第四讲全等三角形与角平分线.docx

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第四讲全等三角形与角平分线

第四讲全等三角形与角平分线

1．【知识回顾】

1、全等三角形的性质与判定2、角平分线的性质与判定

二．【讲解与练习】

1．如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若四边形ABCD的面积为24cm2，则AC长是　　　　　　cm．

2．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA=10cm，OC=6cm．F是线段OA上的动点，从点O出发，以1cm/s的速度沿OA方向作匀速运动，点Q在线段AB上．已知A、Q两点间的距离是O、F两点间距离的a倍．若用（a，t）表示经过时间t（s）时，△OCF、△FAQ、△CBQ中有两个三角形全等．请写出（a，t）的所有可能情况　　　　　　．

3．如图，已知△ABC三个内角的平分线交于点O，延长BA到点D，使AD=AO，连接DO，若BD=BC，∠ABC=54°，则∠BCA的度数为　　　　　　°．

4．如图所示，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=24°，∠2=36°，

则∠3=　　　　　　．

5．如图，AC=DB，∠1=∠2，则△ABC≌△　　　　　　，∠ABC=∠　　　　　　．

6．如图，点D在BC上，DE⊥AB于点E，DF⊥BC交AC于点F，BD=CF，BE=CD．若∠AFD=145°，则∠EDF=　　　　　　．

7．如图，已知五边形ABCDE中，∠ABC=∠AED=90°，AB=CD=AE=BC+DE=2，则五边形ABCDE的面积为　　　　　　．

8．如图，在5×5的正方形网络，在网格中画出点F，使得△DEF与△ABC全等，这样的格点三角最多可以画出　　　　　　个．

9．如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB、BC、CA的距离OF=OD=OE，若∠BAC=70°，∠BOC=　　　　　　．

10．如图，△ABC的周长是12，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，则△ABC的面积是　　　　　　．

11．如图，OC平分∠AOB，∠AOC=20°，P为OC上一点，PD=PE，OD≠OE，∠OPE=110°，则∠ODP=　　　　　　°．

12．如图，△ABC中，∠A=60°，AB＞AC，两内角的平分线CD、BE交于点O，OF平分∠BOC交BC于F，

（1）∠BOC=120°；

（2）连AO，则AO平分∠BAC；（3）A、O、F三点在同一直线上，（4）OD=OE，（5）BD+CE=BC．其中正确的结论是　　　　　　（填序号）．

13．如图1，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、CA的延长线于点E、F．

（1）求证：

AE=CF；

（2）求证：

△EPF是等腰直角三角形；

（3）求证：

∠FEA+∠PFC=45°；

（4）求证：

S△PFC﹣S△PBE=

S△ABC．

14．如图，△ACO为等腰直角三角形．

（1）若C（﹣1，3），求A点坐标；

（2）过A作AE⊥AC，若∠FEO=∠COE，求∠EOF的度数；

（3）当△ACO绕点O旋转时，过C作CN⊥y轴，M为AO的中点，∠MNO的大小是否发生变化？

15．如图，在△ABC中，D是边BC上一点，AD平分∠BAC，在AB上截取AE=AC，连接DE，已知DE=2cm，BD=3cm，求线段BC的长．

16．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAE，DA∥CE，AB=CB．

（1）试判断BE与AC有何位置关系？

并证明你的结论；

（2）若∠DAC=25°，求∠AEB的度数．

17．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，请利用线段之比可转化为面积之比的思路方法，求证：

．

18．如图，△ABC中，∠C=60°，AD，BE分别平分∠CAB，∠CBA、AD、BE交于点P．求证：

（1）∠APB=120°；

（2）点P在∠C的平分线上；

（3）AB=AE+BD．

19．

（1）如图1①，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，若∠BAC=40°，求∠AMB的度数；

（2）如图1②，如果将

（1）中的∠BAC的度数改为70°，其余条件不变，再求∠AMB的度数．

20．在△ABC中，AD是∠BAC的平分线．

（1）如图①，求证：

；

（2）如图②，若BD=CD，求证：

AB=AC；

（3）如图③，若AB=5，AC=4，BC=6．求BD的长．

三．【作业】

1．“石门福地”小区有一块直角梯形花园，测量AB=20米，∠DEC=90°，∠ECD=45°，则该花园面积为　　　　　　平方米．

2．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AE是过A点的一条直线，CE⊥AE于E，BD⊥AE于D，DE=4cm，CE=2cm，则BD=　　　　　　．

3．如图，在Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AB=8，点F是AB边的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论中正确的结论是　　　　　　．

（1）△DFE是等腰直角三角形；

（2）四边形CDFE不可能为正方形；

（3）DE长度的最小值是4；

（4）四边形CDFE的面积保持不变；

（5）△CDE面积的最大值为4．

4．在直角坐标系中，如图有△ABC，现另有一点D满足以A、B、D为顶点的三角形与△ABC全等，则D点坐标为　　　　　　．

5．如图所示，在△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，AD=2cm，AB+BC=8，S△ABC=　　　　　　．

6．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和38，则△EDF的面积为　　　　　　．

7．如图，在△ABC中，∠ABC=90°．AB=BC，A（﹣4，0），B（0，2）

（1）如图1，求点C的坐标；

（2）如图2，BC交x轴于点M，AC交y轴于点N，且BM=CM，求证：

∠AMB=∠CMN；

（3）如图3，若点A不动，点B在y轴的正半轴上运动时，分别以OB、AB为直角边在第一、第二象限作等腰直角△BOF与等腰直角△ABE，连接EF交y轴于P点，问当点B在y轴正半轴上移动时，BP的长度是否变化？

若变化请说明理由，若不变化，请求出其长度．

8．如图，在△ABC中，已知∠B=∠C，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点D为AB的中点．点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．

（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，则经过1s，△BPD与△CQP是否全等？

请说明理由；

（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？

9．如图，AD∥BC，∠D=90°．

（1）如图1，若∠DAB的平分线与∠CBA的平分线交于点P，试问：

点P是线段CD的中点吗？

为什么？

（2）如图2，如果P是DC的中点，BP平分∠ABC，∠CPB=35°，求∠PAD的度数为多少？

10．观察、猜想、探究：

在△ABC中，∠ACB=2∠B．

（1）如图①，当∠C=90°，AD为∠BAC的角平分线时，求证：

AB=AC+CD；

（2）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？

不需要证明，请直接写出你的猜想；

（3）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？

请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．

参考答案与试题解析

1．

　cm．2．　（1，4），（

，5），（0，10）　．解：

①当△COF和△FAQ全等时，

OC=AF，OF=AQ或OC=AQ，OF=AF，

∵OC=6，OF=t，AF=10﹣t，AQ=at，代入得：

或

，解得：

t=4，a=1，或t=5，a=

，∴（1，4），（

，5）；②同理当△FAQ和△CBQ全等时，必须BC=AF，BQ=AQ，

10=10﹣t，6﹣at=at，此时不存在；③因为△CBQ最长直角边BC=10，而△COF的最长直角边不能等于10，所以△COF和△BCQ不全等，④F，Q，A三点重合，此时△COF和△CBQ全等，此时为（0，10）故答案为：

（1，4），（

，5），（0，10）．

3．　42　°．4．　60°　．　5．△　DCB　，∠　DCB　．6．　55°　．7．　4　．解：

延长DE至F，使EF=BC，连AC，AD，AF，∵AB=CD=AE=BC+DE，∠ABC=∠AED=90°，

由题中条件可得Rt△ABC≌Rt△AEF，△ACD≌△AFD，

∴SABCDE=2S△ADF=2×

•DF•AE=2×

×2×2=4．

故答案为：

4．

8．　4　个．9．　125°　．10．　18　．11．　130　°．12．

（1）

（2）（4）（5）（填序号）．

13．证明：

（1）连结AP，EF；∵△ABC为等腰直角三角形，且点P为斜边BC的中点，

∴PA=PB=PC，PA⊥BC；而∠EPF=90°，∴∠APF=∠BPE，∠PAC=∠PBA=45°，

∴∠PAF=∠PBE=135°；∴△APF≌△BPE（ASA），∴AF=BE，而AB=AC，∴AE=CF．

（2）∵△APF≌△BPE，∴PF=PE，而∠EPF=90°，∴△EPF为等腰直角三角形．

（3）∵△APF≌△BPE，∴∠PFA=∠PEB，∴∠FEA+∠PFC=∠FEA+∠PEB=45°．

（4）∵△APF≌△BPE，∴S△APF=S△PBE，∴S△PFC﹣S△PBE=S△PFC﹣S△APF=S△APC，而

，

∴S△PFC﹣S△PBE=

S△ABC．

14．解：

（1）作CD⊥y轴，AB⊥DC延长线于点B，

∵∠BAC+∠BCA=90°，∠BCA+∠DCO=90°，

∴∠BAC=∠DCO，∴△ABC≌△CDO（AAS），

∴BC=OD=3，AB=CD=1，∴A点坐标（﹣4，2）；

（2）∴∠EOF=45°；

（3）不变，理由如下：

作MK⊥ON于K点，MF⊥NC于F点，连接MC，∵∠MFC=∠CNO=∠MKN=90°，

∴∠FMK=90°，四边形MKNF为矩形，

∵AC=CO，M是AO中点，∴∠CMO=90°，CM=MO，

∵∠CMO=∠CMK+∠KMO，∠FMK=∠FMC+∠CMK，

∴∠KMO=∠FMC，∴△FMC≌△KMO（AAS），∴FM=MK，

∴矩形MKNF为正方形，∴∠MNO=45°．　

15．解：

∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD∴△ADE≌△ADC（SAS）

∴DE=DC∴BC=BD+DC=BD+DE=2+3=5（cm）．　

16．

（1）答：

BE垂直平分AC，证明：

∵AC平分∠DAE，∴∠DAC=∠EAC，

∵DA∥CE，∴∠DAC=∠ACE，∴∠ACE=∠EAC，∴EA=EC，∴E在AC的垂直平分线上，∵AB=CB，∴B在AC的垂直平分线上，∴BE垂直平分AC；

（2）解：

∵AC是∠DAE的平分线，∴∠DAC=∠CAE=25°，又∵DA∥E

∴∠DAC=∠ACE=25°∴∠CAE=∠ACE=25°∴AE=CE，∠AEC=130°，

∴△AEB≌△CEB，∴∠AEB=∠CEB，∴∠AEB=

（360°﹣∠AEC）=115°．

17．面积法

18．证明：

（1）∵∠C=60°，AD、BE是△ABC的角平分线，

∴∠ABP=

∠ABC，∠BAP=

∠BAC，∴∠BAP+∠MBP=

（∠ABC+∠BAC）=

（180°﹣∠C）=60°，∴∠APB=120°；

（2）如图1，过P作PF⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，∵AD，BE分别平分∠CAB，∠CBA，

∴PF=PG，PF=PH，∴PH=PG，∴点P在∠C的平分线上；

（3）如图2，在AB上取点M使AM=AE，连接PM∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠PAM=∠PAE，∴△AMP≌△AEP，∴∠APM=∠APE=180°﹣∠APB=60°，

∴∠BPM=180°﹣（∠APM+∠APE）=60°，∠BPD=∠APE=60°，∴∠BPM=∠BPD，

∵BE是∠ABC的角平分线，∴∠MBP=∠DBP，∴△BOM≌△BOD，

∴BM=BD，∴AB=AM+BM=AE+BD．

19．解：

∵∠ABC=∠ACB，∠BAC=40°，∴∠ABC=70°，∵AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，∴AM=BM，∴∠BAM=∠ABC=70°，∴∠AMB=180°﹣∠ABC﹣∠BAM=40°；

（2）∵∠ABC=∠ACB，∠BAC=70°，∴∠ABC=55°，∵AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，∴AM=BM，∴∠BAM=∠ABC=55°，

∴∠AMB=180°﹣∠ABC﹣∠BAM=70°．　

20．解：

（1）如图①，证明：

作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∵AD是∠BAC的平分线，

∴DE=DF∴

；

（2）∵BD=CD，∴S△ABD=S△ACD由

（1）的结论

，∴

，∴AB=AC；

（3）如图③，过A作AE⊥BC，垂足为E，∵

，

∴

由

（1）的结论

，∴

，

∴BD=

，DC=

．

【作业】

　200　．2．　6cm　．3．

（1）．

4．（2016•吉安模拟）在直角坐标系中，如图有△ABC，现另有一点D满足以A、B、D为顶点的三角形与△ABC全等，则D点坐标为　（0，﹣2）或（2，﹣2）或（2，2）　．

5．　8cm2　．6．　6　．

7．解：

（1）作CD⊥BO，

∵∠CBD+∠ABO=90°，∠ABO+∠BAO=90°，∴∠CBD=∠BAO，

∴△ABO≌△BCD（AAS），∴BD=AO=4，CD=BO=2，

∴C点坐标（2，﹣2）；

（2）

（3）作EG⊥y轴，

∵∠BAO+∠OBA=90°，∠OBA+∠EBG=90°，

∴∠BAO=∠EBG，∴△BAO≌△EBG（AAS），

∴BG=AO，EG=OB，∵OB=BF，∴BF=EG，

∴△EGP≌△FBP（AAS），

∴PB=PG，

∴PB=

BG=

AO=2．　

8．解：

（1）点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP全等，

理由是：

∵AB=AC=10厘米，点D为AB的中点，∴∠B=∠C，BD=5厘米，∵BP=CQ=3t厘米=3厘米，∴CP=8厘米﹣3厘米=5厘米=BD，∴△DBP≌△PCQ（SAS）；

（2）设当点Q的运动速度为x厘米/时，时间是t小时，能够使△BPD与△CQP全等，

∵BD=5厘米，BP=3t厘米，CP=（8﹣3t）厘米，CQ=xt厘米，∠B=∠C，

∴当BP=CQ，BD=CP或BP=CP，BD=CQ时，△BPD与△CQP全等，即①3t=xt，5=8﹣3t，解得：

x=3（不合题意，舍去），②3t=8﹣3t，5=xt，解得：

x=

，

即当点Q的运动速度为

厘米/时时，能够使△BPD与△CQP全等．

9．解：

（1）点P是线段CD的中点．理由如下：

过点P作PE⊥AB于E，

∵AD∥BC，∠D=90°，∴∠C=180°﹣∠D=90°，即PC⊥BC，∵∠DAB的平分线与∠CBA的平分线交于点P，∴PD=PE，PC=PE，∴PC=PD，∴点P是线段CD的中点；

（2）过点P作PE⊥AB于E，∵AD∥BC，∠D=90°，∴∠C=180°﹣∠D=90°，即PC⊥BC．∴△PBE≌△PBC（AAS），

∴∠EPB=∠CPB=35°，PE=PC，∵PC=PD，∴PD=PE，∴Rt△PAD≌Rt△PAE（HL），∴∠APD=∠APE，∵∠APD+∠APE=180°﹣2×35°=110°，

∴∠APD=55°，∴∠PAD=90°﹣∠APD=35°．

10．解：

（1）过D作DE⊥AB，交AB于点E，如图1所示，∵AD为∠BAC的平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DE=DC，在Rt△ACD和Rt△AED中，AD=AD，DE=DC，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC=AE，∠ACB=∠AED，∵∠ACB=2∠B，∴∠AED=2∠B，

又∵∠AED=∠B+∠EDB，∴∠B=∠EDB，∴BE=DE=DC，则AB=BE+AE=CD+AC；

（2）AB=CD+AC，理由为：

在AB上截取AG=AC，如图2所示，

∵AD为∠BAC的平分线，∴∠GAD=∠CAD，∴△ADG≌△ADC（SAS），∴CD=DG，∠AGD=∠ACB，∵∠ACB=2∠B，∴∠AGD=2∠B，又∵∠AGD=∠B+∠GDB，

∴∠B=∠GDB，∴BE=DG=DC，则AB=BG+AG=CD+AC；

（3）AB=CD﹣AC，理由为：

在AF上截取AG=AC，如图3所示，∵AD为∠FAC的平分线，∴∠GAD=∠CAD，∴△ADG≌△ACD（SAS），∴CD=GD，∠AGD=∠ACD，即∠ACB=∠FGD，∵∠ACB=2∠B，∴∠FGD=2∠B，又∵∠FGD=∠B+∠GDB，

∴∠B=∠GDB，∴BG=DG=DC，则AB=BG﹣AG=CD﹣AC．