诱导公式总结大全.docx
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诱导公式总结大全
诱导公式1
实际尺寸
诱导公式的本质
所谓三角函数诱导公式，就是将角n·（π/2）±α的三角函数转化为角α的三角函数。
常用的诱导公式
公式一：
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ＋α）＝sinα
cos（2kπ＋α）＝cosα
tan（2kπ＋α）＝tanα
cot（2kπ＋α）＝cotα
公式二：
设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
sin（π＋α）＝－sinα
cos（π＋α）＝－cosα
tan（π＋α）＝tanα
cot（π＋α）＝cotα
公式三：
任意角α与-α的三角函数值之间的关系：
sin（－α）＝－sinα
cos（－α）＝cosα
tan（－α）＝－tanα
cot（－α）＝－cotα
公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π－α）＝sinα
cos（π－α）＝－cosα
tan（π－α）＝－tanα
cot（π－α）＝－cotα
公式五：
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（2π－α）＝－sinα
cos（2π－α）＝cosα
tan（2π－α）＝－tanα
cot（2π－α）＝－cotα
公式六：
π/2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π/2＋α）＝cosα
cos（π/2＋α）＝－sinα
tan（π/2＋α）＝－cotα
cot（π/2＋α）＝－tanα
sin（π/2－α）＝cosα
cos（π/2－α）＝sinα
tan（π/2－α）＝cotα
cot（π/2－α）＝tanα诱导公式记忆口诀 奇变偶不变，符号看象限。
“奇、偶”指的是整数n的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名称的变化：
“变”是指正弦变余弦，正切变余切。
（反之亦然成立）“符号看象限”的含义是：
把角α看做锐角，不考虑α角所在象限，看n·（π/2）±α是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号。
一全正；二正弦；三两切；四余弦 这十二字口诀的意思就是说：
第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“＋”；第二象限内只有正弦是“＋”，其余全部是“－”；第三象限内只有正切和余切是“＋”，其余全部是“－”；第四象限内只有余弦是“＋”，其余全部是“－”。
其他三角函数知识
同角三角函数的基本关系式
倒数关系
tanα·cotα＝1
sinα·cscα＝1
cosα·secα＝1
商的关系
sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα
cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα
平方关系
sin^2（α）＋cos^2（α）＝1
1＋tan^2（α）＝sec^2（α）
1＋cot^2（α）＝csc^2（α）
同角三角函数关系六角形记忆法
构造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中间1"的正六边形为模型。
倒数关系
对角线上两个函数互为倒数；
商数关系
六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。
（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积）。
由此，可得商数关系式。
平方关系
在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。
两角和差公式
sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ
sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ
cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ
cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ
tan（α＋β）＝（tanα＋tanβ）/（1－tanα·tanβ）
tan（α－β）＝（tanα－tanβ）/（1＋tanα·tanβ）
二倍角的正弦、余弦和正切公式
sin2α＝2sinαcosα
cos2α＝cos^2（α）－sin^2（α）＝2cos^2（α）－1＝1－2sin^2（α）
tan2α＝2tanα/（1－tan^2（α））
半角的正弦、余弦和正切公式
sin^2（α/2）＝（1－cosα）/2
cos^2（α/2）＝（1＋cosα）/2
tan^2（α/2）＝（1－cosα）/（1＋cosα）
tan（α/2）=（1—cosα）/sinα=sinα/1+cosα
万能公式
sinα＝2tan（α/2）/（1＋tan^2（α/2））
cosα＝（1－tan^2（α/2））/（1＋tan^2（α/2））
tanα＝（2tan（α/2））/（1－tan^2（α/2））
三倍角的正弦、余弦和正切公式
sin3α＝3sinα－4sin^3（α）
cos3α＝4cos^3（α）－3cosα
tan3α＝（3tanα－tan^3（α））/（1－3tan^2（α））
三角函数的和差化积公式
sinα＋sinβ＝2sin（（α＋β）/2）·cos（（α－β）/2）
sinα－sinβ＝2cos（（α＋β）/2）·sin（（α－β）/2）
cosα＋cosβ＝2cos（（α＋β）/2）·cos（（α－β）/2）
cosα－cosβ＝－2sin（（α＋β）/2）·sin（（α－β）/2）
三角函数的积化和差公式
sinα·cosβ＝[sin（α＋β）＋sin（α－β）]
cosα·sinβ＝[sin（α＋β）－sin（α－β）]
cosα·cosβ＝[cos（α＋β）＋cos（α－β）]
sinα·sinβ＝－[cos（α＋β）－cos（α－β）]
公式推导过程
万能公式推导
sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/（cos^2（α）+sin^2（α））......*，
（因为cos^2（α）+sin^2（α）=1）
再把*分式上下同除cos^2（α），可得sin2α＝2tanα/（1＋tan^2（α））
然后用α/2代替α即可。
同理可推导余弦的万能公式。
正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。
三倍角公式推导
tan3α＝sin3α/cos3α
＝（sin2αcosα＋cos2αsinα）/（cos2αcosα-sin2αsinα）
＝（2sinαcos^2（α）＋cos^2（α）sinα－sin^3（α））/（cos^3（α）－cosαsin^2（α）－2sin^2（α）cosα）
上下同除以cos^3（α），得：
tan3α＝（3tanα－tan^3（α））/（1-3tan^2（α））
sin3α＝sin（2α＋α）＝sin2αcosα＋cos2αsinα
＝2sinαcos^2（α）＋（1－2sin^2（α））sinα
＝2sinα－2sin^3（α）＋sinα－2sin^3（α）
＝3sinα－4sin^3（α）
cos3α＝cos（2α＋α）＝cos2αcosα－sin2αsinα
＝（2cos^2（α）－1）cosα－2cosαsin^2（α）
＝2cos^3（α）－cosα＋（2cosα－2cos^3（α））
＝4cos^3（α）－3cosα
即
sin3α＝3sinα－4sin^3（α）
cos3α＝4cos^3（α）－3cosα
和差化积公式推导
首先,我们知道sin（a+b）=sina*cosb+cosa*sinb,sin（a-b）=sina*cosb-cosa*sinb
我们把两式相加就得到sin（a+b）+sin（a-b）=2sina*cosb
所以,sina*cosb=（sin（a+b）+sin（a-b））/2
同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=（sin（a+b）-sin（a-b））/2
同样的,我们还知道cos（a+b）=cosa*cosb-sina*sinb,cos（a-b）=cosa*cosb+sina*sinb
所以,把两式相加,我们就可以得到cos（a+b）+cos（a-b）=2cosa*cosb
所以我们就得到,cosa*cosb=（cos（a+b）+cos（a-b））/2
同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-（cos（a+b）-cos（a-b））/2
这样,我们就得到了积化和差的四个公式:
sina*cosb=（sin（a+b）+sin（a-b））/2
cosa*sinb=（sin（a+b）-sin（a-b））/2
cosa*cosb=（cos（a+b）+cos（a-b））/2
sina*sinb=-（cos（a+b）-cos（a-b））/2
好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.
我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=（x+y）/2,b=（x-y）/2
把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:
sinx+siny=2sin（（x+y）/2）*cos（（x-y）/2）
sinx-siny=2cos（（x+y）/2）*sin（（x-y）/2）
cosx+cosy=2cos（（x+y）/2）*cos（（x-y）/2）
cosx-cosy=-2sin（（x+y）/2）*sin（（x-y）/2）
诱导公式2
诱导公式是数学三角函数中将角度比较大的三角函数利用角的周期性，转换为角度比较小的三角函数。
诱导公式
诱导公式记忆口诀
同角三角函数基本关系
同角三角函数关系六角形记忆法
两角和差公式
二倍角公式
半角公式
万能公式
万能公式推导
三倍角公式
三倍角公式推导
三倍角公式联想记忆
和差化积公式
积化和差公式
和差化积公式推导
诱导公式
诱导公式记忆口诀
同角三角函数基本关系
同角三角函数关系六角形记忆法
两角和差公式
二倍角公式
半角公式
万能公式
万能公式推导
三倍角公式
三倍角公式推导
三倍角公式联想记忆
和差化积公式
积化和差公式
和差化积公式推导
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诱导公式
【诱导公式】
常用的诱导公式有以下几组：
（公式一～公式五函数名未改变，公式六函数名发生改变）
公式一：
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
弧度制下的角的表示：
sin（2kπ＋α）＝sinα（k∈Z）
cos（2kπ＋α）＝cosα（k∈Z）
tan（2kπ＋α）＝tanα（k∈Z）
cot（2kπ＋α）＝cotα（k∈Z）
sec（2kπ＋α）＝secα（k∈Z）
csc（2kπ＋α）＝cscα（k∈Z）
角度制下的角的表示：
sin（α+k·360°）＝sinα（k∈Z）
cos（α+k·360°）＝cosα（k∈Z）
tan（α+k·360°）＝tanα（k∈Z）
cot（α+k·360°）＝cotα（k∈Z）
sec（α+k·360°）＝secα（k∈Z）
csc（α+k·360°）＝cscα（k∈Z）
公式二：
设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
弧度制下的角的表示：
sin（π＋α）＝－sinα
cos（π＋α）＝－cosα
tan（π＋α）＝tanα
cot（π＋α）＝cotα
sec（π＋α）＝－secα
csc（π＋α）＝－cscα
角度制下的角的表示：
sin（180°+α）＝－sinα
cos（180°+α）＝－cosα
tan（180°+α）＝tanα
cot（180°+α）＝cotα
sec（180°+α）＝－secα
csc（180°+α）＝－cscα
公式三：
任意角α与-α的三角函数值之间的关系：
sin（－α）＝－sinα
cos（－α）＝cosα
tan（－α）＝－tanα
cot（－α）＝－cotα
sec（－α）＝secα
csc－α）＝－cscα
公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
弧度制下的角的表示：
sin（π－α）＝sinα
cos（π－α）＝－cosα
tan（π－α）＝－tanα
cot（π－α）＝－cotα
sec（π－α）＝－secα
csc（π－α）＝cscα
角度制下的角的表示：
sin（180°－α）＝sinα
cos（180°－α）＝－cosα
tan（180°－α）＝－tanα
cot（180°－α）＝－cotα
sec（180°－α）＝－secα
csc（180°－α）＝cscα
公式五：
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
弧度制下的角的表示：
sin（2π－α）＝－sinα
cos（2π－α）＝cosα
tan（2π－α）＝－tanα
cot（2π－α）＝－cotα
sec（2π－α）＝secα
csc（2π－α）＝－cscα
角度制下的角的表示：
sin（360°－α）＝－sinα
cos（360°－α）＝cosα
tan（360°－α）＝－tanα
cot（360°－α）＝－cotα
sec（360°－α）＝secα
csc（360°－α）＝－cscα
小结：
以上五组公式可简记为：
函数名不变，符号看象限.
即α+k·360°（k∈Z），﹣α，180°±α，360°－α的三角函数值，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。
公式六：
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：
（⒈～⒋）
⒈π/2＋α与α的三角函数值之间的关系
弧度制下的角的表示：
sin（π/2＋α）＝cosα
cos（π/2＋α）＝—sinα
tan（π/2＋α）＝－cotα
cot（π/2＋α）＝－tanα
sec（π/2＋α）＝－cscα
csc（π/2＋α）＝secα
角度制下的角的表示：
sin（90°＋α）＝cosα
cos（90°＋α）＝－sinα
tan（90°＋α）＝－cotα
cot（90°＋α）＝－tanα
sec（90°＋α）＝－cscα
csc（90°＋α）＝secα
⒉π/2－α与α的三角函数值之间的关系
弧度制下的角的表示：
sin（π/2－α）＝cosα
cos（π/2－α）＝sinα
tan（π/2－α）＝cotα
cot（π/2－α）＝tanα
sec（π/2－α）＝cscα
csc（π/2－α）＝secα
角度制下的角的表示：
sin（90°－α）＝cosα
cos（90°－α）＝sinα
tan（90°－α）＝cotα
cot（90°－α）＝tanα
sec（90°－α）＝cscα
csc（90°－α）＝secα
⒊3π/2＋α与α的三角函数值之间的关系
弧度制下的角的表示：
sin（3π/2＋α）＝－cosα
cos（3π/2＋α）＝sinα
tan（3π/2＋α）＝－cotα
cot（3π/2＋α）＝－tanα
sec（3π/2＋α）＝cscα
csc（3π/2＋α）＝－secα
角度制下的角的表示：
sin（270°＋α）＝－cosα
cos（270°＋α）＝sinα
tan（270°＋α）＝－cotα
cot（270°＋α）＝－tanα
sec（270°＋α）＝cscα
csc（270°＋α）＝－secα
⒋3π/2－α与α的三角函数值之间的关系
弧度制下的角的表示：
sin（3π/2－α）＝－cosα
cos（3π/2－α）＝－sinα
tan（3π/2－α）＝cotα
cot（3π/2－α）＝tanα
sec（3π/2－α）＝－secα
csc（3π/2－α）＝－secα
角度制下的角的表示：
sin（270°－α）＝－cosα
cos（270°－α）＝－sinα
tan（270°－α）＝cotα
cot（270°－α）＝tanα
sec（270°－α）＝－cscα
csc（270°－α）＝－secα
温馨提示：
1.在做题目的时候，最好将α看成是锐角。
∈Z
总结记忆：
奇变偶不变，符号看象限。
奇偶是针对k而言的，变与不变是针对三角函数名而言。
诱导公式记忆口诀
※规律总结※
上面这些诱导公式可以概括为：
对于kπ/2±α（k∈Z）的三角函数值，
①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；
②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan.
（奇变偶不变）
然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。
（符号看象限）
例如：
sin（2π－α）＝sin（4·π/2－α），k＝4为偶数，所以取sinα。
当α是锐角时，2π－α∈（270°，360°），sin（2π－α）＜0，符号为“－”。
所以sin（2π－α）＝－sinα
上述的记忆口诀是：
奇变偶不变，符号看象限。
公式右边的符号为把α视为锐角时，角k·360°+α（k∈Z），-α、180°±α，360°-α
所在象限的原三角函数值的符号可记忆
水平诱导名不变；符号看象限。
＃
各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正；二正弦（余割）；三两切；四余弦（正割）”．
这十二字口诀的意思就是说：
第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“＋”；
第二象限内只有正弦是“＋”，其余全部是“－”；
第三象限内切函数是“＋”，弦函数是“－”；
第四象限内只有余弦是“＋”，其余全部是“－”．
上述记忆口诀,一全正,二正弦,三内切,四余弦
＃
还有一种按照函数类型分象限定正负：
函数类型第一象限第二象限第三象限第四象限
正弦...........＋............＋............—............—........
余弦...........＋............—............—............＋........
正切...........＋............—............＋............—........
余切...........＋............—............＋............—........
奇变偶不变，符号看象限
同角三角函数基本关系
同角三角函数的基本关系式
倒数关系:
tanα·cotα＝1
sinα·cscα＝1
cosα·secα＝1
商的关系：
sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα
cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα
平方关系：
sin^2（α）＋cos^2（α）＝1
1＋tan^2（α）＝sec^2（α）
1＋cot^2（α）＝csc^2（α）
同角三角函数关系六角形记忆法
六角形记忆法：
（参看图片或参考资料链接）
构造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中间1"的正六边形为模型。
（1）倒数关系：
对角线上两个函数互为倒数；
（2）商数关系：
六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。
（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积）。
由此，可得商数关系式。
（3）平方关系：
在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。
两角和差公式
两角和与差的三角函数公式
sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ
sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ
cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ
cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ
tan（α＋β）＝（tanα+tanβ）／（1-tanαtanβ）
tan（α－β）＝（tanα－tanβ）／（1＋tanα·tanβ）
二倍角公式
二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）
sin2α＝2sinαcosα
cos2α＝cos^2（α）－sin^2（α）＝2cos^2（α）－1＝1－2sin^2（α）
tan2α＝2tanα/[1－tan^2（α）]
半角公式
半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）
sin^2（α/2）＝（1－cosα）／2
cos^2（α/2）＝（1＋cosα）／2
tan^2（α/2）＝（1－cosα）／（1＋cosα）
另也有tan（α/2）=（1－cosα）/sinα=sinα/（1+cosα）
万能公式
万能公式
sinα=2tan（α/2）/[1+tan^2（α/2）]
cosα=[1-tan^2（α/2）]/[1+tan^2（α/2）]
tanα=2tan（α/2）/[1-tan^2（α/2）]
万能公式推导
附推导：
sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/（cos^2（α）+sin^2（α））......*，
（因为cos^2（α）+sin^2（α）=1）
再把*分式上下同除cos^2（α），可得sin2α＝2tanα/（1＋tan^2（α））
然后用α/2代替α即可。
同理可推导余弦的万能公式。
正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。
三倍角公式
三倍角的正弦、余弦
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