·浙江卷）设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

解析　因为菱形的对角线互相垂直，所以“四边形ABCD为菱形”⇒“AC⊥BD”，所以“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分条件；又因为对角线垂直的四边形不一定是菱形，所以“AC⊥BD”

“四边形ABCD为菱形”，所以“四边形ABCD为菱形”不是“AC⊥BD”的必要条件．

综上，“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．

答案　A

5．（人教A选修1－1P10练习4改编）下列命题：

①x＝2是x2－4x＋4＝0的必要不充分条件；

②圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的充分必要条件；

③sinα＝sinβ是α＝β的充要条件；

④ab≠0是a≠0的充分不必要条件．

其中为真命题的是__________（填序号）．

答案　②④

考点一　四种命题及其相互关系

【例1】（2014·陕西卷）原命题为“若

＜an，n∈N＋，则{an}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（　　）

A．真，真，真B．假，假，真

C．真，真，假D．假，假，假

解析　从原命题的真假入手，由于

＜an⇔an＋1＜an⇔{an}为递减数列，即原命题和逆命题均为真命题，又原命题与其逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，则其逆命题、否命题和逆否命题均为真命题．

答案　A

规律方法　

（1）熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键．

（2）根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．（3）判断一个命题为假命题可举反例．

【训练1】已知：

命题“若函数f（x）＝ex－mx在（0，＋∞）上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是（　　）

A．否命题是“若函数f（x）＝ex－mx在（0，＋∞）上是减函数，则m＞1”，是真命题

B．逆命题是“若m≤1，则函数f（x）＝ex－mx在（0，＋∞）上是增函数”，是假命题

C．逆否命题是“若m＞1，则函数f（x）＝ex－mx在（0，＋∞）上是减函数”，是真命题

D．逆否命题是“若m＞1，则函数f（x）＝ex－mx在（0，＋∞）上不是增函数”，是真命题

解析　由f（x）＝ex－mx在（0，＋∞）上是增函数，则f′（x）＝ex－m≥0恒成立，∴m≤1.∴命题“若函数f（x）＝ex－mx在（0，＋∞）上是增函数，则m≤1”是真命题，所以其逆否命题“若m＞1，则函数f（x）＝ex－mx在（0，＋∞）上不是增函数”是真命题．

答案　D

考点二　充分、必要条件的判定与探求

【例2】

（1）（2014·新课标全国Ⅱ卷）函数f（x）在x＝x0处导数存在．若p：

f′（x0）＝0；q：

x＝x0是f（x）的极值点，则（　　）

A．p是q的充分必要条件

B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件

C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件

D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

（2）ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是（　　）

A．0＜a≤1B．a＜1

C．a≤1D．0＜a≤1或a＜0

解析　

（1）设f（x）＝x3，f′（0）＝0，但是f（x）是单调增函数，在x＝0处不存在极值，故“若p，则q”是一个假命题，由极值点的定义可得“若q，则p”是一个真命题．

（2）法一　当a＝0时，原方程为一元一次方程2x＋1＝0，有一个负实根．

当a≠0时，原方程为一元二次方程，有实根的充要条件是Δ＝4－4a≥0，即a≤1.

设此时方程的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－

，x1x2＝

，

当只有一个负实根时，

⇒a＜0；

当有两个负实根时，

综上所述，a≤1.

法二　（排除法）当a＝0时，原方程有一个负实根，可以排除A，D；

当a＝1时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B.

答案　

（1）C　

（2）C

规律方法　判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：

一是由条件p能否推得条件q；二是由条件q能否推得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．

【训练2】

（1）（2014·北京卷）设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的（　　）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

（2）已知向量a＝（x－1,2），b＝（2,1），则a⊥b的充要条件是（　　）

A．x＝－

B．x＝－1

C．x＝5D．x＝0

解析　

（1）令a＝1，b＝－2，显然a＞b，但a2＜b2；

∴“a＞b”不是“a2＞b2”的充分条件．

令a＝－2，b＝1，显然a2＞b2，但a＜b，

∴“a＞b”不是“a2＞b2”的必要条件．

∴“a＞b”是“a2＞b2”的既不充分也不必要条件．

（2）∵a＝（x－1,2），b＝（2,1），

∴a·b＝2（x－1）＋2×1＝2x.

又a⊥b⇔a·b＝0，

∴2x＝0，∴x＝0.

答案　

（1）D　

（2）D

考点三　根据充分、必要条件求参数的范围

【例3】已知命题p：

x2＋2x－3＞0；命题q：

x＞a，且¬q的一个充分不必要条件是¬p，则a的取值范围是（　　）

A．[1，＋∞）B．（－∞，1]

C．[－1，＋∞）D．（－∞，－3]

解析　由x2＋2x－3＞0，得x＜－3或x＞1，由¬q的一个充分不必要条件是¬p，可知¬p是¬q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件．故a≥1.

答案　A

规律方法　解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（组）求解，在求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．

【训练3】若xm＋1是x2－2x－3>0的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________．

解析　由已知易得{x|x2－2x－3>0}{x|xm＋1}，又{x|x2－2x－3>0}＝{x|x<－1或x>3}，

∴

或

∴0≤m≤2.

答案　[0,2]

[思想方法]

1．写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题及其逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定．

2．命题的充要关系的判断方法

（1）定义法：

直接判断若p则q、若q则p的真假．

（2）等价法：

利用A⇒B与¬B⇒¬A，B⇒A与¬A⇒¬B，A⇔B与¬B⇔¬A的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．

（3）利用集合间的包含关系判断：

若A⊆B，则“x∈A”是“x∈B”的充分条件或“x∈B”是“x∈A”的必要条件；若A＝B，则“x∈A”是“x∈B”的充要条件．

[易错防范]

对于命题正误的判断是高考的热点之一，理应引起大家的关注，命题正误的判断可涉及各章节的内容，覆盖面宽，也是学生的易失分点．命题正误的判断的原则是正确的命题要有依据或者给以论证；不一定正确的命题要举出反例，绝对不要主观臆断，这也是最基本的数学逻辑思维方式.

基础巩固题组

（建议用时：

30分钟）

一、选择题

1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（　　）

A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”

B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”

C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”

D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”

解析　依题意，得原命题的逆命题：

若一个数的平方是正数，则它是负数．

答案　B

2．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是（　　）

A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜3

B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2＜3

C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3

D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3

解析　同时否定原命题的条件和结论，所得命题就是它的否命题．

答案　A

3．命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是（　　）

A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数

B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数

C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数

D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数

解析　由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”，故选C.

答案　C

4．（2015·郑州检测）已知直线l，m，其中只有m在平面α内，则“l∥α”是“l∥m”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

解析　当l∥α时，直线l与平面α内的直线m平行、异面都有可能，所以l∥m不成立；当l∥m时，根据直线与平面平行的判定定理知直线l∥α，即“l∥α”是“l∥m”的必要不充分条件，故选B.

答案　B

5．（2014·云南统一检测）“lgx＞lgy”是“

＞

”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

解析　若lgx＞lgy，则x＞y＞0，有

＞

，所以充分性成立；反之，当x＞0，y＝0时，有

＞

，但没有lgx＞lgy，所以必要性不成立，所以“lgx＞lgy”是“

＞

”的充分不必要条件，故选A.

答案　A

6．（2014·成都二诊）下列说法正确的是（　　）

A．命题“若x2＞1，则x＞1”的否命题为“若x2＞1，则x≤1”

B．命题“∃x0∈R，x

＞1”的否定是“∀x∈R，x2＞1”

C．命题“若x＝y，则cosx＝cosy”的逆否命题为假命题

D．命题“若x＝y，则cosx＝cosy”的逆命题为假命题

解析　A项中否命题为“若x2≤1，则x≤1”，所以A错误；B项中否定为“∀x∈R，x2≤1”，所以B错误；因为逆否命题与原命题同真假，所以C错误；易知D正确，故选D.

答案　D

7．（2014·广东卷）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sinA≤sinB”的（　　）

A．充分必要条件B．充分非必要条件

C．必要非充分条件D．非充分非必要条件

解析　结合正弦定理可知，a≤b⇔2RsinA≤2RsinB⇔sinA≤sinB（R为△ABC外接圆的半径）．故选A.

答案　A

8．（2014·东北三省四市联考）下列命题中真命题是（　　）

A．“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件

B．“a＞b”是“a2＞b2”的必要条件

C．“a＞b”是“ac2＞bc2”的必要条件

D．“a＞b”是“|a|＞|b|”的充要条件

解析　由a＞b不能得知ac2＞bc2，当c2＝0时，ac2＝bc2；反过来，由ac2＞bc2可得a＞b.因此，“a＞b”是“ac2＞bc2”的必要不充分条件，故选C.

答案　C

二、填空题

9．命题“若x2＞y2，则x＞y”的逆否命题是________．

答案　“若x≤y，则x2≤y2”

10．“m<

”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的________条件（填“充分不必要、必要不充分、充要”）．

解析　x2＋x＋m＝0有实数解等价于Δ＝1－4m≥0，即m≤

.

答案　充分不必要

11．函数f（x）＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________．

解析　已知函数f（x）＝x2－2x＋1的图象关于直线x＝1对称，则m＝－2；反之也成立．所以函数f（x）＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2.

答案　m＝－2

12．下列命题：

①“全等三角形的面积相等”的逆命题；

②“若ab＝0，则a＝0”的否命题；

③“正三角形的三个角均为60°”的逆否命题．

其中真命题的序号是________．

解析　①“全等三角形的面积相等”的逆命题为“面积相等的三角形全等”，显然该命题为假命题；②“若ab＝0，则a＝0”的否命题为“若ab≠0，则a≠0”，而由ab≠0，可得a，b都不为零，故a≠0，所以该命题是真命题；③因为原命题“正三角形的三个角均为60°”是一个真命题，故其逆否命题也是一个真命题．

答案　②③

能力提升题组

（建议用时：

15分钟）

13．（2014·天津十二区县重点中学联考）设x，y∈R，则“x2＋y2≥9”是“x＞3且y≥3”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

解析　当x＝－4时满足x2＋y2≥9，但不满足x＞3，所以充分性不成立；反之，当x＞3且y≥3时，一定有x2＋y2≥9，所以必要性成立，即“x2＋y2≥9”是“x＞3且y≥3”的必要不充分条件，故选B.

答案　B

14．（2014·临沂模拟）已知p：

x≥k，q：

（x＋1）（2－x）＜0，如果p是q的充分不必要条件，则k的取值范围是（　　）

A．[2，＋∞）B．（2，＋∞）

C．[1，＋∞）D．（－∞，－1]

解析　由q：

（x＋1）（2－x）＜0，得x＜－1或x＞2，又p是q的充分不必要条件，所以k＞2，即实数k的取值范围是（2，＋∞），故选B.

答案　B

15．（2014·湖南高考诊断）下列选项中，p是q的必要不充分条件的是（　　）

A．p：

x＝1，q：

x2＝x

B．p：

|a|＞|b|，q：

a2＞b2

C．p：

x＞a2＋b2，q：

x＞2ab

D．p：

a＋c＞b＋d，q：

a＞b且c＞d

解析　A中，x＝1⇒x2＝x，x2＝x⇒x＝0或x＝1

x＝1，故p是q的充分不必要条件；B中，因为|a|＞|b|，根据不等式的性质可得a2＞b2，反之也成立，故p是q的充要条件；C中，因为a2＋b2≥2ab，由x＞a2＋b2，得x＞2ab，反之不成立，故p是q的充分不必要条件；D中，取a＝－1，b＝1，c＝0，d＝－3，满足a＋c＞b＋d，但是a＜b，c＞d，反之，由同向不等式可加性得a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d，故p是q的必要不充分条件．综上所述，故选D.

答案　D

16．设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.

解析　已知方程有根，由判别式Δ＝16－4n≥0，解得n≤4，又n∈N*，逐个分析，当n＝1,2时，方程没有整数根；而当n＝3时，方程有整数根1,3；当n＝4时，方程有整数根2.

答案　3或4

17．已知集合A＝

，B＝{x|－1＜x＜m＋1，x∈R}，若x∈B成立的一个充分不必要的条件是x∈A，则实数m的取值范围是________．

解析　A＝

＝{x|－1＜x＜3}，

∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，

∴AB，∴m＋1＞3，即m＞2.

答案　（2，＋∞）