届高三数学一轮复习导学案教师讲义 第2讲 命题及其关系充分条件与必要条件Word文档格式.docx
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0”的（ ）
A．充要条件B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件
选B．因为x2－2x－3>
0，所以该不等式的解集为{x|x<
－1或x>
3}，
所以x>
4⇒x2－2x－3>
0.
但x2－2x－3>
x>
4，
所以“x>
0”的充分而不必要条件．
（教材习题改编）命题：
若m>
0，则方程x2＋x－m＝0有实数根的逆否命题是________．
若方程x2＋x－m＝0无实数根，则m≤0
（教材习题改编）命题p：
x2＝3x＋4，命题q：
x＝
，则p是q的________条件．
当x2＝3x＋4时，x＝－1或4，当x＝－1时，x＝
不成立，即p/⇒q.
当x＝
时，x≥0，3x＋4≥0，则x2＝3x＋4，即q⇒p，
所以p是q的必要不充分条件．
必要不充分
四种命题的相互关系及真假判断
[典例引领]
（1）命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是 （ ）
A．若a2＋b2≠0，则a≠0且b≠0
B．若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0
C．若a＝0且b＝0，则a2＋b2≠0
D．若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0
（2）有下列四个命题：
①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；
②“面积相等的三角形全等”的否命题；
③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；
④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．
其中真命题为________（填写所有真命题的序号）．
【解析】
（1）“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”，故选D.
（2）①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，显然是真命题，故①正确；
②“面积相等的三角形全等”的否命题是“面积不相等的三角形不全等”，显然是真命题，故②正确；
③若x2－2x＋m＝0有实数解，则Δ＝4－4m≥0，解得m≤1，所以“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”是真命题，故其逆否命题是真命题，故③正确；
④若A∩B＝B，则B⊆A，故原命题错误，所以其逆否命题错误，故④错误．
【答案】
（1）D
（2）①②③
（1）写一个命题的其他三种命题时需关注2点
①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写．
②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．
[注意] 四种命题的关系具有相对性，一旦一个命题定为原命题，相应的也就有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”．
（2）判断命题真假的2种方法
①直接判断：
判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；
说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
②间接判断：
当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．
[通关练习]
1．已知命题p：
若a＜1，则a2＜1，下列说法正确的是（ ）
A．命题p是真命题
B．命题p的逆命题是真命题
C．命题p的否命题是若a＜1，则a2≥1
D．命题p的逆否命题是若a2≥1，则a＜1
选B．已知命题p：
若a＜1，则a2＜1，如a＝－2，则（－2）2＞1，命题p为假命题，所以A不正确；
命题p的逆命题是若a2＜1，则a＜1，为真命题，所以B正确；
命题p的否命题是若a≥1，则a2≥1，所以C不正确；
命题p的逆否命题是若a2≥1，则a≥1，所以D不正确．故选B．
2．下列命题：
①“若a≤b，则a＜b”的否命题；
②“若a＝1，则ax2－x＋3≥0的解集为R”的逆否命题；
③“周长相同的圆面积相等”的逆命题；
④“若
x为有理数，则x为无理数”的逆否命题．
其中真命题的序号为（ ）
A．②④ B．①②③
C．②③④D．①③④
选B．对于①，逆命题为真，故否命题为真；
对于②，原命题为真，故逆否命题为真；
对于③，“面积相等的圆周长相同”为真；
对于④，“若
x为有理数，则x为0或无理数”，故原命题为假，逆否命题为假．故选B．
充分条件、必要条件的判断
（1）（2017·
高考北京卷）设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·
n<
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
（2）（2017·
高考天津卷）设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】
（1）由存在负数λ，使得m＝λn，可得m、n共线且反向，夹角为180°
，则m·
n＝－|m||n|＜0，故充分性成立．由m·
n＜0，可得m，n的夹角为钝角或180°
，故必要性不成立．故选A．
（2）由2－x≥0，得x≤2；
由|x－1|≤1，得－1≤x－1≤1，即0≤x≤2，因为[0，2]（－∞，2]，所以“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不充分条件，故选B．
【答案】
（1）A
（2）B
（1）判断充要条件的3种常用方法
①定义法：
直接判断若p则q、若q则p的真假．
②等价法：
利用A⇒B与﹁B⇒﹁A，B⇒A与﹁A⇒﹁B，A⇔B与﹁B⇔﹁A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
③利用集合间的包含关系判断：
若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；
若A＝B，则A是B的充要条件．
（2）判断充要条件需注意3点
①要分清条件与结论分别是什么；
②要从充分性、必要性两个方面进行判断；
③直接判断比较困难时，可举出反例说明．
1．设p：
实数x，y满足x＞1且y＞1，q：
实数x，y满足x＋y＞2，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
选A．当x＞1，y＞1时，x＋y＞2一定成立，即p⇒q，当x＋y＞2时，可以x＝－1，y＝4，即q
p，故p是q的充分不必要条件．
2．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“a⊥b”是“α⊥β”的（ ）
选B．先证“α⊥β⇒a⊥b”，因为α⊥β，α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，所以b⊥α，又a⊂α，所以b⊥a；
再举反例证明“a⊥b
α⊥β”，当a∥m时，由b⊥m，知a⊥b，此时二面角αmβ可以为（0，π]上的任意角，即α不一定垂直于β.故选B．
3．下列命题中真命题的个数是（ ）
①“x＝2”是“x2－4x＋4＝0”的充要条件；
②“α＝β”是“sinα＝sinβ”的充分条件；
③“a>
b”既不是“a2>
b2”的充分条件也不是必要条件．
A．0B．1
C．2D．3
选D.①真，②真，③真．故选D.
充分条件、必要条件的应用
已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．
【解】 由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
所以P＝{x|－2≤x≤10}，
由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.
则
所以0≤m≤3.
所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，
即所求m的取值范围是[0，3]．
1.若本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．
解：
若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，
所以
即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．
2.本例条件不变，若x∈﹁P是x∈﹁S的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
由例题知P＝{x|－2≤x≤10}，
因为x∈﹁P是x∈﹁S的必要不充分条件，
所以P⇒S且S
P.
所以[－2，10][1－m，1＋m]．
或
所以m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞）．
利用充要条件求参数应关注2点
（1）巧用转化求参数：
把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（或不等式组）求解．
（2）端点取值慎取舍：
在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍．
[注意] 含有参数的问题，要注意分类讨论．
若“x2－x－6>
0”是“x>
a”的必要不充分条件，则a的最小值为________．
由x2－x－6>
0，解得x<
－2或x>
3.
因为“x2－x－6>
a”的必要不充分条件，
所以{x|x>
a}是{x|x<
3}的真子集，
即a≥3，故a的最小值为3.
3
四种命题的书写及相互关系
（1）由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．
（2）四种命题中的等价关系：
原命题与逆否命题是等价命题，它们具有相同的真假性；
否命题与逆命题也是等价命题，它们也具有相同的真假性．
充分条件、必要条件与集合的关系
p成立的对象构成的集合为A，q成立的对象构成的集合为B
p是q的充分条件
A⊆B
p是q的必要条件
B⊆A
AB
BA
A＝B
注意3个易错点
（1）当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提．
（2）否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．
（3）注意区别A是B的充分不必要条件（A⇒B且B
A），与A的充分不必要条件是B（B⇒A且A
B）两者的不同．
1．已知x∈R，命题“若x2＞0，则x＞0”的逆命题、否命题和逆否命题中，正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1
选C．命题“若x2＞0，则x＞0”的逆命题是“若x＞0，则x2＞0”，是真命题；
否命题是“若x2≤0，则x≤0”，是真命题；
逆否命题是“若x≤0，则x2≤0”，是假命题．
综上，以上3个命题中真命题的个数是2.故选C．
2．已知命题p：
“正数a的平方不等于0”，命题q：
“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的（ ）
A．逆命题B．否命题
C．逆否命题D．否定
选B．命题p：
“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题．
3．（2018·
陕西质量检测
（一））设a，b∈R，则“（a－b）a2＜0”是“a＜b”的（ ）
A．充分不必要条件B．充要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
选A．由（a－b）a2＜0可知a2≠0，则一定有a－b＜0，即a＜b；
但是a＜b即a－b＜0时，有可能a＝0，所以（a－b）a2＜0不一定成立，故“（a－b）a2＜0”是“a＜b”的充分不必要条件，选A．
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“sinA＞sinB”是“a＞b”的（ ）
选C．设△ABC外接圆的半径为R，若sinA＞sinB，则2RsinA＞2RsinB，即a＞b；
若a＞b，则
＞
，即sinA＞sinB，所以在△ABC中，“sinA＞sinB”是“a＞b”的充要条件，故选C．
5．有下列命题：
①“若x＋y＞0，则x＞0且y＞0”的否命题；
②“矩形的对角线相等”的否命题；
③“若m≥1，则mx2－2（m＋1）x＋m＋3＞0的解集是R”的逆命题；
④“若a＋7是无理数，则a是无理数”的逆否命题．
其中正确的是（ ）
A．①②③B．②③④
C．①③④D．①④
选C．①的逆命题为“若x＞0且y＞0，则x＋y＞0”为真，故否命题为真；
②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假命题；
③的逆命题为“若mx2－2（m＋1）x＋m＋3＞0的解集为R，则m≥1”．
因为当m＝0时，解集不是R，
所以应有
即m＞1.所以③是真命题；
④原命题为真，逆否命题也为真．
6．（2018·
石家庄模拟）“log2（2x－3）＜1”是“4x＞8”的（ ）
选A．由log2（2x－3）＜1⇒0＜2x－3＜2⇒
＜x＜
，4x＞8⇒2x＞3⇒x＞
，所以“log2（2x－3）＜1”是“4x＞8”的充分不必要条件，故选A．
7．已知直线l，m，其中只有m在平面α内，则“l∥α”是“l∥m”的（ ）
选B．当l∥α时，直线l与平面α内的直线m平行、异面都有可能，所以l∥m不一定成立；
当l∥m时，根据直线与平面平行的判定定理知直线l∥α，即“l∥α”是“l∥m”的必要不充分条件，故选B．
8．命题“对任意x∈[1，2），x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是（ ）
A．a≥4B．a＞4
C．a≥1D．a＞1
选B．要使“对任意x∈[1，2），x2－a≤0”为真命题，只需要a≥4，所以a＞4是命题为真的充分不必要条件．
9．（2017·
高考浙江卷）已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的（ ）
选C．因为{an}为等差数列，所以S4＋S6＝4a1＋6d＋6a1＋15d＝10a1＋21d，2S5＝10a1＋20d，S4＋S6－2S5＝d，所以d>
0⇔S4＋S6>
2S5，故选C．
10．（2018·
惠州第三次调研）设函数y＝f（x），x∈R，“y＝|f（x）|是偶函数”是“y＝f（x）的图象关于原点对称”的（ ）
选C．设f（x）＝x2，y＝|f（x）|是偶函数，但是不能推出y＝f（x）的图象关于原点对称．反之，若y＝f（x）的图象关于原点对称，则y＝f（x）是奇函数，这时y＝|f（x）|是偶函数，故选C．
11．（2018·
贵阳检测）设向量a＝（1，x－1），b＝（x＋1，3），则“x＝2”是“a∥b”的（ ）
选A．依题意，注意到a∥b的充要条件是1×
3＝（x－1）（x＋1），即x＝±
2.因此，由x＝2可得a∥b，“x＝2”是“a∥b”的充分条件；
由a∥b不能得到x＝2，“x＝2”不是“a∥b”的必要条件，故“x＝2”是“a∥b”的充分不必要条件，选A．
12．（2018·
郑州第一次质量预测）已知命题p：
，命题q：
∀x∈R，ax2＋ax＋1＞0，则p成立是q成立的（ ）
选A．命题p等价于0＜a＜4.命题q，对∀x∈R，ax2＋ax＋1＞0，必有
，则0≤a＜4，所以命题p成立是命题q成立的充分不必要条件，故选A．
13．下列命题中为真命题的是________．
①命题“若x>
1，则x2>
1”的否命题；
②命题“若x>
y，则x>
|y|”的逆命题；
③命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题；
④命题“若x2>
1，则x>
1”的逆否命题．
对于①，命题“若x>
1”的否命题为“若x≤1，则x2≤1”，易知当x＝－2时，x2＝4>
1，故①为假命题；
对于②，命题“若x>
|y|”的逆命题为“若x>
|y|，则x>
y”，分析可知②为真命题；
对于③，命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”，易知当x＝－2时，x2＋x－2＝0，故③为假命题；
对于④，命题“若x2>
1”的逆否命题为“若x≤1，则x2≤1”，易知当x＝－2时，x2＝4>
1，故④为假命题．
②
14．给出命题：
若函数y＝f（x）是幂函数，则函数y＝f（x）的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是________．
原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；
它的逆命题为“若函数y＝f（x）的图象不过第四象限，则函数y＝f（x）是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个．
1
15．若命题“ax2－2ax－3>
0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．
由题意知ax2－2ax－3≤0恒成立，当a＝0时，－3≤0成立；
当a≠0时，得
解得－3≤a<
0，故－3≤a≤0.
[－3，0]
16．（2018·
长沙模拟）给出下列命题：
①已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件；
②“x＜0”是“ln（x＋1）＜0”的必要不充分条件；
③“函数f（x）＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”是“a＝1”的充要条件；
④“平面向量a与b的夹角是钝角”的充要条件是“a·
b＜0”．其中正确命题的序号是________．（把所有正确命题的序号都写上）
①因为“a＝3”可以推出“A⊆B”，但“A⊆B”不能推出“a＝3”，所以“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件，故①正确；
②“x＜0”不能推出“ln（x＋1）＜0”，但“ln（x＋1）＜0”可以推出“x＜0”，所以“x＜0”是“ln（x＋1）＜0”的必要不充分条件，故②正确；
③f（x）＝cos2ax－sin2ax＝cos2ax，若其最小正周期为π，则
＝π⇒a＝±
1，因此“函数f（x）＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”是“a＝1”的必要不充分条件，故③错误；
④“平面向量a与b的夹角是钝角”可以推出“a·
b＜0”，但由“a·
b＜0”，得“平面向量a与b的夹角是钝角或平角”，所以“a·
b＜0”是“平面向量a与b的夹角是钝角”的必要不充分条件，故④错误．正确命题的序号是①②.
①②
1．（2017·
高考天津卷）设θ∈R，则“
<
”是“sinθ<
”的（ ）
选A．因为
＜
⇔－
＜θ－
⇔0＜θ＜
，
sinθ＜
⇔θ∈
，k∈Z，
所以“
”是“sinθ＜
”的充分而不必要条件．
2．下列选项中，p是q的必要不充分条件的是（ ）
A．p：
x＝1，q：
x2＝x
B．p：
|a|>
|b|，q：
a2>
b2
C．p：
a2＋b2，q：
2ab
D．p：
a＋c>
b＋d，q：
a>
b且c>
d
选D.A中，x＝1⇒x2＝x，x2＝x⇒x＝0或x＝1
x＝1，故p是q的充分不必要条件；
B中，因为|a|>
|b|，根据不等式的性质可得a2>
b2，反之也成立，故p是q的充要条件；
C中，因为a2＋b2≥2ab，由x>
a2＋b2，得x>
2ab，反之不成立，故p是q的充分不必要条件；
D中，取a＝－1，b＝1，c＝0，d＝－3，满足a＋c>
b＋d，但是a<
b，c>
d，反之，由同向不等式可加性得a>
d⇒a＋c>
b＋d，故p是q的必要不充分条件．综上所述，故选D.
3．已知p：
x≥k，q：
（x＋1）（2－x）<
0，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是（ ）
A．[2，＋∞） B．（2，＋∞）
C．[1，＋∞）D．（－∞，－1]
选B．由q：
0，得x<
2，又p是q的充分不必要条件，所以k>
2，即实数k的取值范围是（2，＋∞），故选B．
4．已知集合A＝
，B＝{x|－1<
x<
m＋1，x∈R}，若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，则实数m的取值范围是________．
因为A＝
＝{x|－1<
3}，x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，所以AB，所以m＋1>
3，即m>
2.
m＞2
5．已知集合A＝
，B＝{x|x＋m2≥1}．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围．
y＝x2－
x＋1＝
＋
因为x∈
，所以
≤y≤2，
所以A＝
.
由x＋m2≥1，得x≥1－m2，
所以B＝{x|x≥1－m2}．
因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件，
所以A⊆B，所以1－m2≤
解得m≥
或m≤－
故实数m的取值范围是
∪
6．已知两个关于x的一元二次方程mx2－4x＋4＝0和x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，求两方程的根都是整数的充要条件．
因为mx2－4x＋4＝0是一元二次方程，所以m≠0.
又另一方程为x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，且两方程都要有实根，
解得m∈
因为两方程的根都是整数，
故其根的和与积也为整数，
所以m为4的约数．
又因为m∈
所以m＝－1或1.
当m＝－1时，第一个方程x2＋4x－4＝0的根为非整数；
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