诱导公式总结大全.docx
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诱导公式总结大全
诱导公式1
诱导公式的本质
所谓三角函数诱导公式，就是将角n•（n/a勺三角函数转化为角a的三角函数。
常用的诱导公式
公式一：
设a为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kn+a）=sina
COS（2kn+a）=COSa
tan（2kn+a）=tana
COt（2kn+a）=COta
公式二：
设a为任意角，n+a的三角函数值与a的三角函数值之间的
关系：
sin（n+a）=一sina
COS（n+a）=一COsa
tan（n+a）=tana
COt（n+a）=COta
公式三：
任意角a与-a的三角函数值之间的关系：
sin（一a）—一sina
COs（―a）—COsa
tan（—a）—一tana
COt（—a）=一COta
公式四：
利用公式二和公式三可以得到n-a与a的三角函数值之间的
关系：
sin（冗一a）—sina
COs（冗一a）——COsa
tan（冗一a）——tana
COt（n—a）=一COta
公式五：
利用公式一和公式三可以得到2n-a与a的三角函数值之间
的关系：
sin
（2n—
a）
-sin
a
cos
（2n—
a）
c
cosa
tan
（2n—
a）
c
—tan
a
cot
（2n—
a）
—cot
a
公式六：
n
/2土与a
的三角函数值之间的关系
sin
（n/2+
a）
c
cosa
cos（n/2+a）=—sina
tan（n/2+a）=—cota
cot（n/2+a）=—tana
sin（n/2—a）=cosa
cos（n/2—a）=sina
tan（n/2—a）=cota
cot（n/2—a）=tana诱导公式记忆口诀奇变偶不变，符号看象限。
奇、偶”指的是整数n的奇偶，变与不变”指的是三角函数的名称的变化：
变”是指正弦变余弦，正切变余切。
（反之亦然成立）符号看象限”的含
义是：
把角a看做锐角，不考虑a角所在象限，看n•（n/2）是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号。
一全正；二正弦；三两切；四余弦
这十二字口诀的意思就是说：
第一象限内任何一个角的四种三角函数值都
是+”第二象限内只有正弦是+”其余全部是第三象限内只有
正切和余切是+”其余全部是第四象限内只有余弦是+”其余
全部是一”
其他三角函数知识
同角三角函数的基本关系式
倒数关系
tana•cota
sina•cscl
cosa•Secd
商的关系
sina/cosctana=seca/csca
cosa/sinccota=CSCa/seca
平方关系
sinA2（a+cosA2（a）1
1+tanA2（a）secA2（a）
1+C0tA2（a¥CSCA2（a）
同角三角函数关系六角形记忆法
构造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中间1"的正六边形为模型
倒数关系
对角线上两个函数互为倒数；
商数关系
六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。
（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积）。
由此，可得商数关系式。
平方关系
在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。
两角和差公式
sin（a+B）=sinacos卅cosasinB
sin（a—B=sinacos#cosasinB
cos（a+B）=cosacos—sinasinB
cos（a—B）=cosacos+sinasinB
tan（a+B）=（tan+tanB）/（1—tana•tanB）
tan（a—B）=（tan—tanB）/（1+tana•tanB）
二倍角的正弦、余弦和正切公式
sin2a2sinacosa
cos2aCOSA2（a—SinA2（a¥2COSA2（a—1a1—2sinA2（a）
tan2a2tana/（1—tan八2（a））
半角的正弦、余弦和正切公式
sinA2（a/2¥（1—cosa）/2
cosA2（a/2¥（1+cosa）/2
tanA2（a/2¥（1—cosa）/（1+cosa）
tan（a/2）=（1—cosa）/sina=sina/1+cosa
万能公式
sina2tan（a/2）/（1+tan八2（a/2））
cosaa（1—tanA2（a/2））/（1+tan八2（a/2））
tana=（2tan（a/2））/（1—tan八2（a/2））
三倍角的正弦、余弦和正切公式
sin3a3sina-4si门八3（a）
C0S3a=4COSA3（a）-3C0Sa
tan3a=（3tan—tan八3（a））/（1—3ta门八2（a））
三角函数的和差化积公式
sinOrsin#2sin（（水B）/2）•cos（（pa）/2）
sin—sin#2cos（（rB）/2）•sin（（帥/2）
cosa+cosB=2cos（（rB）/2）•cos—B）/2）cosa—cosB=—2sin（（+B）/2）•sin—B）/2）
三角函数的积化和差公式
sina・cosBsin（+B+sin（—B）]
cosa・si牛Bsin（+B—sin（—B）]
cosa・cosBcos（+B+cos（—B）]
sina，simB[cos（+B—cos（a—B）]
公式推导过程
万能公式推导
sin2a=2sinacosa=2sinacosa/（cosA2（a）+sinA2（，））*
（因为cosA2（a）+sinA2（a）1
再把*分式上下同除cosA2（a,可得sin2om2tana/（1+tan八2（a））然后用a/2代替a即可。
同理可推导余弦的万能公式。
正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。
三倍角公式推导
tan3a=sin3a/cos3a
m（sin2acos+cos2asina）/（cos2acosnaasina）
m（2sinacosA2（+）osA2（a）sin—si门八3（a））/（cosA3（—xc）sasinA2（—）2si门八2（a）cosa）
上下同除以cosA3（a,得：
tan3am（3tan—tan八3（a））/（1-3ta门八2（a））
sin3omsin（2（+amsin2acos+cos2asina
m2sinacosA2（+）1—2sin八2（a））sina
m2sina—2si门八3（a+sin—2sin八3（a）
=3sina—4si门八3（a）
cos3amcos（2a+amcos2acos—sin2asina
m（2cosA2（a—1）cosa—2cosaSinA2（a）
m2cosA3（a—cosa+（2cos—2cosA3（a））
m4cosA3（a）3cosa
即
sin3a3sina4sinW（a）
C0S3a4COSA3（a—3cosa
和差化积公式推导
首先，我们知道
sin（a+b）=sina*cosb+cosa*sinb,sin（a-b）=sina*cosb-cosa*sinb
我们把两式相加就得到sin（a+b）+sin（a-b）=2sina*cosb
所以，sina*cosb=（sin（a+b）+sin（a-b））/2
同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=（sin（a+b）-sin（a-b））/2同样的，我们还知道
cos（a+b）=cosa*cosb-sina*sinb,cos（a-b）=cosa*cosb+sina*sinb
所以，把两式相加,我们就可以得到cos（a+b）+cos（a-b）=2cosa*cosb所以我们就得到,cosa*cosb=（cos（a+b）+cos（a-b））/2
同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-（cos（a+b）-cos（a-b））/2
这样,我们就得到了积化和差的四个公式：
sina*cosb=（sin（a+b）+sin（a-b））/2
cosa*sinb=（sin（a+b）-sin（a-b））/2cosa*cosb=（cos（a+b）+cos（a-b））/2sina*sinb=-（cos（a+b）-cos（a-b））/2
好,有了积化和差的四个公式以后，我们只需一个变形，就可以得到和差
化积的四个公式.
我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=（x+y）/2,b=（x-y）/2
把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式：
sinx+siny=2sin（（x+y）/2）*cos（（x-y）/2）
sinx-siny=2cos（（x+y）/2）*sin（（x-y）/2）cosx+cosy=2cos（（x+y）/2）*cos（（x-y）/2）cosx-cosy=-2sin（（x+y）/2）*sin（（x-y）/2）
诱导公式2
诱导公式是数学三角函数中将角度比较大的三角函数利用角的周期性，转换为角
度比较小的三角函数。
诱导公式诱导公式记忆口诀同角三角函数基本关系同角三角函数关系六角形记忆法两角和差公式二倍角公式
半角公式万能公式诱导公式诱导公式记忆口诀同角三角函数基本关系同角三角函数关系六角形记忆法两角和差公式二倍角公式
半角公式万能公式
万能公式推导三倍角公式三倍角公式推导三倍角公式联想记忆和差化积公式积化和差公式和差化积公式推导
诱导公式
【诱导公式】
公式
常用的诱导公式有以下几组：
（公式一〜公式五函数名未改变,六函数名发生改变）
公式一：
设a为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等:
弧度制下的角的表示：
sin
（2k-
冗+
a）
=sina
（k€Z）
cos
（2k
n+
a）
=cosa
（k€Z）
tan
（2k
n+
a）
=tana
（k€Z）
cot
（2k
n+
a）
=cota
（k€Z）
sec
（2k
n+
a）
=seca
（k€Z）
csc
（2k
n+
a）
=csca
（k€Z）
角度制下的角的表示：
sin（a+k•360°ina（k€Z）
cos（a+k•36里cosa（k€Z）
tan（a+k•3600°tana（k€Z）
cot（a+k•36）=cota（k€Z）
sec（a+k•360°=seca（k€Z）
csc（a+k•36）=csca（k€Z）
公式二：
设a为任意角，n+a的三角函数值与a的三角函数值之间的关系:
弧度制下的角的表示：
sin（n+a）=-
—sina
cos（n+a）=
—cosa
tan（n+a）=
tana
cot（n+a）=
cota
sec（n+a）=
—seca
csc（n+a）=
—csca
角度制下的角的表示:
sin
（180°
+a
=-
—sina
cos
（180°
+）
—cosa
tan
（180°
+）
tana
cot
（180°
+）
cota
sec
（180°
+）
—seca
csc
（180°
+）
=
—csca
公式三：
任意角a与-a的三角函数值之间的关系:
sin
（—
a）
=-
—sina
cos
（-
a）
cosa
tan
（-
a）
—tana
cot
（-
a）
—cota
sec
（-
a）
seca
csc-
—a）
=
—
csca
公式四：
利用公式二和公式三可以得到n-a与a的三角函数值之间的关系:
弧度制下的角的表示：
sin
（
n—
a）
=
sina
cos
（
n—
-a）
—cosa
tan
（
n—
-a）
—tana
cot
（
n—
-a）
—cota
sec
（
n—
-a）
—seca
csc
（
n—
-a）
=
csca
角度制下的角的表示:
sin
（180°—
-a）
sina
cos
（180°-
-a）
—cosa
tan
（180°-
-a）
—tana
cot
（180°-
-a）
—cota
sec
（180°-
-a）
—seca
csc
（180°-
-a）
=
csca
公式五：
利用公式一和公式三可以得到2n-a与a的三角函数值之间的关系:
弧度制下的角的表示：
sin
（2n—
-a）
=—sina
cos
（2n-
-a）
=cosa
tan
（2n-
-a）
=—tana
cot
（2n—
-a）
=—cota
sec（2n—a）=seca
csc（2n—
a）=
—csca
角度制下的角的表示：
sin（360°-
—a）
=—sina
cos（360°
—a）
=cosa
tan（360°
—a）
=—tana
cot（360°
—a）
=一cota
sec（360°
—a）
=seca
csc（360°
—a）
=一csca
小结：
以上五组公式可简记为：
函数名不变，符号看象限.
即a+k•360（k€Z）,—a,180°±,a360°—a的三角函数值，等于a的同名三角函数值，前面加上一个把a看成锐角时原函数值的符号。
公式六：
n12±o及3n12±与a的三角函数值之间的关系：
（1.〜4.）
1.n/2^a与a的三角函数值之间的关系
弧度制下的角的表示：
sin（n/2+a）=cosa
cos（n/2+a）=—sina
tan（n/2+a）=—cota
cot（n/2+a）=—tana
sec（n/2+a）=—csca
csc（n/2+a）=seca
角度制下的角的表示：
sin
（90°
+
a）
=cosa
cos
（90°
+
a）
=—sin
a
tan
（90°
+
a）
=—cot
a
cot
（90°
+
a）
=—tan
a
sec
（90°
+
a）
=—csc
a
csc
（90°
+
a）
=seca
2.
n/2-
a
与
a的三角函数值之间的关系
弧度制下的角的表示：
sin（n/2—a）=cosacos（n/2—a）=sinatan（n/2—a）=cotacot（n/2—a）=tanasec（n/2-a）=cscacsc（n/2—a）=seca角度制下的角的表示：
sin（90—
a）cos
a
cos（90°
a）sin
a
tan（90—
aAcot
a
cot（90—
a）tan
a
sec（90—
a）csc
a
csc（90—
a）sec
a
a看成是锐角。
€Z
3.3n/2+a与a的二角函数值之间的关系弧度制下的角的表示：
sin
（3n/2+a）
=-
—cosa
cos
（3n/2+a）
sina
tan
（3n/2+a）
—cota
cot
（3n/2+a）
—tana
sec
（3n/2+a）
csca
csc
（3n/2+a）
=
—seca
角度制下的角的表示:
sin
（270°+a）
=-
—cosa
cos
（270°+a）
sina
tan
（270°+a）
—cota
cot
（270°+a）
—tana
sec
（270°+a）
csca
csc
（270°+a）
=
—seca
4.3n/2—a与a的二角函数值之间的关系弧度制下的角的表示：
sin
（3n/2—a）
=-
—cosa
cos
（3n/2-a）
—sina
tan
（3n/2-a）
cota
cot
（3n/2—a）
tana
sec
（3n/2—a）
—seca
csc
（3n/2—a）
=
—seca
角度制下的角的表示:
sin
（270°-
-a）
=-
—cosa
cos
（270°-
-a）
—sina
tan
（270°-
-a）
cota
cot
（270°-
-a）
tana
sec
（270°-
-a）
—csca
csc
（270°-
-a）
=
—seca
温馨提示：
1.在做题目的时候，最好将
总结记忆：
奇变偶不变，符号看象限。
奇偶是针对k而言的，变与不变是针对三角函数名而言。
诱导公式记忆口诀
※规律总结探
上面这些诱导公式可以概括为：
对于kn12土a©Z）的三角函数值，
1当k是偶数时，得到a的同名函数值，即函数名不改变；
2当k是奇数时，得到a相应的余函数值，即
sinfcos;cos—sin;tan—cot,cot—tan.
（奇变偶不变）然后在前面加上把a看成锐角时原函数值的符号。
（符号看象限）
例如：
sin（2旷a）sin（4•n-/2a）k=4为偶数，所以取sina
当a是锐角时，2n-a€（270°360°，sin（2-a=0，符号为-”。
所以sin（2—a#—sina
上述的记忆口诀是：
奇变偶不变，符号看象限。
公式右边的符号为把a视为锐角时，角k•360°（a€Z），-a、180°±,a
360°a
所在象限的原三角函数值的符号可记忆水平诱导名不变；符号看象限。
#
各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀一全正；
二正弦（余割）；三两切；四余弦（正割）”.
这十二字口诀的意思就是说：
第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是牛”；
第二象限内只有正弦是牛”，其余全部是—”；
第三象限内切函数是牛”，弦函数是-”；
第四象限内只有余弦是牛”，其余全部是-”•
上述记忆口诀，一全正，二正弦,三内切,四余弦
#
还有一种按照函数类型分象限定正负：
函数类型第一象限第二象限第三象限第四象限正弦++——
余弦+——+
正切+—+—
余切+—+—
奇变偶不变，符号看象限
同角三角函数基本关系
同角三角函数的基本关系式
倒数关系：
tana•cota
sina•cscl
COSa•Secd
商的关系：
sina/cosctana=seca/CSCa
COSa/sincCOta=csca/seca
平方关系：
sinA2（a+cosA2（a）1
1+tanA2（a）secA2（a）
1+COtA2（a）CscA2（a）
同角三角函数关系六角形记忆法
六角形记忆法：
（参看图片或参考资料链接）
构造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中间1"的正六边形为模型
（1）倒数关系：
对角线上两个函数互为倒数；
（2）商数关系：
六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。
（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积）。
由此，可得商数关系式。
（3）平方关系：
在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。
sin（a+B）=sinacos卅cosasinBsin（a—B=sinacos#cosasinBcos（a+B）=cosacos—sinasinB
cos（a—B）=cosacos+sinasinB
tan（a+B）=（tana+tanB/0（1-tanatanB）
tan（a—B）=（tan—tanBY（1+tana・tanB）
二倍角公式
二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幕缩角公式）
sin2a=2sinaCOSa
cos2a=cosA2（a卜sinA2（a手2cosA2（a”1=1—2sinA2（a）tan2a=2tana/[1—tan八2（a）]
半角公式
半角的正弦、余弦和正切公式（
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