微分方程在数学建模中的应用毕业论.docx
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微分方程在数学建模中的应用毕业论
重庆科技学院
毕业设计（论文）
题目微分方程在数学建模中的应用
学院数理学院
专业班级数学与应用数学12-2
学生姓名学号
指导教师杨懿职称
评阅教师杨懿职称
2016年5月10日
学生毕业设计（论文）原创性声明
本人以信誉声明：
所呈交的毕业设计（论文）是在导师的指导下进行的设计（研究）工作及取得的成果，设计（论文）中引用他（她）人的文献、数据、图件、资料均已明确标注出，论文中的结论和结果为本人独立完成，不包含他人成果及为获得重庆科技学院或其它教育机构的学位或证书而使用其材料。
与我一同工作的同志对本设计（研究）所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。
毕业设计（论文）作者（签字）：
年月日
中文摘要
数学建模是数学在实际应用中的具体体现,微分方程是数学联系实际和应用于实际的重要桥梁,是各个学科进行科学研究的强有力的工具。
建立数学模型就是把复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构。
数学建模是用数学语言来描述实际问题的过程。
就是将实际问题的固有特征和内在规律用来建立起反映实际问题数量关系的数学表达式，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题。
微分方程是表达事物发展过程的一种工具,它能揭示实际事物内在的动态关系,建立微分方程模型可以帮助我们做出相应的决策或者对未来发展进行某种预测。
用微分方程解决实际问题的关键是建立实际问题的数学模型——微分方程模型。
我们根据实际问题所提供的条件，确定模型的变量，再根据物理、化学、生物、经济等学科理论，用微分方程的形式将问题的规律表示出来。
微分方程模型在数学建模课程内占有很重要的地位。
关键字：
微分方程数学建模微分方程模型
ABSTRACT
Mathematicalmodelingistheconcreteembodimentofmathematicsinpracticalapplication.Thedifferentialequationisanimportantbridgebetweenmathematicsandpracticalapplication.Itisapowerfultoolforscientificresearchinalldisciplines.Theestablishmentofmathematicalmodelistosimplifyandabstractthecomplexpracticalproblemintoareasonablemathematicalstructure.Mathematicalmodelingisaprocessofdescribingthepracticalproblemswithmathematicallanguage.oftheactualproblemandtheinherentlawusedtoestablishamathematicalexpressiontoreflecttheactualnumberofproblems,andthenusethetheoryandmethodsofmathematicstoanalyzeandsolveproblems.
Differentialequationisameansofexpression,asatoolforthedevelopmentofthings。
itcanrevealtheactualthingswithinthedynamicrelationship,establishingthedifferentialequationmodelcanhelpustomakethecorrespondingdecisionorforthefuturedevelopmentofaprediction.Thekeytosolvingpracticalproblemsbyusingdifferentialequationsistoestablishthemathematicalmodelofpracticalproblems--differentialequationmodel.Wedeterminethevariablesofthemodelaccordingtotheconditionsprovidedbythepracticalproblems,andthenaccordingtothetheoryofphysics,chemistry,biology,economicsandotherdisciplines,thelawoftheproblemisexpressedintheformofdifferentialequations.Thedifferentialequationmodelplaysanimportantroleinthecourseofmathematicalmodeling.
Keywords:
differentialequations,mathematicalmodel,differentialequationmodel
摘要…………………………………………………………………………………3
ABSTRACT……………………………………………………………………………4
引言…………………………………………………………………………….6
二微分方程的发展状况………………………………………………………….6
三微分方程模型………………………………………………………………….7
（1）微分方程建模的概述和常用方法………………………………………….7
1微分方程建模的概述………………………………………………………….7
2微分方程建模的常用方法……………………………………………………7
（2）应用微分方程模型时的注意事项………………………………………….8
四实例分析………………………………………………………………………..9
（1）尸体冷却问题……………………………………………………………….9
1问题说明………………………………………………………………………..9
2问题分析与符号说明…………………………………………………………….9
（2）混合溶液的数学模型………………………………………………………10
1问题描述………………………………………………………………………..10
2问题解答…………………………………………………………………………10
3溶液混合问题一般模型…………………………………………………………11
（3）动力学模型………………………………………………………………….11
1问题描述………………………………………………………………………….12
2问题解答………………………………………………………………………….12
（4）人口模型…………………………………………………………………….12
1基础的人口模型………………………………………………………….12
2问题描述和分析………………………………………………………………….15
3问题解答………………………………………………………………………….15
五总结……………………………………………………………………………..20
六参考文献…………………………………………………………………………21
七致谢………………………………………………………………………………21
引言
由于现代社会的飞速发展，数学正在不断的加深对我们现代生活的影响，“高技术本质就是数学技术”的观点正在被越来越多的人所接受。
而数学模型和数学建模在其中起了极大的作用。
数学模型是对现实世界中的某个特定问题的内在规律的描述，我们可以根据其内在的规律和特点，做出假设并运用一些数学工具来得出该问题的数学结构。
也就是描述问题的某种特征的数学表达式，即用数学式子来描述现实世界的某个问题的某一方面的规律。
数学模型是一种抽象的模拟事物运转规律的方法，它主要用数学符号、数学公式、程序、图、表等来描述客观事物的本质属性与内在联系，它是对现实世界事物的运转规律而做的抽象简化的数学结构。
我们将创建一个数学模型的全过程称为数学建模。
而为了解决一个实际问题，建立数学模型是一种十分有效的方法。
微分方程是一门有完整数学体系的数学学科，同时微分方程也是数学联系和应用于实际的重要桥梁，它还是各个学科进行各种研究的重要工具。
微分方程在科技、工程、生态、环境、人口、交通、医学、经济管理等各个领域中都有着广泛的应用,有大量的实际问题需要用微分方程来描述。
例如人口的增长、电磁波的传播、人才的分配、价格的调整等，都可以归结为微分方程的问题，从中我们可以感受到应用数学建模的理论和方法解决实际问题的魅力。
本文先介绍数学模型和微分方程，然后再介绍如何建立微分方程模型，最后通过具体的实例来简单地介绍微分方程在数学建模中的应用。
二微分方程的发展状况
如果一个方程含有未知函数的导数，如/=x、/=0.5都是微分方程。
一般来说凡是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程。
如果未知函数是一元函数，就叫常微分方程；如果未知函数是多元函数，就叫做偏微分方程。
有时微分方程也简称方程。
20世纪以来，由于许多的边缘科学比如：
电磁流体力学、化学流体力学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展，出现不少新型的微分方程（特别是方程组）。
而70年代之后随着数学向化学和生物学的渗透，人们发现了大量的反应扩散方程。
从“求通解”到“求解定解问题”人们发现微分方程的解有无穷。
其中常微分方程的解会含有一个或多个任意常数，其个数就是方程的阶数。
而偏微分方程的解会含有一个或多个任意函数，其个数随方程命方程的解含有的任意元素（即任意常数或任意函数）作尽可能的变化，人们就可能得到方程所有的解，于是数学家就把这种含有任意元素的“通解”。
三微分方程模型
（1）微分方程建模的概述和常用方法
1微分方程建模的概述
微分方程建模是数学建模的一种重要方法，我们在解决许多现实生活中的问题时可以将其转化成求解微分方程的定解问题。
而要把实际问题转化为求微分方程的定解问题，步骤如下：
首先我们需要根据实际问题建立相应的数学模型——微分方程（组）。
其次我们开始求解和分析这个数学模型，得出微分方程的定解并且分析解的特征。
再其次利用所得结果对解的形式和数值进行定性分析，解释实际问题，从而我们可以预测某些现象，甚至社会现象中的特定性质。
最后我们还可以在必要时对模型进行修改从而对问题进行进一步的探讨。
2微分方程建模的常用方法【1】
（1）按照规律直接列方程
在数学、力学、物理、化学等学科中许多自然现象所满足的规律已为人们所熟悉，并直接由微分方程所描述。
我们常利用这些规律对某些实际问题列出微分方程。
（2）微元分析法与任意区域上取积分的方法
自然界中也有许多现象所满足的规律是通过变量的微元之间的关系式来表达的。
对于这类同题，通过微元分析法，利用已知的规律建立一些变量（白变量与未知函数）的微元之问的关系式，然后通过取极限的方法得到微分方程，或等价地通过任意区域上取积分的方法来建立微分方程。
（3）模拟近似法
在生物、经济等学科中。
许多现象所满足的规律并不很清楚而且相当复杂，因而需要根据实际资料或大量的实验数据，提出各种假设。
在一定的假设下，给出实际现象所满足的规律，然后利用适当的数学方法列出微分方程。
在实际的微分方程建模过程中，也往往是上述方法的综合应用。
不论应用哪种方法，通常要根据实际情况，做出一定的假设与简化，并要把模型的理论或计算结果与实际情况进行对照验证，以修改模型使之更准确地描述实际问题并进而达到预测预报的目的
。
（2）应用微分方程模型时的注意事项
（1）如果一个实际问题要用微分方程作为模型来解决，那么这个实际问题中必须出现象“变化”、“改变”、增加、“减少”等问题，这可能与导数有关，我们在列出微分方程时要根据问题特征考虑是用已知的定律还是用微元导出微分方程。
（2）只要我们确定了哪些项应该列入微分方程中，就要保证每一项都要用相同的物理单位，只有这样才能式子的平衡。
（3）许多问题还会给出某一特定时刻或特定位置的信息，从这些信息中我们就可以知道定解条件，然后运用定我们就可以确定解中所含的常量，比如积分常数、比例系数等。
这些定与方程一起就组成一个微分方程的定解问题。
（4）我们在得到方程解以后，还应该分析方程的解，看结果和观察问题所得结果是不是相符合，我们在建立微分方程模型的过程中一般是从简易的角度去考虑的，往往忽略了一些与问题有关的次要因素，因此所得模型是近似的，如果与实际问题不相符应该修改数学模型。
四实例分析
在如今的现代社会中，无论是在科学研究中还是在生产实际中，我们都经常要寻找客观事物的变量之间的函数关系。
而微分方程模型就是描述客观事物的数量关系的一种重要数学模型。
在数学建模中有各种各样的微分方程模型，例如：
人口模型、传染病模型、作战模型、交通模型、经济模型等，这里以几个例子简单介绍微分方程在建模中的应用。
（1）尸体冷却问题
1问题说明
已知受害者的尸体在晚上7:
10被人发现，法医在晚上8:
00来到凶案现场，而尸体温度为33.6℃；一小时后，在尸体就要被抬走时，尸体温度变为32.4℃，而室温在几个小时内都保持21.1℃不变。
此案最大的嫌疑犯刘某表示自己是无罪的，而且还有证人说：
“下午刘某一直在办公室上班，4:
40时打完电话后就离开了办公室”。
而从刘某到受害者家（凶案现场）步行需10分钟，现在的问题是，刘某不在凶案现场的证言能否被采信，使他能够被排除在嫌疑犯之内。
2问题分析与符号说明
通过上网查找可知人体体温是受大脑神经中枢调节的。
人在死亡后体温调节的功能就会消失，尸体的温度会受外界环境温度的影响。
首先我们要确定凶案的发生时间，如果受害者的死亡时间是在下午4点50分之前，那么刘某就不是嫌疑犯，否则刘某就不能排除嫌疑。
我们可以假设T（t）表示t时刻尸体的温度，并且记晚上8:
00为t=0的时刻，这就有T（0）=33.6℃，T
（1）=32.4℃。
我们假设受害者死亡时体温是正常的，也就是说T=37℃的时刻就是受害者死亡的时间，所以我们需要求T（t）=37℃的时刻，从而我们就可以确定刘某是不是嫌疑犯了。
假设尸体温度的变化率服从牛顿冷却定律，即尸体温度的变化律与他同周围的温度差成正比。
即=-k（T-21.1）其中k是常数
分离变量可得
再两边积分得
则
T（0）=21.1+a=33.6则a=12.5
T
（1）=21.1+a=32.4则=
k=0.10则T（t）=21.1+12.5
我们将T=37℃代入上式，则有t=-2.41小时＝-2小时25分
于是8小时00分－2小时25分＝5小时35分
所以死亡时间大约在下午5:
35，因此刘某不能被排除在嫌疑犯之外。
（2）混合溶液的数学模型
1问题描述
假设有一个容器内原本有200L盐水,其中含有盐20kg,现在我们以4L/min的速度向其中注入浓度为0.02kg/L的淡盐水,同时我们又以3L/min的速度排出混合均匀的盐水,求容器内盐水含盐量变化的数学模型。
2问题解答
我们假设t时刻容器内盐水的含盐量为x（t）kg,我们考虑时刻t到时间内容器中盐的变化情况,在时间内
容器中盐的改变量
注入的盐水中所含盐量－排出的盐水中所含盐量
假设容器内盐的改变量为,而注入容器中的盐水中所含盐量为0.02×4dt,t时刻容器内溶液的质量浓度为,假设t到时间内容器中的溶液的质量浓度不变（由于
时间很短,我们假设容器中的溶液的质量浓度不变）。
所以排出的盐水中所含盐量为,这样即可列出方程
由于t=0时,容器内含有20kg,所以该问题的数学模型为
这是一个次线性方程的初值问题,求出其解为
x（t）=0.02（200+t）+
接下来我们对该问题进行简单的讨论,由上式可知:
t时刻容器内溶液的质量浓度为
又有当t时,有p（t）,也就是说如果我们长时间地进行上述的稀释过程,那么容器内盐水的质量浓度将会接近注入溶液的质量浓度。
3溶液混合问题一般模型【2】
设有一个容器装有某种质量浓度的溶液,以流量
注入质量浓度为
的溶液（指同一种类溶液,只是质量浓度不同）,假定溶液立即被搅匀,并以
的流量流出这种混合溶液,容器中质量浓度与时间的数学模型。
首先设容器中溶质的质量为
原来的初始质量为
=0时溶液的体积为
在d
时间内,容器内溶质的改变量等于流入溶质的数量减去流出溶质的数量,即
其中
是流入溶液的质量浓度,
为
时刻容器中溶液的质量浓度,
于是,有混合溶液的数学模型
该模型不仅适用于液体的混合,而且还适用于讨论气体的混合。
（3）动力学模型
动力学是在牛顿第二定律f=ma的基础上发展起来的,并且动力学还是微分方程最早期的源泉之一，同时牛顿第二定律f=ma也是用微分方程来解决动力学问题的基本关系式。
物体自由下落时重力作用和空气阻力是影响速度的两大因素，其中重力与物体下落的速度成正比，而空气阻力与物体下落速度成反比。
1问题描述
先有一个跳伞运动员从高空跳伞，设该跳伞运动员质量为m，且降落伞所受空气阻力与速度成正比。
求降落伞下降速度v=v（t）的变化规律。
2问题解答
我们设空气阻力系数为K，时刻t跳伞运动员的下落速度为V，所以在时刻t，跳伞运动员所受的力为，则根据牛顿第二定律可列出微分方程
然后分离变量得
再积分得
也就是
解出v得
当t时，有
（1）
k=其中为与物体形状有关的常数，是空气密度，s是空中物体在地面上的投影面积。
人们正是根据公式
（1）来为跳伞者设计保证其安全的降落伞的直径大小的。
当落地速度、m、与一定时，我们就可以求出s来。
只要跳伞者在空中有足够长的停留时间，他到达地面时的速度近似地等于mg/k，而且不会超过mg/k,所以跳伞者才能安全降落到地面。
（4）人口模型
1基础的人口模型
（1）马尔萨斯人口模型的简述和构成
马尔萨斯人口模型的简述
英国人口学家马尔萨斯（Malthus,1766-1834）调查了英国一百多年的人口统计资料，得出了一个假设：
人口的增长率是常数，并根据这个假设建立了马尔萨斯人口模型。
我们很容易就可以得到最简单的人口增长模型：
假设今年人口为，则k年为，年增长率为r，则有
，k=1，2，N（N为整数）（4.1）
很明显这个公式成立的基本前提是人口的年增长率
保持不变。
马尔萨斯人口模型的构成
我们假设t时刻的人口为x（t），当我们研究一个国家或一个较大地区的人口时，x（t）是一个很大的整数，而为了使用数学工具——微积分，我们一般将x（t）看作是连续的、可微的函数。
如果我们记初始时刻,即t=0时的人口为，而人口增长率为r（r为常数），即单位时间内x（t）的增量与x（t）的比例系数。
我们研究t到t+这段时间内人口的增量，则有
当时取极限，得到微分方程
（4.2）
解微分方程得
（4.3）
上述表达式表明人口将按指数规律随时间无限增长。
（4.3）式被称为人口指数增长模型，又被称为马尔萨斯人口模型。
当r的绝对值小于1时，。
这样就将t以年为单位离散化，由（4.3）就可以得到（4.1），即
，k=1，2，N（N为整数）
所以最简单的人口模型（4.1）是人口指数增长模型（4.3）的离散近似形式。
（2）Logistic模型
Logistic模型的简述
Logistic模型又叫人口阻滞增长模型，所谓人口阻滞增长模型就是考虑到人口增长至一定数量后增长率下降的问题之后对人口指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。
Logistic模型的构成
通过大量的调查我们发现自然资源、环境条件等因素对人口的增长起着阻滞作用，并且随着人口的增多，阻滞作用也随之增大。
阻滞作用体现在人口增长率r上，r会随着人口数量x的增加而下降。
如果我们将r表示为x的函数，那么是减函数，则方程（4.2）应改写为
（4.4）
我们对r（x）做一个最简单的假设：
设r（x）是x的线性减函数，则
（4.5）
我们将上式的r称为固有增长率，它表示人口很少时（理论上是x=0）的增长率。
我们使用外部条件所能承受的最大人口数量来确定系数s的意义，称为人口容量。
当人口不再增长时x=，也就是说这时的增长率为r（），代入公式（4.5）得s=r/则（4.5）式可化为
（4.6）
这里的r，是由人口统计数据或经验所得出的常数，而（4.6）另一种解释是：
增长率r（x）与（）/成正比，它们的比例系数就是固有增长率r。
将（4.6）式代入方程（4.4）可得
（4.7）
上式的右端的体现了人口自身的增长趋势，而（
）则体现了外部条件对人口增长的阻滞作用。
如果
增大，那么就会增大，而（
）就减小，人口增长就是由于和（
）的共同作用。
而人口之所以有最大值就是因为环境和资源是有限的，人口不可能无限增长。
方程（4.7）被称为人口阻滞增长模型，也叫做为Logistic模型。
解方程（4.7）得
（4.8）
方程（4.7）和模型（4.8）的图形如下。
图2是一条S形曲线，x的增加是先增快后减慢的。
当t时，x，而拐点在处。
图1图2
2问题描述和分析
从人类社会进入20世纪起，随着人类的科学技术和生产力飞速发展，世界人口也以飞快的速度增长，我们从表1中可以看出世界人口每增加10亿的时间由原本的100年缩短为十二、三年，这还只是20世纪的人口增长速度就更不要说21世纪了。
由于人口的飞速增长和自然环境的急剧恶化，人们这才发现人口问题的重要性，这才开始研究人与自然的关系，人口数量的变化规律，以及要如何对人口进行控制等问题。
表1世界人口统计数据（单位：
亿）
年份
1830
1930
1960
1974
1987
1999
人口
10
20
30
40
50
60
3问题解答
下面我们用美国近两个世纪的人口来检验一下马尔萨斯人口模型和Logistic模型美国近两个世纪的人口如下：
表2美国人口统计数据（单位：
百万）
年份
1790
1800
1810
1820
1830
1840
1850
1860
1870
1880
1890
人口
3.9
5.3
7.2
9.6
12.9
17.1
23.2
31.4
38.6
50.2
62.9
年份
1900
1910
1920
1930
1940
1950
1960
1970
1980
1990
2000
人口
76.0
92.0
106.5
123.2
131.7
150.7
179.3
204.0
226.5
251.4
281.4
接下来我们就用马尔萨斯人口模型对美国人口的增长进行预测。
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